Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

21.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

обходимость учитывать эластические деформации и нормальные напряжения и их связь со всей предысторией деформации.

Решение задач, возникающих при построении математических моделей процессов переработки, сводится к интегрированию си стемы дифференциальных уравнений (III. 1), (III.2), (III.4), до полненных реологическим уравнением состояния и соответствую щим образом выраженными начальными и граничными усло виями. К сожалению, вследствие специфики свойств полимерных материалов решение может быть получено только численными методами, и для этого требуется значительное время даже при использовании современных быстродействующих цифровых вычис лительных машин. Поэтому в настоящее время широкое распро странение получила практика построения приближенных матема тических моделей, обладающих тем не менее достаточно высокой степенью адэкватности реальным процессам.

При построении таких моделей реальный процесс расчленяется на ряд более или менее элементарных процессов, описания кото рых сводятся к задачам, имеющим аналитические решения. В этом случае математическую модель процесса удается свести к серии алгебраических выражений, вычисление которых занимает гораздо меньше времени. Методы получения аналитических решений для подобного рода элементарных видов движения изложены в этой и последующих главах.

III.2. ТЕЧЕНИЕ АНОМАЛЬНО-ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ И ПЛОСКОЙ ЩЕЛИ

Рассмотрим течение в горизонтальном круглом канале с постоян ным радиусом, расположив ось х так, чтобы она совпадала с на правлением оси симметрии канала. Для нахождения общего ре шения используем уравнения движения в цилиндрических коор динатах (III. 9). В силу условий симметрии в этих уравнениях исчезнут все члены вида d/dQ. Члены вида d/dt, др/дг и dv/dx в условиях установившегося течения обращаются в нуль.

Учитывая все это, окончательно получим уравнение движения в виде

(III. 26)

Интегрируя уравнение (III. 26) и определяя постоянную инте грирования из условия симметрии (ргх = 0 при г = 0), получим зависимость, характеризующую распределение напряжений сдвига по сечению:

Рг*	r_	dP	(III. 27)
Рг*	2	dx

Уравнение (III. 27) получено без	каких-либо	предположений
о реологических свойствах среды.	Поэтому оно	носит общий

			характер			и выполняется при					течении
			в трубах любых жидкостей.							видно, что
			Из	уравнений				(III. 27)		видно, что
			напряжения				сдвига линейно увеличи
			ваются от нулевого значения на оси
			канала до максимального у стенки ка
			нала (рис. III. 2).						реологического
			Если			в	качестве		реологического
			уравнения				состояния		используется
			степенное уравнение (111.25), то связь
			между	компонентами					тензора		напря
			жений и компонентами тензора скоро
			стей деформации					определится			соотно
			шением:
			рц “	(	2	l2)	2П 2ёц				(III. 28)
сдвига 'в кан а^Пкр^лоп?сеч^1яИ.^			В ы р а ж а я				КВадраТИЧНЫЙ			ИНВЭрИЭНТ
			через компоненты скоростей деформа
ции и подставляя его в уравнение (III.28), получим:
г_	т	т									(III. 29)
2	т	т									(III. 29)
Интегрируя		выражение	(III. 29)		и определяя				постоянную ин
тегрирования из условия прилипания						(о = 0 при			г =	R)	найдем

зависимость, описывающую распределение скоростей при изотер мическом течении расплава в круглом канале:

£i£i =	[l - ( r l R f + ' \	(III. 30)
Здесь V — скорость на оси канала, равная
V =	Rn+1	П
V =		(III. 31)
2"K? (« + 1)
Из	уравнения	(III. 31) следует, что в случае ньютоновской

жидкости (л — 1) эпюра скоростей установившегося течения имеет форму параболы второй степени (рис. III.3). По мере увеличения аномалии вязкости форма эпюры скоростей изменяется. В цен тральной части потока образуется все более широкий участок в пределах которого скорость изменяется незначительно. Особенно четко это видно, если сопоставить друг с другом эпюры градиен тов скорости в различных участках потока (рис III 4) Иначе говоря, с увеличением индекса течения картина течения потока все больше напоминает картину течения стержневого типа, при котором центральная часть потока движется как жесткий неде-

формируемый стержень, окруженный слоем деформирующейся жидкости. ^

Объемный расход опреде ляется из уравнения

Q = 2л ^ v (г) г dr =

л/?п+3	/1	dP у	(III. 32)
(я -f- 3) jig	\ 2	dx J

Рис. 111.3. Изменение профиля эпюры ско ростей в зависимости от индекса течения п.

Напряжения сдвига, дей ствующие у стенки трубы, на ходятся непосредственно из выражения (III. 27):

	R	dP	(III. 33)
PXR	2	dx

Градиент скорости у стенки трубы определяется из очевидного выражения:

Y(tf) = Q (fl-f3)/jitf3

(III. 34)

Если жидкость, текущая по трубе, несжимаема, а сечение трубы неизменно, то продольный градиент давлений dPjdx не за висит от х и определяется соотношением

dP/dx = ДР/L

(III. 35)

где ДР — общее падение давления в трубе; L — длина трубы.

Полученные результаты оказываются справедливыми только

втом случае, если соблюдается условие изотермичности.

Вслучае установившегося течения в плоской щели шириной 2/г, в которой ось х совпадает с осью симметрии потока, уравне

ние для поля напряжения принимает вид

	dP	(111.36)
	Р х у - У dx	(111.36)
	Р х у - У dx

Рис41.4. Изменение эпюры гра диента скоростей в зависимости

от индекса течения п.

Распределение скоростей описы вается выражением

о(у) = С/ [1 — (г//Л)п+1]			(Ш 37)
	Скорость U на оси канала равна
и	Лп+1	d P \ n	(III. 38)
		dx )

	М?(я+ 1) (

Эпюры напряжений, скоростей и градиентов скорости, определенные в плоскости, нормальной направлению потока, будут такими же, как и в слу чае течения по круглой трубе.


		Объемный расход					через еди
	ницу ширины канала определяет
	ся выражением
	Ql =		2) Но \ Л х			)		(Hi. 39)
		(п +
		Пристенный			градиент			скоро-
	' сти равен
	V (Л) = - р - (« + 2)							(Щ. 40)
		При течении в прямоугольных
	каналах		необходимо				учитывать
	и	сопротивления,				возникающие
	‘вследствие			тормозящего влияния
	стенок. При этом течение в при
Рис. III. 5. Номограммы зависимости Fp	стенной		области становится уже
от 2hfw.	двумерным			и	не	удовлетворяет
	уравнению			(III. 36).				в ка
Строгое рассмотрение течения		ньютоновских			жидкостей

налах прямоугольного сечения можно найти в работах [150, с. ПО; 166]; в работе [167] эти результаты были распространены на тече ние аномально-вязких жидкостей.

Полученные решения показывают, что влияние стенок приво дит к искажению профиля скоростей в непосредственной близости у стенок и соответствующему уменьшению объемного расхода, которое можно учесть введением поправочного коэффициента FPi

являющегося функцией относительной ширины канала			2h/w (w —
ширина канала):
	g -1I, 3. 5 ?«■№)		(III. 41)

Для удобства	расчета	эта функция изображена на	рис. III. 5 в
виде номограммы Fp =		Fp(2h/w).
Выражение	(III. 41)	с достаточно высокой точностью аппрокси
мируется более простой зависимостью:
Fp = 1 + 0,125 (2h/w)2- 0,65 (2h/w)			(III. 42)
Объемный	расход	через прямоугольную трубу (сечение w X
Х2h) рассчитывается с учетом влияния стенок из выражения
whn+-Fp { А Р у			(III. 43)
(п + 2)	)

При течении в тонких плоских щелях 2hjw-*0, a Fp ^ * = l.

Ш.З. РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ И ЭФФЕКТ ВХОДА

Изложенные в предыдущем разделе результаты относились к участку канала, на котором реализуется установившееся течение и не происходит никакой перестройки профиля скоростей. Есте ственно, что участку установившегося течения предшествует уча сток формирования потока. Напомним, что эпюра скоростей на входе в канал, в который жидкость поступает из резервуара или другой трубы значительно большего диаметра, имеет почти пря моугольную форму и только в очень тонком слое, расположенном у самой стенки, скорость резко уменьшается от значения, соответ ствующего средней скорости течения, до нулевого значения на стенке трубы. По мере продвижения жидкости вдоль трубы об ласть торможения, расположенная у стенки, расширяется. Одно временно увеличивается скорость центральных слоев потока. Все это продолжается до тех пор, пока профиль скоростей не приобре тет параболическую форму, соответствующую установившемуся режиму течения (рис. III. 6).

Участок формирования профиля скоростей у полимеров во много раз больше, чем у обычных ньютоновских жидкостей. Из вестно, что для ньютоновских жидкостей длина участка формиро вания течения составляет примерно (0,05—0,16) ReD, где Re — число Рейнольдса, D — диаметр трубы [20, с. 357].

Имеющиеся экспериментальные данные показывают, что длина участка формирования течения составляет у каучуков, расплавов и растворов полимеров от 5D до 12D и зависит от температуры и градиента скорости на стенке [168—176]. Непосредственное изме рение давлений в разных местах круглого капилляра показало, что градиент давлений в пределах участка формирования течения Le в несколько раз превышает градиент давлений на участке устано вившегося течения (рис. III. 7). Это означает, что пристенные на пряжения сдвига в пределах области формирования течения зна чительно превышают напряжения сдвига, соответствующие ста ционарному режиму течения.

Существует несколько причин, вызывающих увеличение напря жений сдвига в пределах участка формирования профиля скоро стейПрежде всего, это ограничение области деформации потока тонким кольцевым слоем, в котором градиент скорости во много раз превышает значение градиента скорости, соответствующей участку установившегося течения. Следующей причиной является способность расплавов полимеров к одновременному развитию пла стической и высокоэластической деформации. Третьей причиной является деформация растяжения, которая возникает на входо вом участке вследствие перестройки профиля скоростей и также требует дополнительных затрат энергии. Эти причины приводят к тоМУ» что истинная форма эпюры давления имеет на входе ярко выраженный нелинейный участок, соответствующий области неустановившегося течения (см. рис. III. 6).

Рис. III. в. Трансформация профиля скоростей на входном участке трубы (по оси абсцисс отложено безразмерное расстояние от входа, нормированное по числу Рейнольдса).

Давление, необходимое для поддержания установившегося те чения в трубе длиной L, складывается [172] из перепада давлений идущего на поддержание установившегося течения в трубе, и

потерь входа ДРв. При этом

АРЧ =	(dP/dx) L	(Ш- 44)
APB =	P - A P r \	(III. 45)

Для оценки потерь входа условно увеличивают длину трубы настолько, чтобы фактический перепад давлений был равен гра диенту давлений на участке установившегося течения, умножен ному на условную длину. Это фиктивное удлинение оценивается, как правило, числом диаметров (или радиусов) трубы:

1ф« 1 + ЛЮ	(HI-46)
Тогда напряжение сдвига на стенке трубы в пределах области
установившегося течения оказывается равным
PD	(III. 47)
Р г х ~ 4 (L + ND)

Рис. III. 7. Распределение давлений по длине капилляра [градиент давлений на участке Ls установившегося течения равен &P/(L + ND)J,


			деформации;				d — внутренний			диаметр
			капилляра;			рс — плотность полимера при
			комнатной			температуре;			рт — плотность
			расплава		при		температуре истечения.
			Эксперименты						показывают,
			что с увеличением					скорости сдви
			га	высокоэластическое						восста
			новление во всех случаях возра
			стает, причем этот рост носит
			асимптотический					характер. На
t	-1		рис.	III. 10			приведены			экспери
	С		ментальные данные о влиянии у
			на е	для		расплава			полиэтилена.
Рис. III. 10. Зависимость эластического			Эластическое					восстановление
восстановления струи полиэтилена низкой
плотности с индексом	течения	3 г/10 мин	зависит также и от длины капил
при 463 К от скорости	сдвига.	Отношение	ляра. Так, из рис. III. И видно,
L/D равно:
/ — 3,00; 2—3,82; 5—9,09			что	с	увеличением				отношения
			L/R значение е уменьшается [82].
Наиболее существенная по величине эластическая									деформация

развивается непосредственно на входе в насадку. Некоторое пред ставление о числовом значении этой деформации дает рис. III. 12, на котором представлена зависимость предельного значения етах для насадки «нулевой» длины, полученная методом экстраполя ции кривых зависимости e = f(L/d) при у = const на L/d = 0.

Как только материал пройдет через входное сечение потока и попадет в зону установившегося течения, начальная деформация немедленно начинает релаксировать. Процесс релаксации продол жается до тех пор, пока накопленная высокоэластическая дефор мация не уменьшится до значения, соответствующего эластической


		деформации			полимера,			находя
		щегося в		состоянии стационар
		ного	течения		[82, 173— 177].
		Таким		образом,			стационарное
		значение		эластической				деформа
		ции и является тем предельным
		значением, к которому стремится
		эластическая			деформация				струи
		при	увеличении			Lid.		Типичные
		экспериментальные					данные,			ил
		люстрирующие				зависимость				ет\п
		от lgy, приведены на рис. III. 13.
L/R		Если		при	данном			значении
		градиента		скорости			известны ет\п
		и emax, то значение е,						соответ
Рис. HI. 11. Зависимость эластического		ствующее		насадке			данной		длины
восстановления струи	полиэтилена низкой	L, определяется				по формуле.
плотности с индексом	течения 3 г/10 мин
при 463 К от отношения £//?; у равна:		е —£mln [1 "Т £niax X
/—200 с-1. 2—50 с-1		X exp ( — ^Y/2,8)/(emm — 1)1							(III. 50)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]