1594

Используя теперь известное разложение в ряд Маклорена функции cos x , получаем:

Отметим, что возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенного ряда позволяет легко найти разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена), если известно разложение в ряд Тейлора (Маклорена)

51

её первообразной или производной. Эти свойства степенных рядов были нами уже использованы для получения разложений некоторых элементарных функций.

2.2.4. Применение степенных рядов

Степенные ряды находят многочисленные приложения. Рассмотрим применение степенных рядов для

1)вычисления значений трансцендентных функций;

2)вычисления определённых интегралов;

3)решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приближённое вычисление значений функций

1. Вычисление числа Эйлера e

Оценим сначала число e сверху. Полагая в формуле

x 1, получим равенство

e 1 1!1 2!1 3!1 ... .

Заметим, что поскольку 1 2 3 ... n 1 2 2 ... 2 2n 1 , то для любого

n 1

n 2 верно неравенство n! 2n 1 . Очевидно, оно справедливо и для

52

разом, e 2,71828. При этом погрешность приближения не превосходит 10!3 0,0000009 , т.е. в приближённой формуле все знаки верны.

2. Вычисление логарифмов

Вычислим ln1,1. Воспользуемся разложением ln 1 x в ряд Маклорена:

Ряд в формуле (2.21) является знакочередующимся. В силу признака Лейбница

53

Поэтому ln1,1 0,0950 , причём все знаки в этой приближённой формуле

верные.

3. Вычисление числа

Исходя из разложения функции arctg x в ряд Маклорена, получаем:

Приведённая формула позволяет вычислить значение числа с любой заданной точностью. Для оценки погрешности, возникающей при замене суммы ряда на его частичную сумму, достаточно воспользоваться признаком Лейбница.

Приближённое вычисление определённых интегралов

Приближённое вычисление определённых интегралов может быть проведено с использованием степенных рядов и применяется тогда, когда первообразная подынтегральной функции через элементарные функции не выражается или когда подынтегральная функция сложна. Например, определён-

точке 0 её можно считать доопределённой произвольным образом, т.к. если

54

переопределить интегрируемую функцию в одной точке, то интегралы от исходной и переопределённой функций будут равны. Для определённости будем считать значение подынтегральной функции в точке 0 равным 1).

С помощью полученного равенства можно при любом заданном a вычислить определённый интеграл с любой степенью точности, используя признак Лейбница.

Аналогичным образом можно вычислить интеграл a e x2 dx . Для его вы-

a

Приведённая формула позволяет вычислить интеграл e x2 dx с любой степе-

0

нью точности.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений воспользуемся методом неопределённых коэффициентов.

П р и м е р Решить задачу Коши

y xy 0 , y 0 0 , y 0 1.

Решение будем искать в виде степенного ряда

Воспользуемся начальными условиями:

y 0 0 a0 0 ;

y a1 2a2 x 3a3 x2 ... nan xn 1 ...,

55

y 0 1 a1 1.

Найдём остальные коэффициенты ряда. Для этого вычислим вторую производную искомой функции:

y 2a2 6a3 x ... n n 1 an xn 2 ... n(n 1)an xn 2 .

n 2

Подставив y и y в заданное уравнение, получим равенство

Перейдём в обоих рядах из формулы (2.26) к одному и тому же индексу суммирования k . В результате получим соотношение

56

2a2 6a3 x [k(k 1)ak ak 3 ] xk 2 .

k 4

Теперь равенство (2.27) можно записать в виде

n 0

положительный радиус сходимости, однозначно определяются значениями суммы ряда s(x) и её производных s(n) (x), n 1,2,3,... в точке x 0 по формулам

b0 s(0), bn s(n) (0) , n 1,2,3, ... .

n!

Сумма ряда из формулы (2.28) равна нулю, т.е. s(x) 0. Поэтому все коэффициенты этого ряда равны нулю:

2a2 0, 6a3 0, k(k 1)ak ak 3 0, k 4,5,6, ... .

57

Поэтому среди коэффициентов степенного ряда, определяющего решение рассматриваемой задачи Коши, отличны от нуля только коэффициенты вида

Легко видеть, что радиус сходимости полученного степенного ряда R .

2.3. Ряды Фурье

2.3.1.Тригонометрическая система функций и тригонометрический ряд

Рассмотрим следующую тригонометрическую систему функций:

Здесь l любое положительное число. Все функции, входящие в систему,

достаточно простые и хорошо изучены. Из этих функций составим функцио-

нальный ряд, называющийся тригонометрическим рядом:

ческого ряда. Ряд (2.32) будет сходиться для всех x , и притом абсолютно, ес-

58

Поскольку ряд с членами | an | | bn |, по предположению, сходится, то, по признаку сравнения, будет сходиться и ряд (2.33). Поэтому ряд (2.32) сходится абсолютно для всех x E1 .

2.3.2. Свойства тригонометрической системы функций

1. Все функции системы являются периодическими, наименьший общий период функций системы равен 2l .

Покажем это.

Функция 12 = const , её периодом является любое число.

Поскольку наименьший период каждой из функций вида cos x , sin x

Наибольшее из чисел Tn , равное T1 2l , как раз и будет наименьшим

общим периодом всех функций системы.

Таким образом, каждый член тригонометрического ряда является периодической функцией, и, значит, любая частичная сумма ряда тоже будет периодической функцией. Ясно, что и сумма ряда, членами которого являются периодические функции, также будет периодической функцией. Вследствие сказанного тригонометрические ряды широко применяются при описании периодических процессов: механических и электромагнитных колебаний, движения небесных тел, вибрационных и сейсмических процессов и т.п.

59

2. Функции системы (2.31) ортогональны на отрезке l ;l в следующем

смысле: интегралы по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равны 0, а интеграл по отрезку l ;l от квадрата лю-

бой функции отличен от нуля.

Покажем сначала, что интеграл от произведения функции 12 на любую другую функцию тригонометрической системы равен нулю:

Действительно,

Покажем далее, что имеют место равенства