1154

Как видно из (****), повышения энергоемкости равнопрочной оболочки можно достиг­ нуть за счет уменьшения радиуса кривизны образующей на экваторе оболочки R\(a) при радиусе полюсного отверстия, выбранном согласно (***). Однако реализация такого случая затруднена технологически из-за того, что в случае (**) армирующие волокна не сопрягаются с валом, так как в полюсном отверстии г'оФоо.

Из (18) получим выражения для удельных характеристик

Из них видно, что при <pi=7^=jx/2 массовая энергоемкость оболочек меньше, чем у тонких колец. Объемная энергоемкость также в sin2 qpi раз отлича­ ется от объемной энергоемкости тонких колец с толщиной, равной эква­ ториальной толщине оболочки.

Траектории армирования и меридианы равнонапряженных вращаю­ щихся оболочек определены в [1, 2]. Из полученных там результатов следует, что при ф1=я/2 оболочки вырождаются в плоские диски. Таким образом, удельные характеристики энергоемкости оболочек всегда меньше энергоемкости тонких колец эквивалентной массы.

6. Из полученных результатов следует, что предельной величиной массовой энергоемкости во вращающихся конструкциях из композитов, работающих лишь на растяжение вдоль волокон, является половина удельной прочности материала. Эти значения достигаются в тонком кольце и равнонапряженном диске. Наибольшей объемной энергоем­ костью обладают равнонапряженные диски. Однако, как показано в [2], траектории их армирования технологически реализовать очень трудно. Увеличение объемной энергоемкости колец за счет увеличения их тол­ щины требует перехода к полярно-ортотропным дискам и учету свойств композитов в полном объеме. Анализ энергоемкости таких дисков со­ держится в работах [6, 7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Боков Ю. В., Васильев В. В., Портнов Г. Г. Оптимальные формы и траектории армирования вращающихся оболочек из композитов. — Механика композитных мате­ риалов, 1981, № 5, с. 846—854.

2.Кайзер А. К. Равнонапряженный вращающийся диск, навитый из волокон. — Ракетная техника и космонавтика, 1965, N° 7, с. 127—131.

3.Jonson D. Е., Gorman /. I. Maximum energy densities for composite flywheels. — In: 1980 Flywheel Technology Symp. Scottsdale, Oct. 1980, p. 93—100.

4.Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование обо­ лочек вращения из композиционных материалов. М., 1977. 143 с.

5.Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1963. 635 с.

6.Портнов Г Г . , Кулаков В. JI. Исследование энергоемкости маховиков из компо­

УДК 624.07:539.3

А. #. Каган, А. В. Петровский

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРАЕВЫХ ЭФФЕКТАХ В ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРАХ ИЗ СЛОИСТЫХ к о м п о з и т о в *

Многие задачи механики композитных материалов эффективно ре­ шены и решаются на основе теории слоистых сред [1, 2]. Многочислен­ ные приложения даны в монографии [3]. Особенно эффективными урав­ нения [1—3] оказываются при исследовании слоистых конструкций регулярной (квазирегулярной) структуры с плоскими слоями. В этих слу­ чаях, используя аппарат теории конечных разностей, удается построить решение в виде формул или простых алгоритмов, в которые число слоев входит как параметр. В частности, исследовались краевые эффекты у свободных кромок в слоистых пдастинах [4, 5]. Сопоставление результа­ тов, полученных на основе уравнений [1—3], с другими исследованиями -[6—9] обнаруживает полное качественное согласие. Что касается кон­ струкций с криволинейными слоями (слоистых оболочек), то аналогич­ ных решений для них пока нет.

В отличие от слоистых сред с плоскими слоями, в многослойных обо­ лочках метрика пространства меняется от слоя к слою. Разностные опе­ раторы оказываются зависящими от номера слоя. Этим и объясняется, что почти во всех работах по теории толстостенных многослойных оболо­ чек уравнения решаются непосредственно, т. е. как системы большого числа дифференциальных уравнений. Аналитические решения получены лишь в отдельных, наиболее простых случаях [3].

Ниже дается аналитическое решение задачи о краевых эффектах в толстостенном многослойном цилиндре при осевой симметрии. Исходные уравнения рассматриваются как дифференциально-разностные уравне­ ния с переменными коэффициентами в разностных операторах.

1. Рассмотрим полубесконечный слоистый цилиндр (х^О, k = = 0,1,..., п\ k — номер слоя), один из слоев которого нагружен на торце осесимметричными осевым N°, окружным Т° и поперечным Q° усилиями (рис. 1). Будем считать, что цилиндр состоит из слоев повышенной и по­ ниженной жесткости, чередующихся друг с другом. Толщины слоев — жестких h' и мягких h" — пред­

полагаем малыми по сравне­ нию с радиусами их средин­ ных поверхностей. Геометрию будем характеризовать пара­ метрами 2c= hr + h" — расстоя­ ние между соседними жест­ кими слоями, Rh — радиусы срединных поверхностей жест­ ких слоев. Число слоев п будем считать достаточно большим, так что нельзя пренебрегать из­ менением метрики по толщине цилиндра.

Доклад, представленный на V Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, май—июнь 1981 г.).

Уравнения равновесия в перемещениях для осесимметричного случая имеют вид [3]

ристики жестких и мягких слоев.

В дальнейшем каждую из нагрузок №, Т°, Q0 будем рассматривать отдельно. При нагружении торца m-го слоя осевой нагрузкой N° гранич­ ные условия записываются следующим образом:

Уравнения (1) имеют 3n+4 частных решения, удовлетворяющих условию ограниченности напряжений при х-*-оо. Два из них соответст­ вуют жесткому смещению и однородному растяжению в продольном направлении, остальные описывают краевые эффекты. Существенной особенностью уравнений (1) является малость коэффициента D при стар­ ших производных от Wh, причем при D-»-0 краевая задача (1), (2) обла­ дает регулярным вырождением. Следовательно, существуют два типа решений, медленно и быстро меняющихся вдоль х. Медленно меняю­ щиеся решения приближенно строим, считая армирующие слои безмоментными. В данном случае указанные решения соответствуют выравни­ ванию распределения растягивающих напряжений при удалении от торца. Назовем их интегральными краевыми эффектами. Быстро меняю­ щиеся решения описывают моментные эффекты вблизи торцевой поверх­ ности цилиндра (локальные краевые эффекты). Если обозначить через /о и /» соответственно масштабы интегральных и локальных краевых эф­ фектов, а через R — характерный радиус срединной поверхности слоя, то справедливы оценки /»//о<С 1, 1.

2. Для интегральных краевых эффектов uh°, wk° из (1) получаем при­ ближенные уравнения

( 3 )

(6 = 0 ,1 , .... /г).

При упрощении уравнений (1) предполагалось, что с/Яа<УФ, с//0<Уф, т. е. что отношение Е"з к Е' не слишком мало. Эти оценки, как правило, справедливы для изделий из слоистых композитов.

где /ь(*;/), gk(x,l) — полученное выше решение вспомогательной крае­ вой задачи. Константы Ai в (10) подбираем таким образом, чтобы удов­ летворить последнему условию (6) (остальные условия оказываются вы­ полненными). В результате для Л* получим следующую систему урав­

нений:

П

sin[q>p (k+l/2)] J* Gi(a; q) X

Окончательно решение задачи о действии на слой осевого усилия принимает вид

( 11)

n+1 Y x (l-v '2)

- b

т/-1

Рис. 3. Вытягивание внутреннего слоя цилиндра. Распределение нормальных перемещений \w0\ (7) и максимальных межслойных напряжений шах |а 13| (2), max |азз| (3) у торца.