1904

4.3 Прохождение непрерывного сигнала через цифровое вычислительное устройство

В контур управления дискретных САР и САУ часто входит микропроцессорное устройство (МПУ). Схема, имитирующая прохождение сигнала через МПУ, изображена на рис. 4.4.

а) – с преобразователями АЦП и ЦАП; б) – динамическая эквивалентная схема.

Рис. 4.4

Схема включает ключ Кл (или импульсный элемент), преобразующий непрерывный сигнал в аналоговый дискретный; АЦП, МПУ, ЦАП и экстраполятор – Э. Следует различать аналоговый дискретный сигнал на выходе Кл от дискретного. Первый может принимать любые значения в заданном амплитудном диапазоне, в то время как амплитуда дискретного сигнала ограничена разрядностью МПУ.

Экстраполятор Э приводит сигнал к аналоговому непрерывному виду .влияние на динамику имеют лишь три из перечисленных элементов: ключ, МПУ, экстраполятор, а АЦП и ЦАП не влияют на математическое описание системы, поэтому схему можно представить в упрощенной форме (рис. 4.4 б). Далее предполагают справедливыми следующие ограничения:

59

запаздывание, решение дифференциальных и интегральных уравнений и т.д.).

4)МПУ работает в реальном масштабе времени;

5)МПУ может использовать настоящую и прошлую информацию, но не будущую (принцип физической осуществимости).

Система, содержащая МПУ, квантует сигнал и по уровню, и по времени. Квантование по уровню создаѐт на выходе ошибку (шум квантования).второго порядка малости по сравнению с эффектом квантования по времени, поэтому при рассмотрении динамики системы в первом приближении можно пренебречь шумом квантования. Квантование по времени означает дискретизацию, замену непрерывной функции последовательностью импульсов (рис. 4.5).

а) – квантование по времени;

б).- частотный спектр X ( jw) непрерывного сигнала. Рис. 4.5

60

Вообще говоря, такая замена может привести к потере информации. Условие, когда при квантовании по времени информация не теряется, то есть, когда по дискретным данным можно восстановить исходную кривую, определяется из теоремы Котельникова. Если сигнал x(t) обладает конечным спектром, то информация не будет потеряна при выполнении условия.

где w0 -ширина спектра.

Рассмотрим, как трансформируется сигнал при прохождении через каждый элемент схемы рисунок 4.

Итак, на выходе ключа Кл имеем:

на вход МПУ и преобразуется в другую цифровую

последовательность, определяемую разностным уравнением: xb (k r ) b0 g(k r ) b1g (k 1) r ... bn g (k n) r

Выходной сигнал с МПУ xb (k r ) k 0,1,2,...n подаѐтся

на вход преобразователя ЦАП, чтобы преобразовать цифровую

собой огибающую для временной последовательности xb (k r ) , тоесть, в интервале k r t (k 1) r преобразователь ЦАП должен экстраполировать значение амплитуды входного сигнала в момент k r на интервале r вперѐд. Устройства,

выполняющие эту функцию, называются экстраполяторами. Экстраполятор m-го порядка определяют как

экстраполятор, выход которого в данный момент зависит от m+1прошлых дискретных значений на его входе. Обычно

собой кусочно-постоянную функцию (рис. 4. 6).

u(t

t

0 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r

Рис. 4.6 62

u(t

Рис. 4.7.

Экстраполятор 1-го порядка (рис. 4.7) описывают

0 < r ,

причѐм:

xЭ (n r ) xb (n r ) .

4.4 Z – преобразование

При анализе дискретной системы необходимо решение разностных уравнений, устанавливающих связь между еѐ входом и выходом. Z – преобразование сводит это решение к алгебраическим операциям. Преобразование Лапласа превращает непрерывные функции времени t в функции комплексного переменного S, а Z – преобразование – функции дискретного времени (последовательность чисел ) в функции

комплексной переменной z e r S , S j .

Z – преобразование позволяет ввести понятие Z – передаточной функции, имеющей аналогию с обычной передаточной функцией для непрерывных си

63

Опуская для простоты интервал дискретизации r , запишем последовательность чисел в виде:

f k : ..., f 1 , f 0 , f 1 , f 2 ,... ,

где k – аргумент, указывающий на порядок следования чисел. Если последовательность f(k) определена только для положительных значений k, то одностороннее Z – преобразование для f(k) определяют при помощи соотношения:

Если функция f(k) определена как для положительных, так и для отрицательных целых чисел, то двухстороннее Z – преобразование для f(k) даѐтся формулой:

k

Обратное Z – преобразование определяют формулой:

где Г – некоторый замкнутый контур в плоскости z. Степенной ряд в (4.23) сходится за пределами круга:

Z R , то есть для всех Z >R, где радиус:

выходному сигналу для простейшей ДЛС первого порядка (рис. 4.8), описываемой разностным уравнением:

y n ay n 1 x n .

Входной сигнал x(n) представим в виде единичного

64

Последовательность y(n) an имеет Z – преобразование

при

1

соответствует неустойчивости системы.

Рассмотрим в качестве примера Z – преобразование некоторых последовательностей.

При n0 0 , z 1 .

2) Дискретная функция единичного скачка:

Z – преобразование равно сумме членов геометрической прогрессии.

позволяющих анализировать особенности ДЛС. Приведем лишь теоремы о начальном и конечном значениях.

Теорема о начальном значении

Предположим, что задано Z – преобразование F(Z) и требуется определить начальные значения f(0) последовательности.

По определению

F 0 lim F Z

Z

67

Теорема о конечном значении

Ограничим последовательность f (к г ), положив К = N,

где N– достаточно большое число. Образуем функцию f(kr- r),

запаздывающую относительно f (к r ) на r . Если

Пусть N , тогда

f lim( Z )F(Z)

(4.35)

Формула (4.35) устанавливает связь между Z - преобразованием и конечным значением функции.

4.6 Z-передаточная функция дискретной системы

Разностные уравнения вход-выход имеют вид:

Число y(k)характеризует выход в момент кr (шаг дискретизации r обычно опускают). Числа y(k-1), y(k-2) характеризуют предыдущее значение выхода, запоминаемые в памяти ЭВМ.

Аналогично числа и U(k), и U(k-1)характеризуют вход в дискретные моменты k, k-1, … и т.д., они также хранятся в памяти машины. Уравнение (4.36) называют рекурсивным или разностным, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным. Положим в (4.36)

( δ -импульс – одиночный). Подставляя (4.36) в (4.35), получим реакцию системы, которую обозначим через K(k):

Если импульс воздействует на вход не при k = 0, а в произвольный момент (в j – той позиции ), то реакция системы в k – той позиции будет (для k ≥ j )

В общем случае, когда входная последовательность представляет сумму (поток) дельта последовательностей, приложенных в моменты k= 0, 1, 2, …, то есть,

0 , k 0

U(k)

k , k 0

временную последовательность на основании принципа суперпозиции на выходе можно определить как

m 0

Выражение (4.41) – аналог интеграла свертки для непрерывных систем. Воспользуемся (4.9) в самом общем виде:

m

где К(k) – взвешенная временная последовательность, g(m) – дискретизированный входной сигнал.

Взяв Z – преобразование от (4.42), получим

70

W(Z) называют Z – передаточной функцией дискретной системы. Через Y(Z) и G(Z) обозначены Z–преобразования последовательностей y(n r) и g(nr), то есть, выходной и входной последовательностей.

Пример Z – передаточной функции. Пусть необходимо определить W(Z), соответствующую s – передаточной функции:

Посмотрим вначале – какой непрерывной системе соответствует s - передаточная функция (1.46). Взяв обратное преобразование Лапласа от W(s), получим

71

где K(t) – импульсная переходная функция, или функция веса, то есть, реакция системы на единичный - импульс (t). Далее от (4.47) перейдем к дискретной весовой временной последовательности согласно правилу:

Z – преобразование этой последовательности и будет представлять Z - передаточную функцию, соответствующую s

– передаточной функции непрерывной системы (4.46):

Z

Описанный здесь способ получения Z – преобразования по s – преобразованию Лапласа позволяет осуществлять синтез дискретных систем по известным характеристикам исходных аналоговых систем.

4.7.Синтез дискретных систем

Рассмотрим простейший пример синтеза корректирующих звеньев САР в виде RC – цепочки, которая получила название «интегрирующей RCцепи» (или фильтр нижних частот).

Интегрирующая RC – цепочка (рис. 4.12) описывается дифференциальным уравнением, которое является частным случаем дифференциального уравнения для так называемого инерционного звена:

72

времени (T > 0). Для определения переходной функции h (t) подадим на вход звена единичную функцию:

при этом считается, что до момента t = 0 звено находилось в покое, то есть х0 = 0 для t < 0. Начальное условие принимается

x (0) = 0, ибо при скачкообразном изменении x величина dxdt ,

получила бы бесконечное значение и уравнение (4.51) было бы нарушено. Решение (4.51) при указанных условиях имеет

.

Рис. 4.13

73

На рис. 4.13 прямая ОМ – касательная к h(t) в точке t = 0, она пересекает асимптоту h(∞) в точке М, имеющей абсциссу Т.

Теперь для интегрирующей RC-цепочки вместо (4.51) запишем:

Для построения схемы (4.58) удобнее представить в

виде:

Дискретная система, соответствующая (4.60), может быть представлена схемой

задержки на время r.

4.8 Простейшие дискретные линейные системы и цифровые фильтры

.

Определение. дискретная линейная система называется рекурсивной, если для получения последующего значения выходного сигнала используются предыдущие значения выходного сигнала. В противном случае система считается нерекурсивной.

75

АЧХ фильтра для различных значений коэффициента а1 приведены на рис. 4.16. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. а1=1. Фильтр неустойчив: на границах ( при значениях частот t=0, 2, …) АЧХ обращается в бесконечность.

2. а1 =0,99. Фильтр устойчив, так как АЧХ не обращается в бесконечность ни при каких частотах.

Теоретически на избирательные свойства фильтра ограничений нет, однако для реализации высокой избирательности коэффициент а1 должен приближаться к единице. Это влечет за собой усложнение вычислителя для работы с числами большой разрядности.

77

А()