2794.Электронно-лучевая сварка

симметрии потенциал будет определяться в половине плоскости

с конфигурацией электродов (от r = 0 до r = rmax).

Дальнейшая формулировка задачи требует записи двух видов граничных условий в дополнение формулы (1.32): граничное условие Неймана по длине оси рассматриваемой пушки (т.е. радиальная компонента потенциального распределения ∂ U ∂ r= 0 )

и граничное условие Дирихле по длине остальной части границы (потенциал граничных точек сетки является потенциалом электродов Uj). В зазорах между электродами потенциал принимает логарифмическое распределение в радиальном направлении и линейное распределение, если граница является параллельной оси z.

Движение электронов при этих условиях описывается

В формуле (1.33) принято, что луч является нерелятивистским (m = const) и собственное магнитное поле пучка пренебрежимо мало.

Решение дифференциального уравнения (1.33) после исключения t для нахождения траектории движения электронов находят, применяя стандартный метод Рунге – K утты. Для увеличения точности расчета около катода и электродов используют сетки с более мелким шагом.

Взамен траекторий многих тысяч электронов (компьютерный ресурс ограничен) число расчетных траекторий сводится к нескольких десяткам, поэтому в расчете участвуют виртуальные «большие заряженные частицы» или «трубки тока», содержащие заряд эмитированного тока от катодных сегментов [26, 27]. Ток определяется уравнением Чайлда – Ленгмюра для каждого при-

91

близительно плоского диода, соответствующего катодному сегменту. После этого рассчитывается распределение пространственного заряда, переносимого по траекториям. Следующий шаг – это решение уравнение Пуассона для определения распределения потенциала (а следовательно, и напряженности электрического поля) из полученного нового распределения зарядов в узлах сетки. Из множества повторений перечисленных процедур – нахождение эмитированного тока, траектории, пространственного заряда и потенциального распределения – находят устойчивое решение, характеризующее сложные электронные пушки, являющиеся базой для их экспериментальной оптимизации.

В качестве иллюстрации рассмотрим результаты для двух близких конструкций сварочных электронных пушек (их электростатической части) с LaB6 катодом косвенным подогревом и очень близкой геометрией электродов (рис. 1.49).

Рис. 1.49. Геометрические параметры двух электростатических частей сварочных электронных пушек: а – с цилиндрической; б – с конической внутренней стенкой

управляющего электрода

Эмиттер обеих конструкций представляет таблетку, изготовленную из LaB6. Все электроды (эмиттер, управляющий электрод и анод) совпадают по геометрии и размерам. Отличие

92

между пушками, показанными на рис. 1.49, состоит только в ближайшей до катода (эмиттера) поверхности управляющего электрода. В варианте рис. 1.49, а это цилиндрическая поверхность, а в варианте рис. 1.49, б – конус.

Результаты траекторного анализа генерированного пучка при ускоряющем напряжении 30 кВ и разных потенциалах управляющего электрода M (модулятора) показаны на рис. 1.50–1.51. Сравнивая пучки, генерируемые в схемах на рис. 1.50 и рис. 1.51, можно убедиться, что небольшие изменения геометрии электро-

в создаваемых интенсивных пучках при изменении одного параметра управления создаваемой пушки (напряжение модулятора измеряется относительно напряжения эмиттера). Нужно понимать, что результаты траекторного анализа имеют качественный характер. Каждая траектория несет различный ток, и точное сравнение пучков после смешивания траекторий, выходящих из центральной области эмиттера и от

93

Рассмотрим на примере одной из первых пушек с индустриальным применением, показанной на рис. 1.52, трудности, возникающие при расчете подобных прямонакальных пушек, типичных для разработчиков Западной Европы.

Рис. 1.52. Расчет распределения электрического поля (и пучка) в знаменитой пушке Штайгервальда, использованной в первых сварочных установках

Основная аппроксимация при расчете в цилиндрической системе координат – предположение о круглой форме эмиттера при моделировании эмиссии квадратного катода. При более детальной 3D-симуляции электрического поля можно увидеть, что перед концами квадратного катода запирающий потенциал сильнее

иэмиссия уменьшается, поэтому катод работает как «эффективно круглый» с меньшим размером, чем реальный квадратик. Соответственно, и рабочее пятнопучка не является квадратным.

Следующая проблема – в том, что при недостаточном разрешении вычислительной сетки катод становится неразличимым,

ипоэтому и результаты становятся дискуссионными. Симулиро-

95

ванные эквипотенциальные поверхности, показанные на рис. 1.52, используются для того, чтобы уменьшить размеры вычислительной области с учетом ограничения до пунктирной линии между венельтом и анодом, при этом принимается потенциальное распределение по ее длине, как граничное условие при расчете симуляции на рис. 1.53 [34].

Рис. 1.53. Расчетэлектрического поля итраекторий пучка вчасти пушки, показанной нарис. 1.52, с 10-кратным уменьшением шага сетки при использовании граничного условия срис. 1.52

Также отметим, что компьютерное моделирование такой пушки с помощью метода конечных разностей при решении уравнения Пуассона встречает трудности, так как катод с радиусом 1 мм находится в аноде с радиусом порядка 80–100 мм. Требование к моделированию узкого пучка – шаг сетки должен быть значительно меньше размеров кроссовера, который имеет значение порядка 0,1 мм. Следовательно, около 10 000 шагов сетки будут необходимы в радиальном направлении (в случае равномерного шага). Для таких вычислений ресурс даже самых быстрых персональных компьютеров не оказывается достаточным (задача по

96

плечам только суперкомпьютерам). Принципиально проблема решается применением неравномерной вычислительной сетки (наилучшие результаты дает логарифмическая трансформация радиальной координаты [35]). Однако это требует очень больших модификаций существующих программ или больших трудозатрат при разработке новых. Оказалось, легче работать с подполями сразличным шагом. Пример, демонстрирующий этот подход, представлен на рис. 1.53, где, как было указано, расчет ведется только в центральной части пушки спучком и катодом, благодаря чему видны некоторые особенности вблизи катода и самого пучка.

Проблемы, связанные с пространственным зарядом перед маленькими катодами, также существуют, хотя и возникают реже, так как эти пушки создавались для работы при больших значениях напряжения (и маленьких токах пучка) [41]. Здесь после выбора вычислительной сетки с очень малым шагом плотность эмитированного тока получается из потенциального распределения потенциалов путем итераций.

Полученные траектории и потенциалы используются в расчетах поведения пучка в фокусирующей и отклоняющей системах. Все же еще раз отметим, что траекторный анализ пучков – в значительной степени инструмент качественного исследования, поскольку даже при установлении, что некоторая траектория попадает на электроды пушки, мы не знаем, какой заряд она несет, а поэтому результат является неполным. В технологических пучках вместо индивидуальных траекторий интереснее поведение всего пучка, и поэтому фазовый анализ пучка является более пригодным.

1.2.5.2. Фазовый анализ формирования электронных пучков

Главные особенности предложенного Г. Младеновым и сотрудниками [36, 37] подхода фазового анализа электронных пучков могут быть сформулированы следующим образом:

– учитывается распределение термических скоростей и формирование потенциального барьера перед катодом;

97

–новый метод (названный методом фазового пространства) применен для расчета и позиционирования пространственного заряда;

–применение концепции фазового пространства для вывода результатов моделирования также является существенной особенностью, отличающей метод от траекторного анализа.

Физическая модель этого подхода заключается в следующем. Потенциальное распределение рассчитывается в области электродной части пространства пушки. Границами области являются: ось пушки (граничное условие Неймана), поверхность катода, электроды и соответствующие межэлектродные сегменты с потенциалом, распределеннымподходящимобразом(условиеДирихле).

Электронный пучок в статическом электрическом поле под действием собственного пространственного заряда описывается в шестимерном фазовом пространстве в фазовой плот-

ности f (x, y, z, px, py, pz), где px, pv и pz – компоненты импульса одного электрона в точке с координатами (x, y, z). Плотность

пространственного заряда в одной точке с координатами (x, y, z) – это интеграл произведения заряда электрона и фазовой плотности в этой точке:

Запишем на основании теоремы Лиувилля для сохранения объема, занятого электронами в фазовом пространстве,

dx dy dz dpx dpy dpz = dx0 dy0 dz0 dpx0 dpy 0 dpz 0

и

f (x, y, z, px , py , pz ) = f (x0 , y0 , z0 , px 0 , py 0 , pz 0 ),

если точки (x0, y0, z0, px0, py0, pz0) вследствие движения электрона в фазовом пространстве трансформируются в (x, y, z, px, py, pz).

Тогда формула (1.34) может быть записана как

ρ (r, z )= JV1 z ∫Vz 0 f0 (x, y, z,VxVyVz )dVx 0 dVy 0 dVz 0 ,

98

где r = (x2 + y2)1/2, J – матрица Якобиана трансформации между

(x0, y0) и (x, y).

Термические электроны, эмитированные катодом, имеют Максвелл – Больцмановское распределение по скоростям, следовательно, фазовая плотность на границе (т.е. на поверхности катода)

электронов. Плотность пространственного заряда в точке (r, z), создаваемого электронами, эмитированными с элементарной площадки на поверхности катода dx0dy0 с начальными скоростями

в диапазоне (Vx0–V x0+∆Vx0), (Vy0–V y0+∆Vy0) и (Vz0–V z0+∆Vz0), ко-

торые обладают достаточно большой энергией для перехода через потенциальный минимум перед катодом,

где K3 = (m/kT)1/2 и J – определенная матрица Якобиана трансформации между dxdy и dx0dy0, erf – табулированная функция ошибок:

Аксиальная скорость Vz электронов в точке (r, z), полученная из закона сохранения энергии:

99

Движение электронов описывается дифференциальным уравнением

Вформуле (1.36) pi – компоненты импульса одного электрона

вточке с координатами qi или (x, y, z). Здесь принимается, что пучок– нерелятивистский и что собственным магнитным полем можнопренебречь. ГамильтонианH такогопучказаписываюткак

где px0, py0,pz0 – компоненты начального импульса, а e – заряд электрона.

Следовательно, уравнение движения нерелятивистских электронов принимает форму

Оценку аксиальной скорости электрона, эмитированного из точки (x0, y0) на катоде, с компонентами начальной термической скорости (Vx0, Vy0, Vz0) можно представить как

( )1/ 2 Vz = 2η U− Vx2− Vy2− Vx20− Vy20− Vz20 ,

где

100