1329

трических машин характер распределения магнитного поля в воздушном зазоре отличен от гармонического. Магнитное поле в этом случае можно рассматривать как совокупность бесконечно большого числа пространственных гармоник [9]. Наличие спектра пространственных гармоник магнитного поля приводит к тем же результатам, что и асимметрия электрических машин. Поэтому при исследовании электрических машин эти факторы можно рассматривать с единых позиций, используя для их оценки одни и те же критерии.

Каким же критерием можно воспользоваться для оценки степени асимметрии электрической машины? Таким критерием является форма огибающей магнитного поля в воздушном зазоре электрической машины [38]. Если режим работы машины и её конструкция являются симметричными, то огибающая магнитной индукции в зазоре машины будет изображаться прямой, параллельной оси абсцисс.

Действительно, магнитное поле в зазоре электрической машины для всех пространственных гармоник можно представить в виде суммы двух компонент:

Выполняя дифференцирование этого выражения по t , приравнивая полученное выражение нулю и исключая из него sin ω t и cos ω t, получим уравнение огибающей

Если магнитное поле представляет бегущую волну, то оно может быть описано следующим выражением:

B = BM = const , её изображение представлено на рис. 7.1 (кривая 1).

На рис. 7.1 приведена также огибающая магнитного поля для токовой нагрузки статора, представляющей комбинацию первой и третьей пространственных гармоник различной амплитуды (кривая 2).

171

Реальная токовая нагрузка электрических машин представляет собой сумму токов обмотки, сосредоточенных в пазах. Огибающая токовой нагрузки в этом случае отличается от синусоиды и представляется в виде одиночных импульсов, распределённых на длине расточки статора. Магнитная индукция в воздушном зазоре также отлична от синусоиды и изображается в виде трапеции. Огибающие токовой нагрузки и магнитной индукции изображены на рис. 7.2.

7.2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ

ВОДНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

При исследовании электромагнитных процессов электрических машин приходится вводить ряд упрощающих допущений, так как точно описать эти процессы практически невозможно. Для решения подобных задач стремятся значительно упростить математическое описание процессов. Вместе с тем следует отразить их наиболее существенные стороны, чтобы была обеспечена необходимая точность. Часто для исследования электромагнитных процессов используют упрощенные модели, которые, по мере получения определённых результатов, постепенно усложняют. В рассматриваемом случае нами принята подобная методика и для получения приближённых результатов на начальных этапах будет использована одномерная модель.

Режим идеального холостого хода характеризуется тем, что обмотка ротора разомкнута или не обтекается током. Магнитное поле машины в этом случае создаётся исключительно токами статора. Математическое описание магнитного поля производится в цилиндрической системекоординат ( R, φ, Z ).

Для упрощения математического описания принят ряд допущений, большинство из которых будет уточнено или снято при последующем рассмотрении. К ним относятся следующие:

1.Не учитывается изменение магнитного поля вдоль аксиальной оси, т.е. решается плоскопараллельная задача.

2.Магнитная проницаемость материала сердечника не зависит

от пространственной координаты ϕ .

173

3.Не учитывается насыщение материала магнитопровода, т.е. его магнитная проницаемость считается постоянной величиной.

4.Сердечники магнитопроводов не имеют пазов, а их влияние учитывается эквивалентным увеличением воздушного зазора.

5.Токи обмотки статора вследствие отсутствия пазов вынесены

взазор машины и равномерно распределены по его высоте.

Для плоскопараллельного приближения векторный потенциал магнитного поля, плотность тока и напряжённость магнитного поля имеют по единственной составляющей

В этом случае магнитная индукция и напряжённость магнитного поля имеют по две составляющие, направленные по радиальной и тангенциальной координатным осям:

выражая напряжённость магнитного поля через магнитную индукцию

выполняя математические преобразования и проектируя полученное выражение на координатную ось z, получим уравнение магнитного поля

в исследуемой области

174

Rвн ≤ R≤ Rн ; 0 ≤ φ≤ 2π,

где Rвн, Rн – внутренний радиус ротора и наружный радиус статора

асинхронной машины.

В уравнении опущен индекс единственной составляющей векторного потенциала и плотности стороннего тока.

Согласно принятым допущениям, магнитная проницаемость µ не зависит от координаты φ и может быть вынесена за знак производной. Поэтому уравнение в окончательном виде записывается как

Уравнение (7.10) с нулевыми граничными условиями по координате R и периодическими условиями по координате φ образуют двумерную краевую задачу, решение которой определяет магнитное поле в зазоре и магнитопроводах статора и ротора.

Вводя определённые допущения, можно значительно упростить задачу, сведя её к одномерной.

Пусть в стационарном режиме система сторонних токов, возбуждающая магнитное поле, и векторный потенциал представляют бегущую вдоль расточки статора волну:

Переходя к комплексным выражениям и выполняя дифференцирование по пространственной координате φ, преобразуем уравнение

(7.10) к виду

Полученное одномерное дифференциальное уравнение решается конечно-разностным методом.

Постановка краевой задачи иеёрешение приведено впримере7.1.

175

Пример 7.1. Расчёт магнитного поля трёхфазного асинхрон-

ного двигателя. Рассчитать характер распределения магнитного поля вдоль радиальной координаты для трёхфазного асинхронного двигателя по следующим данным:

–начальный радиус 30 10−3 м;

–высота ярма статора и ротора 5 10−3 м;

–величина воздушного зазора 0,5 10−3 м;

–магнитная проницаемость материала ярма статора и ротора

µя = 500µ0 ;

–число полюсов 2 p = 2;

–плотность стороннего тока J ст.м = 107 A/м2.

Программа решения задачи, реализованная в пакете MATLAB приведена ниже:

n1=50; n2=60; n3=110; n4=160;; mu0=4.*pi*1.e-7; tok=1.e7; r0=30.e-3; p=1; ; p=1; hr=0.1e-3; f(1:n4)=0.;f(n1+1:n2)=tok; alf(2)=0.; bet(2)=0.; y(n4)=0; mu(1:n1)=500.; mu(n1+1:n2)=1.; mu(n2+1:n3)=500.; mu(n3+1:n4)=1.;

for i=1:n4+1 r(i)=r0+hr*(i-1);

end

for i=2:n4-1 a(i)=(1./mu(i)+1./mu(i-1))*(1.-0.5*hr/r(i));

b(i)=(1./mu(i)+1./mu(i+1))*(1.+0.5*hr/r(i)); c(i)=a(i)+b(i)+2.*p^2*hr^2/(mu(i)*r(i)^2); ft(i)=2.*mu0*hr^2*f(i);

end

for i=2:n4-1

d=c(i)-a(i)*alf(i); alf(i+1)=b(i)/d; bet(i+1)=(ft(i)+a(i)*bet(i))/d; end

for i=n4-1:-1:1 y(i)=alf(i+1)*y(i+1)+bet(i+1);

end

for i=2:n4-1

br(i)=y(i)/r(i); bf(i)=-(y(i+1)-y(i-1))/(2.*hr); end

for j=1:n4-1 nn(j)=j;

end

176

n1(nn)=nn; n2(nn)=10*br; n3(nn)=bf; disp(abs(bf));

plot(n1,n2,n1,n3)

Результаты решения краевой задачи при равномерном распределении плотности стороннего тока по высоте воздушного зазора представлены на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Распределение радиальной BR × 10 (1) и тангенциальной Bφ (2) составляющих магнитной индукции вдоль радиальной координаты

На этом рисунке видно, что при заданном значении магнитной проницаемости магнитопроводов магнитное поле в воздушном зазоре асинхронного двигателя практически не имеет тангенциальной составляющей Вφ . Радиальная составляющая индукции в зазоре дви-

гателя изменяется весьма незначительно. При реальных величинах воздушного зазора эта составляющая имеет практически постоянную величину.

177

Тангенциальная составляющая магнитной индукции в ярме статора и ротора также имеет малое затухание, а радиальная составляющая изменяется по высоте ярма по закону, близкому к линейному.

Действительно, при выполнении условия непрерывности магнитного потока

близка к постоянной величине.

Если не принимать во внимание незначительное затухание магнитного поля в ярме статора и ротора, т.е. считать, что тангенциальная составляющая магнитной индукции распределена равномерно по высоте ярма (рис. 7.4), то возможно построение расчётной модели, которая даёт возможность аналитического решения.

Для этого аппроксимируем первый член уравнения (7.9) следующим образом:

Согласно принятому выше допущению, магнитная индукция Bϕ

распределена по высоте ярма статора (hя.с ) и ротора (hя.р ) равномерно, а в воздушном зазоре равна нулю, что показано на рис. 7.4.

178

дине воздушного зазора. Поэтому в качестве магнитной проницаемости µ необходимо взять проницаемость воздуха µ0 , а в качестве ра-

диуса – радиус середины воздушного зазора R0 . Тогда уравнение векторного потенциала будет иметь вид

где µ′я.с и µ′я.р – относительные магнитные проницаемости материала

ярма статора и ротора. Одномерное уравнение

180