1134

тор С3, мы не знаем. Поэтому, не теряя времени на его уга­ дывание, выберем произвольно его знак, например, как пока­ зано на рис. 1.45. Если мы не угадали знак заряда q3, то из

правильно составленных уравнений для всех зарядов систе­ мы получится не положительное, а отрицательное значе­ ние q3. Осталось только написать эти уравнения. Два из них очевидны

Эти уравнения следуют из электронейтральности соеди­ ненных между собой обкладок конденсаторов, не имеющих контакта с полюсами источника. Заметим, что уравнение (2) является следствием уравнений (3) и (4), т.е. не является не­ зависимым. Так как неизвестных зарядов пять, то нам потре­

буется для них еще три уравнения. Эти уравнения можно по­ лучить из теоремы о циркуляции напряженности электриче­ ского поля <jEdl =0. Нужно только помнить, что в условиях

статики, когда уже произошло установление зарядов, внутри проводников нет электрического поля. Оно существует толь­ ко внутри конденсаторов и внутри источника тока. Внутри

каждого конденсатора интеграл jEdl равен напряжению ме­

жду его обкладками, а знак напряжения зависит от направле­ ния движения (вдоль электрического поля - знак плюс, про­ тив - минус). В силу определения емкости (1) напряжение между обкладками можно выразить через их заряд U = q !C .

Итак, если взять контур аС{С3Сла , то получаем

И последнее уравнение получим, обратившись к конту­ ру ШаСАС5Ь& . Для источника тока с ЭДС & интеграл \Edl

будет равен ±W (знак зависит от направления движения внутри источника: плюс - если двигаемся от минуса источ­ ника к его плюсу, и минус - в противном случае). Тогда для указанного контура получаем

Неоднородная система уравнений (3)—(7) является пол­ ной и линейно независимой. К счастью, нам не нужно знать ее полное решение, необходимо найти либо qx и qA, либо q2

иq5. Это можно проделать любым известным нам способом

итогда емкость данной системы

C = 2l±«i(„„6o^.).

g g

Понятно, что величина % не войдет в значение С , так как сами заряды пропорциональны %

Если система обладает некоторой симметрией, то реше­ ние значительно упрощается, так как при этом уменьшается число неизвестных.

1.5.1. Емкость двух металлических шариков. Найти взаимную емкость системы из двух одинаковых металличе­ ских шариков радиусом R , расстояние между центрами ко­ торых I » R. Шарики находятся в однородном диэлектрике

с проницаемостью е.

Такая система в полном смысле не является конденсато­ ром, так как электрическое поле не сосредоточено полностью внутри ее. Однако на расчет емкости это не повлияет. Заря­ дим мысленно оба шарика одинаковыми по модулю, но про­ тивоположными по знаку зарядами q . Тогда

где U - напряжение между шариками. При произвольном расстоянии между шариками I их поле не является сфериче­ ски симметричным, так как каждый шарик своим полем влияет на распределение заряда другого шарика (электроста­ тическая индукция). Если же считать I » R , то можно пре­ небречь искажением поля и рассчитывать напряженность электрического поля как для системы двух точечных зарядов +q и - q , находящихся в однородном диэлектрике. В силу принципа суперпозиции напряженность электрического поля на прямой между шариками можно найти как

где г - расстояние от центра одного из шариков до данной точки поля. Тогда

ния между шариками. Можно ли это понимать так, как будто второго шарика вообще нет (ведь он находится в бесконечно­ сти)? Но тогда емкость и одиночного шарика должна быть равна 2яее0Л , хотя известно, что емкость одиночного шари­

ка равна 4nee0R . В чем мы ошибаемся? Дело в том, что по определению емкость проводника С - q l <р. Здесь под <р нужно понимать изменение потенциала проводника после сообщения ему заряда q , а не сам потенциал. Если в беско­ нечности находится шарик с зарядом - q , то потенциал ша­ рика, емкость которого мы ищем, по отношению к бесконеч­ но удаленной точке уже равен ql 4я£Е07? . Сообщение шарику заряда q увеличивает его потенциал на точно такую же ве­ личину <р = д/4яее0/?. И тогда емкость одиночного шарика, независимо от нахождения в бесконечности другого заря­ женного шарика, будет равна 4яее0/? .

1.5.2. Рулонный конденсатор. Плоский конденсатор изготовлен из двух лент шириной а и длиной I . Расстояние между пластинами d , диэлектрическая проницаемость за­

Это выражение справедливо при любом соотношении параметров d и г , однако есть смысл получить его прибли­ женное представление при d « r (d /г « 1). Связано это с

чисто техническими трудностями суммирования выражения

(4) при разных г . Поэтому воспользуемся разложением ло­ гарифма в ряд при дс« 1 : ln(l + х )» х . В итоге получаем

Выделим теперь бесконечно малый элемент поверхно­ сти, видимый из центра под углом d<p. Очевидно, что его емкость

dC =Cli2 .= E £ L d 9 .

2% d

Интегрируя это соотношение по углу, получаем выра­ жение для полной емкости многовиткового конденсатора

_ ^ее0а , . .

С= J— r(<p)rf<p,

О«

где г(ср) дается выражением (1). В результате с учетом (2) получаем

Откуда видно, что закручивание ленты в многовитковый рулон приводит к увеличению емкости.

l i J . Плоский конденсатор в металлической короб­ ке. Как изменится емкость плоского конденсатора, если по­ местить его в металлическую коробку? Расстояние от обкла­ док до стенок коробки равно расстоянию между обкладка­ ми d (рис. 1.48).

так как пластины имеют конечные раз­

Рис. 1.48

меры, то электрическое поле частично выходит за их пределы (краевой эффект). Это приводит к пе­ ремещению зарядов в металлической коробке, вследствие че­ го появится поле во всем пространстве внутри коробки. При этом на поверхности А появится отрицательный заряд, а на поверхности В - положительный. В итоге изменится поле между пластинами 1 и 2, изменится разность потенциалов и соответственно изменится емкость.

Итак, наша задача состоит в определении разности по­ тенциалов между пластинами 1 и 2 при известном их полном заряде. Примем потенциал средней точки между пластина­ ми 1 и 2 за нуль (это наше право, так как потенциал опреде­ ляется с точностью до некоторой постоянной). Тогда в силу симметрии системы и в любой другой точке средней линии между пластинами 1 и 2 потенциал будет равен нулю. А так как эта линия заканчивается на металлической коробке, то и ее потенциал также равен нулю. Таким образом, распреде­ ление потенциала вдоль оси X , перпендикулярной пласти­

нам, должно иметь вид ломаной пря­ мой линии (рис. 1.49). На рисунке видно, что разность потенциалов U между средними пластинами в 2 раза больше разности потенциалов между крайней парой пластин (как слева, так и справа). Значит, и напряженность по­ ля между средними пластинами Е

в 2 раза выше, чем между крайними пластинами Е?: Е =2 Ё Отсюда следует, что и поверхностная плотность заряда на

где S - площадь пластин. Тогда для напряжения между пла­ стинами 1 и 2 получаем

U = Ed = 2 qd 3e0S '

Теперь емкость системы между точками 1 и 2

с—— —^ ео^ —

n ~U 2 d 2 / ’

где С - собственная емкость плоского конденсатора без ме­ таллической коробки.

Заметим, что получить этот ответ можно и без столь тщательного анализа распределения электрического поля. Для этого несколько изменим форму пластин 1 и 2 на рис. 1.49, сделав в них узкие разрезы (рис. 1.50, а). Такое рас­ положение проводящих пластин соответствует соединению трех одинаковых конденсаторов емкости С, представлен­ ному на рис. 1.50, б. Откуда сразу получаем прежний ответ. Попробуйте самостоятельно определить, как изменится ем­ кость конденсатора, если в металлическую коробку помес­ тить только одну из пластин (рис. 1.51).

Указание. Перерисовать схему по аналогии с рис. 1.50. (Ответ: С12= ^ С )

1.5.4. Сферический коцденсатор. Найти емкость сфе­ рического конденсатора, заполненного однородными диэлек­ триками с диэлектрическими проницаемостями Е, и е2 (рис. 1.52). Диэлектрики граничат между собой вдоль по­ верхности конуса с вершиной в точке О . Телесный угол ко­ нуса, заполненного первым диэлектриком, равен Q ,, вторым

диэлектриком - Q.2 (£2, + £22 = 4 я ). Радиусы сферических

обкладок Л, и R2.

Будем опираться на результаты решения задачи 1.4.8 (проводящий шар на границе раздела диэлектриков). В ней было показано, что напряженность электрического поля в любой точке диэлектриков имеет только радиальные со­ ставляющие: Er —E,Dr - D . Кроме того, для любой точки границы раздела ди­ электриков ЕХг —Е2г. Это означает, что

Е{ = Е2 (напряженность электрического поля обладает сферической симметрией), а для индукции электрического поля вы­ полняется соотношение