Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2385

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

10.9.y 6 y 13y e 3x cos 4x.

10.10.y y 2cos3x 3sin 3x.

10.11.y 2 y 5 y 2sin x.

10.12.y 4 y 8y ex 3sin x 4cos x .

10.13.y 2 y 10ex sin x cos x .

10.14.y 4 y 4 y e2 x sin 5x.

10.15.y y 2cos5x 3sin 5x.

10.16.y 2 y 5y 17sin 2x.

10.17.y 6 y 13y e 3x cos x.

10.18.y 4 y 8y ex 3sin x 5cos x .

10.19.y 2 y 6ex sin x cos x .

10.20.y 4 y 4 y e2 x sin 4x.

10.21.y 6 y 13y e3x cos5x.

10.22.y y 2cos 7x 3sin 7x.

10.23.y 2 y 5y cos x.

10.24.y 4 y 8y ex 2sin x cos x .

10.25.y 2 y 3ex sin x cos x .

10.26.y 4 y 4 y e2 x sin 4x.

10.27.y 6 y 13y e 3x cos8x.

10.28.y 2 y 5 y 10cos x.

10.29.y y 2cos 4x 3sin 4x.

10.30.y 4 y 8 y ex sin x 2cos x .

10.31.y 4 y 4 y e2 x sin 6x.

201

5. ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Задача 1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

ln n

(2n)!

1.1. а)

; б)

; в) n4

; г)

n 2 n

2 3

3n 5

n 1

n ln (n 1)

ln n

(2n)!

sin2 n

1.2. а)

; б)

; в) n

; г)

3n 5

n 2

n 1

sin

1.3. а)

;

б) n! sin

;

n 1

в)

; г)

1 2

n 1

10n 5

n 1

(3n 1) ln (n 2)

sin2 n

1.4. а)

; б)

; в) n

; г)

(n!)

n 1

ln 3n

;

3 5 7... (2n 1)

;

1.5. а)

б)

n 1

; г)

в) 1

(2n 1) ln(n 1)

n 1

(2n)!

2n 2

ln n

1.6. а)

sin

; б)

n ; в)

;

г)

n! 2

3n 1

n 1

1.7. а)

cos

;

б)

;

n 1

cos2

в)

;

г)

n 1

n(n 1)

(2n)!

1.8. а)

7 2n

;

б)

;

n 1

5 3

n 1 2

(3n

202

в) 2n 1

e n ;

г)

n 1

(2n 1)

ln(n 1)

2n n!

1.9. а)

sin

;

б)

;

n 1

в)

; г)

(2n 1) ln n

n 1

4n 3

n 2

n 1

1.10.

а)

;

б)

;

n 1

n 3

в) n4

arctg 2n

;

г)

(n 2) ln(n 3)

n 1

n 5

1.11.

а)

;

б)

;

n n 2

n 1

n 1 1

1 n 1 n2

ln n

в)

; г)

n 3

1.12.

n 1

n 1 n

а) 1n

sin2

;

б) (2n)!2 ;

n 1 (n!)

n 1 2

в) ln n

;

г)

1) ln n

n 2

1.13.

а)

;

n 1

в)

;

1.14.

n 1 (2n2 1)2

а)

n 1

n3 2n 1

n 2

в)

;

n 1

2n 1

б) n n

;

n 1 3

г)

n 1

n 3 (5n

n 2

; б)

n 1 ;

n 1

2n 1

г)

2) ln(n

n 1 (3n

203

n 1

1.15. а) 3

;

б)

;

n 1

2n 3

в)

; г)

1) ln n

n 1

n 2

1.16.

а)

cos

; б)

;

4 2

(2n)!

n 1

; г)

в)

n ln

3 2

n 1

n 2

n ;

1.17.

а) sin

б)

;

n 1

;

г)

n 1

3 .

в) nn sinn

n 1

n 2

(n 1) ln n

cos

1.18.

а)

;

б)

n arctg

;

n(n 1)(n 2)

n 1

2n 1

в) n

; г)

(n 3) ln

n 1

n 2

2 ( 1)

1.19.

а)

;

б)

;

n ln n

(2n 1)!

n 1

n .

в) 4n

;

г) cos2

n 1

3n 1

n 1

n 4

sin

1.20.

а)

;

б)

;

(2n)!

n 1

n3 1

n 1

в)

;

г)

n 1

9) ln(n 2)

1.21.

n 1 n

б)

n 1

а) ln n ;

;

n 1 3 n7

n 1

204

в) 3n3 8n 1

2 3n

; г)

n 1

4n 2n 1

n 2

(2n 3) ln n

ln n

1.22.

а)

;

б)

;

n5 3n

n 1

n 2

в)

;

г)

ln n

n 1

3n 1

n 2

n3 2

2n n3

1.23.

а)

;

б)

;

sin

(n 1)!

n 1

1 n2

ln(n 1)

в) 1

; г)

1.24.

n 1

б)

n 1

а)

2 ln n

;

n 1

n n 1

n 1

(2n)! 2

в) n

; г)

4n 3

1.25.

n 1

n 2 ln n

а) arctgn ;

б) (2nn 1)!2

;

n 1

n 1 10 n

(3n2 4)

ln n

в)

;

г)

1.26.

n 1

а)

52n 3

; б) 2arctgn3 ;

n 1

6n n 1

n 1

1 3n 5 n

в)

; г)

n ln

(2n

n 1

3n 2n

arctgx

1.27.

а)

;

б)

;

n 1

в)

; г) ln

n .

n 1

(2n

n 1

205

1.28.

а)

sin

;

б)

;

n 1

3n 1

2n 5

n 1

(2n)! 5

в) n arctg n

;

г)

n 1

n 3

n ln n ln ln n

1.29.

а)

;

б)

;

1) ln n

n 2

n 1

в)

; г)

2) ln n

n 1

n 2 (n

srctgn

1.30.

а)

;

б)

n! sin

;

n2 n

n 2

n 1

(2n2 3)

в)

;

г)

3) ln n

n 1

n 2

Задача 2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.

					n					n
2.1. ( 1)n					n					.
2.1. ( 1)n										.
n 1		2n 1
	( 1)			n
2.3.	( 1)								.
2.3.	n 1						1)		.
n 1 2	(2n						1)

2.5. ( 1)n sin								.
2.5. ( 1)n sin					2			.
n 1					n
				2			n
2.7. ( 1)n		sin n 3 .
n 1			3
				n		3
2.9. ( 1)n				n					.
2.9. ( 1)n			(n 1)!						.
n 1			(n 1)!

	( 1)	n
2.2.	( 1)					.
2.2.	(n 1) ln n					.
n 1	(n 1) ln n

2.4.	( 1)n tg								.
2.4.	( 1)n tg			4			n		.
n 1				4			n
	( 1)n sin			2		n		n .
2.6.	( 1)n sin					n		n .
n 1			n			n
	( 1)n ln 1								1	.
2.8.									1
2.8.									2
n 1								n
					1
2.10. ( 1)n					1				.
2.10. ( 1)n			(2n)!						.
n 1			(2n)!

			3		3n 1	n
2.11. ( 1)n arctg				. 2.12. ( 1)n		.
	n	2	n 3		n
n 1				n 1

206

2.13. ( 1)n sin

n 1

2.15. ( 1)n arcsin

n 1

2.17. ( 1)n

n 1

ln(n 2)

2.19. ( 1)n

(n 1)

n 1

n 3

2.21. ( 1)

n 1

4n 1

2.23. ( 1)n

n 1

2n 1

2.25. ( 1)n

(n 1)!

n 1

n 1 .

2.27. ( 1)n

n 1

2.29. ( 1)n cos

n 1

						n
2.14.	( 1)n					n				.
2.14.	( 1)n			2n 1						.
n 1				2n 1
						1
2.16.	( 1)n					1						.
2.16.	( 1)n											.
n 1				4 n3						2
								1
2.18. ( 1)n								1						.
2.18. ( 1)n														.
n 1					3	(n 1)2
							1
2.20.	( 1)n						1						.
2.20.	( 1)n			ln(n						1)			.
n 1				ln(n						1)
						1
2.22.	( 1)n					1				.
2.22.	( 1)n			3n 6						.
n 1				3n 6
	( 1)n n
2.24.									.
2.24.	2n	3	n		2			1	.
n 1	2n		n					1
			n 2n 1
2.26.	( 1)										.
2.26.	( 1)					4	n				.
n 1						4
2.28. sin n .

n 1	n(n 1)										1 .
2.30. ( 1)n ln 1											1 .

n 1											n

Задача 3. Найти область сходимости степенного ряда.

	n		1
3.1.	n		1			(x 2)n .
3.1.	2				n	(x 2)n .
n 1	n		2
	5	n		(x 2)			n
3.3.	5			(x 2)			.
n 2					n
	2		n
3.5.	2				(x 1)n .
3.5.	n			1	(x 1)n .
n 1	n			1

3.7. ln n(x 1)n .
n 1		n

					n
3.2.		3						(x			3)n .
3.2.	n	2					1	(x			3)n .
n 1	n						1
		n!
3.4.		n!							(x 1)n .
3.4.	n	2					2		(x 1)n .
n 1	n						2
	2		n				n
3.6.	2				x					.
3.6.					n					.
n 1			n 3
				n		(x 5)n .
3.8. n						(x 5)n .
n 1	n!

207

			n
3.9.	3								(x 2)n .
3.9.	n								(x 2)n .
n 1 2		n
				2			n
3.11.				2								(x 1)n .
3.11.	n							2		n		(x 1)n .
n 1	3							2
	n!
3.13.	n!				(x 1)n .
3.13.	n				(x 1)n .
n 1	n
		(x 2)												n
3.15.		(x 2)															.
3.15.	(3n 1) 2															n	.
n 1	(3n 1) 2
	(x							2)			n
3.17.	(x							2)						.
3.17.				n 1										.
n 1				n 1
	5	n		(xn							3)				n	.
3.19.	5			(xn							3)					.
n 1				2					1
3.21. ln n (x 1)n .

n 1	n
	(x							4)			n
3.23.	(x							4)						.
3.23.	3				ln n									.
n 2	n				ln n
	5		n
3.25.	5					(x 1)n .
3.25.			n			(x 1)n .
n 1			n
	n xn
3.27.			n 1 .
n 1	3
	3			n		n!
3.29.	3					n!							xn .
3.29.						n							xn .
n 1	(n 1)

				n
3.10.				n			(x 2)n .
3.10.		n!					(x 2)n .
n 1		n!
							2				n
3.12. 1							2					4n xn .
n 1							n
		n (x 2)
3.14.														.
3.14.	2		n		(n 5)									.
n 1	2				(n 5)
		n			(x							1)	n
3.16.	3				(x							1)		.
3.16.								n						.
n 1								n
	(n 2)(x 5)														n
3.18.	(n 2)(x 5)																.
3.18.						n(n 1)											.
n 1						n(n 1)
			n			x		n
3.20.	3					x					.
3.20.											.
n 1			n 2n
	(n 1)(x 2)n
3.22.																.
3.22.			2			n	(n						2)			.
n 1			2				(n						2)
							1				n
3.24. 1							1					(x 1)n .
n 1							n
	(2n)!									n		.
3.26.			n		n			x				.
n 1			n
											n	xn .
3.28. (n 1)												xn .
n 1						n!
	2			n		x			n
3.30.	2					x						.
3.30.	n(n 1)											.
n 1	n(n 1)

Задача 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.

4.1.			9	.	4.2.	ch3x 1	. 4.3.		x2		.
	20		x x2			x2
								4 x
4.4.			6	.	4.5. ln(1 x 6x2 ) . 4.6.					1
	8	2x x2							4	16 3x

208

4.7.	2x cos	2	x		x .	4.8. ln(1 x 12x	2	) . 4.9.	sh2x	2 .
									x
				2

4.10. x4 3					8 x .				4.11.							7						.	4.12.	arcsin x 1.
4.10. x4 3					8 x .				4.11.			12			x x2							.	4.12.	arcsin x 1.
			x									12			x x2									x
4.13.			x				.		4.14.							7					.		4.15. ln(1 x 6x2 ) .
4.13.		3 27 x					.		4.14.			12			x x2						.		4.15. ln(1 x 6x2 ) .
		3 27 x										12			x x2
4.16. x2					4 x .				4.17. (x 1) sin 5x . 4.18. ln(1 2x 8x2 ) .
	2x sin					2	x									sin 3x						cos 3x . 4.21. (x 1) shx .
4.19.								x .			4.20.						x
4.19.								x .			4.20.
		arc tgx .					2
4.22.									4.23.							5				.			4.24. x 3 27 x .
4.22.									4.23.			6		x x2						.			4.24. x 3 27 x .
			x									6		x x2
4.25.		4 16 x .							4.26.							3				.			4.27. ln(1 x 12x2 ) .
4.25.		4 16 x .							4.26.			2		x x					2	.			4.27. ln(1 x 12x2 ) .
												2		x x					2
4.28. ln(1 x 20x2 ) . 4.29. (2 ex )2 .																							4.30. (x 1)chx .
Задача 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
1			x2						2,5														1
5.1. e				dx .			5.2.						dx					.			5.3.		1 cos xdx .
			2										dx
			2							4	625 x						4
0									0		625 x												0	x

1		dx					0.5	sin 2x dx .				0,5		3x2
5.4.		dx			.	5.5.					5.6.	e		25 dx .
5.4.	3			3	.	5.5.					5.6.	e		25 dx .
0		8 x					0		x			0
0,5		dx					0,4			5x 2		0,2	ln(1 x2 )
5.7.				.		5.8.	cos				dx . 5.9.				dx
5.7.	1 x		3	.		5.8.	cos				dx . 5.9.			x	dx
0	1 x						0			2		0		x

2			dx					0,5		dx					0,5
5.10.			dx			.	5.11.			dx				. 5.12. sin(4x2 )dx
5.10.	4	256 x			4	.	5.11.		4	1 x			3	. 5.12. sin(4x2 )dx
0		256 x						0		1 x					0
0,4			3x2					0,2	1 e		x				0,1	ln(1 2x)
5.13. e			4 dx .				5.14.		1 e				dx .		5.15.	ln(1 2x)
0								0		x					0	x
1			dx					0.4				x				0,5
1								0.4	1 e 2 dx .							0,5
5.16.					.		5.17.								5.18.	cos(4x2
5.16.	4			4	.		5.17.								5.18.	cos(4x2
0		16 x						0		x						0

dx .

)dx .

209

5.19.	1.5		dx
5.19.	1.5	4	81 x	4
	0		81 x

1,5 dx

5.22.

0 3 27 x3

0,3

5.25. e 2 x2 dx .

		0,2
.	5.20.	sin(25x2 )dx .
		0				2
		0,4		5x		2
.	5.23.	sin				dx .
		0		2
					x
		1	ln 1
		1	ln 1		5
	5.26.				5		dx .
	5.26.			x			dx .
		0		x

					x
0.1	1 e	2 x	0,4	ln 1
					2
5.28.		dx .	5.29.			dx .
	x			x
0			0

0,2

5.21. cos(25x2 )dx .

0
	0,2
5.24.	e 3x2 dx .
	0
5.27.	2		dx		.
5.27.	2	3	64 x	3	.
	0		64 x
	2,5		dx
5.30.			dx			.
5.30.		3	125 x		3	.
	0		125 x

Задача 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения у = у(х) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) a .

6.1. y ' sin x y2 ; y(0) 1 . 6.2. y ' y y2 ; y(0) 3 . 6.3. y ' 2ey xy; y(0) 0 . 6.4. y ' ex y2 ; y(0) 0 . 6.5. y ' cos x y2 ; y(0) 1. 6.6. y ' ex y; y(0) 4 . 6.7. y x2 y2 ; y(0) 2 .

6.8. y ' sin x y2 ; y(0) 1. 2

6.9.y ' 2ey xy; y(0) 0 .

6.10.y ' x x2 y2 ; y(0) 5 .

210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.47 Mб32368.pdf
#
15.11.20221.47 Mб02369.pdf
#
15.11.20221.49 Mб12377.pdf
#
15.11.20221.49 Mб02378.pdf
#
15.11.20221.5 Mб02382.pdf
#
15.11.20221.5 Mб02385.pdf
#
15.11.20221.51 Mб12391.pdf
#
15.11.20221.52 Mб12393.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02394.pdf
#
15.11.20221.52 Mб22395.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02396.pdf