1323

13.3. Естественная система координат. Преобразования координат. Матрица Якоби

Естественная система координат обладает определенным преи­ муществом при рассмотрении двумерных и трехмерных элементов, так как она позволяет деформировать границы этих элементов. Безразмерная система координат может быть также введена и для одномерных элементов. Однако упомянутое преимущество здесь

------------

Фиг. 13.4. Естественная система координат для одномерного квадратичного элемента.

носит главным образом академический характер. Оно упрощает иллюстрацию самого понятия локальных координат и некоторых вычислительных операций. В этом разделе будет рассмотрена есте­ ственная система координат для одномерного элемента как необходимое введение к обсуждению двумерных и трехмерных элементов, которому посвящены следующие главы.

Естественной системой координат для одномерного элемента служит относительная длина, определяемая как

ражены теперь через | вместо х. Функции формы для линейного, кубичного и квадратичного элементов приведены на фиг. 13.5. Чи­ татель сам может убедиться в их правильности.

В этом разделе будет проиллюстрировано вычисление матрицы элемента. Если вернуться к гл. 5, то мы увидим, что каждое из приведенных там соотношений, определяющих матрицы элементов, содержит производные^ от функций формы по переменным х, у и z. В случае одномерной задачи теории поля, например, выражение

для коэффициентов матрицы теплопроводности содержит произ­ водную dNfi/dx:

t^vl = j к хх M L dV, p = i, j, k, v = t , j, k. (13.27)

V

Для дальнейших выкладок нам потребуются формулы преоб­ разования координат вида

Формулу преобразования координат можно записать, используя такую же комбинацию функций формы, но только в качестве уз­ ловых параметров нужно взять координаты узлов:

Вычисление dNp/dx теперь не представляет труда, если вспом­ нить, что

Величина dx/d% называется матрицей Якоби преобразования коор­ динат [2]; далее она будет обозначаться через [/]. Для одномер­ ного случая [/] есть матрица размером 1X1, которая вычисляется по формуле

Прежде всего составим матрицы ГЛ и ГЛ-1. Используя формулу (13.33), получаем

Запишем производные функций формы по g: •

Подставив эти выражения вместе с числовыми значениями коор­ динат в выражение для ,[/], получим

№ = (— J-+I) ( -f) + (—25)(1>+ (4"+ |) ( “г )-

V)------- Г + - | — Й + Т + - ? - = 4 - . Г-'Г* = 2 .

Так как dN $/dl- уже определено, можно получить dNpfdx. Из фор­ мулы (13.32) находим

поскольку [У]-1= 2 .

Заметим, что записанные производные являются функциями естественной координаты £. Это означает, что, прежде чем вычис­ лять [#*>], нужно сделать замену переменной интегрирования в интеграле (13.27). Для малого элемента объема имеем

В рассматриваемом случае имеется только одна координата £, по­ этому

где А — площадь поперечного сечения и | det [У] | = '/2-

Подставив в (13.36) полученные выше выражения, будем иметь

Этот результат идентичен результату, полученному при использо­ вании формулы (13.15), если величину L считать равной единице, как в данном случае. Факт совпадения результатов подтверждает правильность рассмотренной методики. Однако ощутимое преиму* щество использования естественной системы координат заключает­ ся в возможности изменения формы элемента, что иллюстрируется

вследующей главе.

13.4.Применение численного и н т е г р и р о в а н и я при определении матриц элемента

В предыдущем разделе удалось продемонстрировать стандарт­ ную методику определения матриц элементов в общих чертах на примере с использованием естественной системы координат потому, что все интегралы были вычислены почти без труда. Но это скорее исключение, чем правило. Обычно матрица Якоби ,[/] является функцией I и не может быть легко вычислена, так как ее коэф­ фициенты— полиномы. В таких случаях [/]-> никогда не опреде­ ляется явным образом и для составления матриц элементов ис­ пользуются методы численного интегрирования.

При рассмотрении одномерного элемента в предыдущем разде­ ле в численном интегрировании не было необходимости. Однако этот элемент имеет одну очень важную характеристику, которая делает его удобным для иллюстрации методов численного интегри­ рования: ограниченное число точек интегрирования. Объем вычис­ лений при этом сокращается настолько, что их можно полностью провести для некоторого иллюстративного примера.

17—763

подбираются с целью достижения наибольшей точности вычисле­ ний. Это означает, что при выборе п точек рассматриваются 2п неизвестных / и х; следовательно, порядок интерполяционного мно­ гочлена теперь равен (2п— 1). После построения интерполяционно­ го многочлена интегрирование выполняется точно. При таком под­ ходе, известном как квадратура Гаусса — Лежандра, должны быть решены дополнительно некоторые уравнения, после чего значения / и х записываются в таблице. В табл. 13.2 представлены коорди-

Таблица 13.2

Координаты узлов и весовые коэффициенты для квадратуры Гаусса—Лежандра до четвертого порядка

паты точек интегрирования и весовые коэффициенты Я для квад* ратуры Гаусса — Лежандра до четвертого порядка [1]. Располо­ жение точек разбиения, соответствующее интервалу интегрирова­ ния от — 1 до 1 для случаев л = 2 и п= 3, показано графически на фиг. 13.7. При расчетах методом конечных элементов нрименяется квадратурная формула Гаусса — Лежандра, так как она требует меньшего числа точек интегрирования, чем это необходимо при использовании метода Ньютона — Котеса для достижения одина­ ковой степени точности. Ниже используется только способ Гаус­ са — Лежандра.

Теперь вернемся к нашей главной задаче — использованию ме­ тодов численного интегрирования при составлении матриц элемен­ та. В этом разделе будет йродолжено рассмотрение квадратично­

где функции формы и преобразование координат те же, что даны в (13.29) и (13.30).

17*