3115

Начальное значение площади поверхности раздела в момент времени t0 равно:

Через промежуток времени Д/ поверхность раздела займет новое положение между векторами р[ и р2:

v — вектор скорости для простого сдвигового течения:

t

где v — общая деформация или деформация сдвига у = J уух (О dV

о

Подставив (7.9-10) в (7.9-8), получим выражения, определяющие новые позиционные векторы р{ и р2 через их компоненты:

Разделив (7.9-14) на (7.9-7) и использовав выражения для на­ правляющих косинусов (7.9-3), получим отношение двух площадей в моменты времени t0 + Д/ и t0:

Это выражение, предложенное Спенсером и Уайли [3], показы­ вает, что увеличение площади поверхности раздела зависит от на­ чальной ориентации поверхности и суммарной деформации. При боль­ ших деформациях выражение (7.9-15) принимает вид

Таким образом, получен важный вывод: увеличение площади по­ верхности раздела прямо пропорционально суммарной деформации. Следовательно, суммарную деформацию можно рассматривать как критерий количественной оценки процесса смешения.

Кроме того, из выражения (7.9-15) следует, что при малых зна­ чениях деформации площадь поверхности раздела может изменяться

Рис. 7.14. Сферические координаты г, б, Ф.

поверхности раздела. Максимальное увеличение площади поверх­

то площадь поверхности раздела остается неизменной. Из выражения (7.9-6) видно, что это происходит, когда zl = z2 = 0 или у1 = у2 = 0, т. е. когда поверхность А0 лежит либо в плоскости xz, либо в плоско­ сти ху. В первом случае плоскость не деформируется, а во втором она деформируется, но площадь остается той же * (А = Л0).

Следует, однако, помнить, что речь идет о трехмерной системе, в которой наиболее вероятно случайное распределение ориентаций элементов поверхности раздела. Поэтому для такой системы наи­ больший интерес представляет расчет суммарного увеличения пло­ щади поверхности раздела. Рассмотрим ряд элементов поверхности раздела одинаковой площади А0 со случайным распределением ориентаций. Это означает, что имеется набор векторов с, ориентиро­ ванных случайно во всех направлениях. Доля векторов, ориентиро­ ванных в некотором направлении, определяется отношением площади

в положении между углами 0 и 0 + ^ 0 и Ф и Ф + ^Ф. Угол 0 в сфе­ рической системе координат аналогичен углу ау в декартовой системе координат, а угол Ф выражается через углы ах и ау следующим образом:

* В последнем случае может оказаться, что перемешивание все же происходит, несмотря на постоянство площади поверхности раздела. Действительно, если рас­ сматривать двумерное смешение в плоскости, то перемешивание происходит, но в этом случае критерием смешения будет не площадь, а периметр.

Уравнение (7.9-16) можно теперь представить КВк!

Средняя величина изменения площади поверхности раздела равна:

Таким образом, отношение общей конечной площади поверхности раздела к общей начальной площади в системе со случайной ориен­ тацией поверхностей при простом сдвиговом течении и больших де­ формациях равно половине суммарной величины деформации системы.

Систему, состоящую из беспорядочно распределенных кубиков диспергируемой фазы в массе дисперсионной среды, можно рассма­ тривать как систему со случайно ориентированными, равными по размеру площадками поверхности раздела. Выражение (7.9-20) позво­ ляет рассчитать суммарное изменение площади поверхности раздела для такой системы при больших деформациях (при допущении, что диспергируемая фаза и дисперсионная среда имеют одинаковые рео­ логические свойства). Среднее значение ширины полос [см. (7.8-1)] можно рассчитать из выражения

2

(7.9-21)

(А/А0) (Ао/У)

Подставив (7.9-20) в (7.9-21) и выразив отношение начальной площади поверхности раздела к объему через объемную долю дис­ персной фазы xv и длину стороны кубика L (А0/V = 6xJL), полу­ чим:

Таким образом, ширина полос обратно пропорциональна сум­ марной деформации. Кроме того, видно, что ширина полос пропор­ циональна начальному размеру кубика диспергируемой фазы и обратно пропорциональна объемной концентрации диспергируемой фазы. Следовательно, чем крупнее частицы и чем меньше объемная концентрация диспергируемой фазы, тем большая величина дефор­ мации необходима для достижения любого требуемого конечного значения ширины полос. Поэтому труднее ввести небольшое коли­ чество диспергируемой фазы в дисперсионную среду, чем пригото­ вить смесь состава 1 1.

Чем крупнее частицы диспергируемой фазы, тем труднее переме­ шивать компоненты. Выражение (7.9-22) позволяет определить величину деформации, необходимой для уменьшения ширины полос до такого уровня, когда происходит усреднение смеси за счет моле­ кулярной диффузии или броуновского движения при заданных зна-

Гениях скорости деформирования и времени смешения. Установлено эмпирическое правило [24]: хорошее (адекватное) смешение дости­ гается при величине деформации 18 000 ± 6000 единиц сдвига. Это соответствует уменьшению ширины полос примерно в 104 раз. Заме­ тим, однако, что термин «адекватное смешение» определяется требо­ ваниями, предъявляемыми к смеси.

Мор и др. [14] предложили выражение для расчета увеличения площади поверхности раздела в процессе течения при растяжении. Позднее Эрвин [25] предложил уравнение для обобщенного однород­ ного течения:

(7.9-24)

где cos a ', cos р' и соs у ' — направляющие косинусы, определяющие ориентацию главных осей тензора деформации в исходном состоянии, a X.Y, и Х2— главные удлинения (см. Задачу 7.7).

7.10. Функции распределения деформации

Если допустить, что ключевым параметром, определяющим каче­ ство ламинарного смешения, является суммарная деформация, то возникает следующая проблема: в большинстве промышленных сме­ сителей и в технологии переработки вообще различные частицы жид­ кости подвергаются различным деформациям. Это справедливо для смесителей как периодического, так и непрерывного действия. В сме­ сителях первого типа различия в деформировании возникают за счет разницы в величине пути, пройденного частицами жидкости внутри смесителя. В смесителях непрерывного действия кроме разницы в пути, пройденном частицами, важна еще разница во времени пре­ бывания каждой частицы жидкости в смесителе. Для количествен­ ного описания различий в деформировании предложены функции распределения деформации [26], подобные классическим функциям распределения времени пребывания. В дальнейшем понятие «дефор-

мация» ограничим деформацией сдвига: у = J уух (/') dt'

о

Смесители периодического действия

В смесителе периодического действия скорости сдвига неодина­ ковы в различных точках объема. Точно так же неодинаковы и вре­ мена пребывания частиц жидкости в зонах с различной скоростью сдвига. Следовательно, спустя некоторое время после начала сме­ шения различные частицы жидкости будут отличаться по величине накопленной деформации сдвига у. Функция распределения дефор­ мации (ФРД) g (у) dy определяется объемной долей жидкости в си­ стеме, величина деформации сдвига которой лежит в интервале от у до у + dy. Иными словами, это вероятность того, что за данное время смешения частица жидкости, поступившая в смеситель, накопит

Рис. 7.15. Трехцнлнндровый смеситель. Средний ци­ линдр вращается с постоянной окружной скоро­ стью IV

1 — зона 1; 2 — зона 2; 3 — вращ аю щ и йся цилиндр.

деформацию 7 . Функция g (7 ) зависит от

времени смешения. Интегрируя функцию распределения деформации g (7 ) dyf по­

лучим интегральную функцию распреде­ ления деформаций:

v

G(Y)=J*(YMY (7.10-1)

о

где G (7) — объемная доля жидкости с деформацией сдвига меньше 7.

Среднее значение деформации сдвига в объеме у определяется из

уравнения

^шах

Y = j yg(y)dy (7.10-2)

о

Функции g (7 ) и G (7 ) зависят от конструкции смесителя, условий

смешения и реологии жидкости.

Пример 7.5. ФРД для «трехцилиндрового смесителя».

Значение ФРД для смесителей периодического действия можно проиллюстриро­ вать на примере простого «смесителя», состоящего из трех концентрических цилин­ дров (рис. 7.15). Внешний и внутренний цилиндры неподвижны, а средний цилиндр (нулевой толщины) вращается с окружной скоростью V0. Смешиваемая жидкость находится между цилиндрами. ФРД жидкости зависит от положения среднего цилин­ дра относительно двух других. Пренебрегая влиянием кривизны, скорость сдвига в зонах 1 и 2 можно считать постоянной. Величина деформации сдвига через проме­ жуток времени t определяется из уравнений

а х — нормированное расстояние от среднего цилиндра до внутреннего равно:

На рис. 7.16 представлена ФРД для случая, когда a — 0,95 и Р = 1, а х — пере­ менная величина. Видно, что среднее значение деформации не зависит от положения среднего цилиндра, тогда как распределение деформации сильно изменяется в зависи­ мости от х. При х — 0,1 примерно 10 % жидкости находится в зоне 1 и 90 % — в зоне 2, подвергаясь деформации в 200 и 22 единицы сдвига соответственно. Если, например, для смешения требуется минимум 40 единиц сдвига, то для того, чтобы все частицы жидкости подверглись минимальной деформации, время смешения (т. е. Р) нужно почти удвоить. Такое увеличение времени приведет к «чрезмерному»

перемешиванию 10 % жидкости, подвергшейся деформации в 400 единиц сдвига. Перерасход энергии смешения и слишком большую продолжительность этого про­ цесса можно предотвратить, поместив средний цилиндр на расстояние х —- 0,5. Тогда при Р = 1 для всех частиц жидкости требуемая величина деформации состав­ ляет 40 единиц сдвига. Разумеется, нужно стремиться к узкому распределению де­ формаций. Из приведенного примера следует, что при моделировании смесителей ФРД должна сохраняться неизменной.

Смесители непрерывного действия

Частицы жидкости, выходящие из непрерывного шесителя, от­ личаются как величиной накопленной деформации, так и временем пребывания в смесителе. Как уже было сказано ранее, подобно функции распределения времени пребывания, ФРД для непрерыв­ ных смесителей / (у) dy определяется как доля объемного расхода на выходе из смесителя с суммарной деформацией сдвига, лежащей в интервале между у и у + dy, или как вероятность того, что частицы жидкости на выходе накопят эту деформацию. Интегральная функ­ ция распределения деформации F (у) определяется выражением

v

Vo

Она представляет собой ту часть объемного расхода на выходе из смесителя, которая характеризуется деформацией, меньшей или равной у; у0 — минимальная деформация. Среднее значение дефор­ мации потока на выходе из смесителя равно:

Vo

ФРД, подобно функции распределения времен пребывания (ФРВП), можно рассчитать из профиля скоростей, поскольку он определяет обе функции. Обратное не всегда справедливо. Для рас­ чета ФРД необходимо полное описание картины течения, а ФРВП часто можно рассчитать, имея неполную картину течения. Напри­ мер, для аксиального кругового течения ньютоновской жидкости между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами (винтовое течение) ФРВП зависит только от аксиальной скорости, тогда как ФРД зависит от распределения аксиальной и тангенциальной ско­ ростей. Следовательно, ФРД нельзя рассчи­ тать из экспериментально определенной ФРВП.

Пример 7.6. Функция распределения деформации при течении между параллельными пластинами.

Рис. 7.16. Интегральная функция распределения дефор­

значная функция, то среднее значение деформации (см. Задачу 7 11) определяется из следующего выражения:

На рис. 7.18 приведена ФРД в сравнении с аналогичной функцией для течения ньютоновской жидкости в круглой трубе. Полученный результат показывает, что среднее значение деформации пропорционально отношению ИИ. Следовательно, для хорошего смешения расстояние между пластинами должно быть небольшим, а длина L большой. Рис. 7.18 свидетельствует об очень большой ширине распреде­ ления деформации. Жидкость, составляющая около 75 % объемного расхода, под­ вергается деформации ниже среднего уровня.

Чтобы лучше вникнуть в смысл ФРД, проследим за уменьшением ширины полос и послойным распределением объемного расхода между пластинами (рис. 7.19). Расстояние между пластинами разделено на десять слоев. Для схематического изоб­ ражения ФРД допустим, что деформация в пределах одного слоя одинакова. Рассмо­ трим в каждом слое две кубические частицы диспергируемой фазы. Начальная ши­ рина полос равна г0. На рис. 7.19 показано начальное, промежуточное и конечное положения частиц в процессе деформирования и перемещения их во времени.

Как было показано выше, несмотря на то, что скорость сдвига по всему зазору между пластинами одинакова, суммарная деформация частиц обратно пропорцио­ нальна расстоянию от нижней неподвижной пластины, поскольку время пребыва­ ния частиц в зазоре различно (7.10-19). Поэтому ширина полос на выходе из смеси­ теля возрастет с увеличением расстояния от нижней пластины, достигая макси­ мальной величины (наименьшее смешение) на верхней пластине. Качество «продукта», изготовленного в таком смесителе, не будет полностью определяться уровнем дефор­ мации или шириной полос в сечении потока. Имеет также значение скорость потока

Рис. 7.18. Функции распределения деформаций для вынужденного течения в смеси­ теле из параллельных пластин (/) и для ньютоновского ламинарного течения в круг­ лой трубе (2).

Рис. 7.19. Схема изменения ширины полос на различных участках вынужденного потока жидкости в смесителе из параллельных пластин. Справа показана доля объемного расхода на выходе из смесителя в зависимости от высоты слоя; I — на­ чальное; II — промежуточное; III — конечное положения. Пояснения в тексте.