2405

находим координаты особой точки O(0,0) .

Для выяснения типа особой точки находим вторые частные производные в ней

Fxx′′ = −2 ; A = −2 ,

Fxy′′ = 0 ; B = 0 ,

Fyy′′ = 2a + 6 y ; C = 2a .

Отсюда D = AC − B2 = −4a . Если a > 0 , то D < 0 и точка О — узел (рис. 2.14 ).

101

точка (рис. 2.15 ) и касательной нет. Если а = 0, то D = 0.

которая будет касательной. Следовательно, точка О — точка возврата первого рода (рис. 2.16 ).

102

то это точки возврата первого рода. Нетрудно заметить, что заданная кривая есть астроида (рис. 2.17), декартовые координаты точек возврата которой, соответственно

(a,0), (0, a), (−a,0,(0,−a) .

Рис. 2.17

2.5. Касание кривых между собой

10. Если кривые y = f (x) и y = g(x) имеют общую точкуM 0 (x0 , y0 ) и касательные к обеим кривым в этой точке совпадают, то кривые в точке M0 касаются друг друга. Условие касания двух кривых в точке M0 имеет вид

f (x0 ) = g(x0 ) , f ′(x0 ) = g′(x0 ) .

Если в точке M0 для функций f (x) и g(x) существуют

103

20. Огибающей семейства плоских кривых называется кривая, которая касается каждой кривой семейства в одной или нескольких точках и причём вся состоит из этих точек касания.

Если уравнение семейства кривых, зависящих от одного переменного параметра α , имеет вид F (x, y,α) = 0 , то

параметрические уравнения огибающей определяются системой уравнений

которое называется уравнением дискриминантной кривой. Дискриминантная кривая может содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не входящее в состав огибающей данного семейства.

30. Соприкасающаяся кривая. Пусть дано уравнение кривой y = f (x) и семейство кривых с n параметрами

G(x, y, a, b,..., l) = 0 . Требуется, изменяя значения параметров,

выбрать из этого семейства такую кривую, которая с данной кривой в некоторой её точке M 0 (x0 , y0 ) имела бы наивысший

Из системы n уравнений (3) с n неизвестными находим систему значений параметров a,b,..., l . Таким образом

определяется соприкасающаясякривая, имеющаяпорядоккасания нениже n -1.

5.1. Найти порядок касания цепной линии y = 12 (ex + e−x )

104

(x − a)2 + y2 = a2 . 2

Решение. Данное семейство окружностей зависит от параметра а. Дифференцируя, составим систему уравнений (1)

105

а и составляем систему

y = (x − a))3,

0 = −3(x − a)2 .

Исключая отсюда параметр а, находим дискриминантную кривую у = 0, которая является геометрическим местом точек перегиба и огибающей данного семейства (рис. 2.19).

Рис. 2.19

5.6. Найти соприкасающуюся кривую для семейства окружностей (x − a)2 + ( y −b)2 = R2 .

Решение. Поскольку семейство окружностей содержит три параметра a,b, R , то наивысший порядок касания будет

второй. Полагая у = f(x), будем иметь

Ф(x, a, b, R)= (x − a)2 + ( y −b)2 − R2 ,

Фx′(x, a, b, R)= 2(x − a) + 2( y −b) y′ , Фxx′′ (x, a, b, R)= 2 + 2 y′2 + 2( y −b) y′′.

Обозначим значения y, y′, y′′, отвечающие выбранному значению x = x0 , через y0 , y0′, y0′′. Тогда для определения параметров a,b, R получим систему (3)

(x0 − a)2 + ( y0 −b)2 = R2 , x0 − a + ( y0 −b) y0′ = 0 ,

1 + y0′2 + ( y0 −b) y0′′ = 0 .

Из двух последних уравнений этой системы находим

107

2.6. Производная вектор-функции

10 . Пусть a (t) — непрерывная вектор-функция, где t — скалярный аргумент. Если откладывать значения вектора a (t)

при различных значениях t , от общего начала О, то конец вектора опишет некоторую непрерывную кривую, которую называют годографом вектора a (t) .

Предел отношения приращения вектор-функции к

производной вектор-функции при взятом значении t0 и обозначается

изменяется только по направлению, то его годограф определяет линию, расположенную на сфере радиуса R =| a | с центром в

начале координат. Если вектор a (t) изменяется только по

108

модулю, то его годограф определяет луч, исходящий из начала координат. Вектор a в этом случае направлен по лучу.

20. Основные правила дифференцирования вектор-функции скалярного аргумента:

2)ddtc = 0 , где c — постоянный вектор;

3)dtd (maG) = m ddta , где m — постоянный скаляр;

от t.

30. Если кривая задана параметрическими уравнениями

движущейся точки M , а за t — время, то скорость движущейся точки есть производная её радиус-вектора по

109

времени r (t) , а годограф вектора r есть траектория движения точки M . При этом направление вектора r (t) указывает направление скорости (вектор r (t) направлен по касательной к траектории), а модуль r(t) — величину скорости и равен

производной от пути по времени r = dsdt .

Если точка движется в пространстве, то её уравнение движения имеет вид

r (t) = rx (t)i + ry (t) j + rz (t)k .

Проекции скорости суть:

υx = rx (t) , υy = ry (t) , υz = rz (t) .

Величина скорости находится по формуле

υ = υx 2 +υy 2 +υz 2 .

Чтобы найти траекторию движения, надо исключить параметр / из параметрических уравнений траектории

x = rx (t),

y = ry (t),z = rz (t).

будем иметь х2 + у2 = 1; z = 1. Следовательно, годографом вектор-функции r (t) является окружность.

6.2. Определить годограф вектор-функции

110