Метод конечных элементов. Основы

На рис. 3.9 показана вся конструкция, разбитая на три основные подконструкции F, G и Я. Рассмотрим сначала жесткостные харак­ теристики подконструкции G. Здесь используются следующие ниж­ ние индексы: с — степени свободы, соответствующие границам, разделяющим подконструкции; d — степени свободы, принадле-

Рис. 3.9. Схема разбиения на подконструкции (прикладываемые нагрузки не изображены); 1 — типичный узел, отвечающий степени свободы с\ 2 — типичный узел внутри подконструкции (узел d).

жащие только подконструкции G, т. е. не связанные ни с какой дру­ гой подконструкцией. Предполагается, что рассматриваются модифи­ цированные уравнения жесткости для подконструкции, учитываю­ щие условия закрепления. Соотношения жесткости для подконструк­ ции G можно записать в виде (для простоты записи символы, ука­ зывающие на принадлежность соотношений подконструкции G, не используются)

Можно сначала решить верхние уравнения в (3.20), чтобы выразить перемещения, относящиеся к рассматриваемой подконструкции {**}. в терминах граничных смещений, замечая при этом, что для соответствующих степеней свободы силы {Fd} есть не что иное, как приложение нагрузки {Pd}. Имеем

Полученное уравнение жесткости в совокупности с аналогич­ ными уравнениями для других основных подконструкций можно использовать при построении уравнений жесткости для степеней свободы, отвечающих участкам соприкосновения подконструкций, т. е. для всей конструкции (подконструкции Ft G и Н):

где верхними индексами F, G и Н помечены соответствующие силы на участках соприкосновения.

Решая полученные уравнения, находим перемещения на участках соприкосновения {Аг}. Чтобы получить силы и перемещения внутри подконструкции, перемещения {А,} подставляются снова в урав­ нения для подконструкций (3.20) и (3.21).

Требуемый процесс конденсации можно осуществить также с помощью преобразования координат. Вспоминая, что, согласно разд. 2.8, если совокупность степеней свободы сопоставляется с меньшим числом степеней свободы с помощью матрицы преобразова­ ния [Г0], то исходная матрица жесткости преобразуется с помощью

Применяя это соотношение к равенству (3.20), получим (3.25). Более эффективным подходом к расчету сложных конструкций может служить метод редуцированных подконструкций (3.11]. Чтобы аналитически описать этот подход, необходимо усилить концепцию уравнений связи, которая принимается в п. 3.5.2.

3.5.2. Уравнения связи

Уравнения связи — это соотношения между степенями свободы, задаваемые дополнительно к основным уравнениям жесткости. Простое задание условий закрепления, т. е. Д;=0, приводит к ограничениям, но, как было видно, его легко учесть непосредст­ венно после построения глобальной матрицы жесткости. Целям настоящих рассмотрений более соответствует показанный на рис. 3.10 случай изгибаемого элемента, соединенного с твердым телом. Ясно, что на смещение узлов 1—5 наложены связи, препят­ ствующие установлению линейного закона для смещения w, которое диктуется угловым смещением нормали к срединной поверхности оболочечного элемента. Связи возникают и во многих других слу­ чаях, включая обсуждаемую в следующем разделе схему метода ре­ дуцированных подконструкций, некоторые подходы к расчету не­

сжимаемых материалов, а также при учете специальных граничных условий и при попытках задать определенные типы перемещений на некоторых участках конструкции. Далее в книге встретятся ука­ занные ситуации.

Рис. 3.10. Изгибаемый оболочечный элемент, соединенный с твердым телом.

Каждое уравнение связи позволяет исключить одну из степеней свободы, оставляя другие. Используем здесь эту возможность для построения матрицы преобразования, которую можно применять для конденсации стольких степеней свободы, сколько ограничений задано сверх числа уравнений жесткости. Таким образом, использу­ ем подход, предложенный в разд. 2.8.

Рассмотрим случай, когда имеется г связей в системе с п степеня­ ми свободы. Общее представление линейных уравнений связи в этом случае имеет вид

где элементы в [GI суть коэффициенты в уравнениях, задающих ограничения, a {s} — вектор, компоненты которого заданные кон­ станты. Для простоты рассмотрим лишь случай {s}=0. Вывод соот­ ношений для более общего случая {s}=^0 представляется сделать читателю в качестве упражнения (см. задачу 3.18).

Для построения матрицы преобразования вновь проведем раз­ биение степеней свободы на две группы {АД и {АД где {АД со­ держит г степеней свободы, а {АД содержит (п—г) степеней свободы. Имеем

Таким образом, степени свободы объединены так, что {АД степеней выбраны в соответствии с числом ограничений г. Требуется исклю­ чить эти степени свободы из выражения для функционала энергии посредством схемы конденсации. Хотя выбор исключаемых степеней

свободы часто произволен, возникают случаи, когда это необходимо делать с чрезвычайными предосторожностями [3.12].

Разрешая (3.29) относительно {АЛ, получим

что, согласно схеме, разработанной в разд. 2.8, можно использо­ вать для получения формул преобразования степеней свободы в сле­ дующем виде:

Применяя полученные формулы к глобальным уравнениям в виде тройного произведения [Гс]т [к] [Гс], получаем редуцированную матрицу жесткости, относящуюся только к {Ас}, а также редуциро­ ванный вектор сил

Л 1 = [ г , г { £ }

Решая редуцированные уравнения жесткости, находим {АЛ, кото­ рый можно подставить в (3.30) и найти {АЛ.

Рис. 3.11.

В качестве иллюстрации рассмотрим изображенную на рис. 3.11 систему, состоящую из трех стержневых элементов. Согласно пря­ мому методу жесткости, система уравнений без учета условий закреп­ лений имеет вид (k0=AE/ L)

а с учетом условий закрепления иг= и4= 0 записывается как

Предположим теперь, что узлы 2 и 3 жестко соединены таким обра­ зом, что U2—U3. В матричной форме это записывается в виде

L1-1J К I = 0.

Поэтому формулы преобразования имеют вид

Г;,ИIK

а редуцированные уравнения жесткости переходят в уравнения

*> L 11 J [ _ i _ а ] {

или 2k0u3= P 2+ P 3. Этот ответ согласуется с очевидным решением данной задачи. Ограничения преобразуют элемент В в жесткую связь между узлами 2 и 3. Поэтому приложенная нагрузка равна сумме усилий в этих узлах (Р2+ Р 8), а коэффициент при и3 равен сумме жесткостей элементов Л и С, которые по существу соединены в одном и том же узле.

Следует отметить, что во многих случаях лишь часть из полного набора степеней свободы может фигурировать в уравнениях связи. На рис. 3.12, например, величины ц4 и ц5 не появляются в уравне­ ниях связи только в том случае, когда и2и ц8 взаимосвязаны. Пред­ положим теперь, что полный набор степеней свободы можно пред­

где [Гс] определяется согласно (3.31). Это преобразование можно применить непосредственно к глобальным уравнениям жесткости обычным образом.

Если связи накладываются на относительно небольшое число степеней свободы, может оказаться более эффективным включе­ ние связей в глобальную матрицу жесткости на основе непосред­ ственных выкладок по сравнению с использованием для этого мат­ ричного преобразования. Прямой метод аналогичен подходу, при­ меняемому для специальной системы координат в п. 3.5.3.

Вернемся теперь к схеме редуцированных подконструкций, i которой операции конденсации и наложения связей включены

Эти соотношения можно применить к уравнению (3.33) в виде пре­ образования, чтобы получить матрицу жесткости, относящуюся лишь к {Дс} и соответствующему редуцированному вектору сил.

Проиллюстрируем этот подход, обращаясь к рис. 3.14, где изоб­ ражена конструкция, состоящая из четырех плоских прямоугольных элементов, каждый из которых построен в предположении о линей­ ности смещений на границе элемента (подробности см. в гл. 9;

Рис. 3.14.

там же приведена матрица жесткости элемента). Предположим, что на границе конструкции смещения изменяются по линейному за­ кону. Тогда величины и2, ц3, м4> иь, v2, v3, v4 и vb представляют степени свободы {Ае}, а цв, и1УивУu9i vei v7, ve, vg— степени свободы {Ac}. Внутренние степени свободы суть их и vu поэтому {Ad}= = Lui J • Ниже в соответствии с (3.30) для этой задачи построена матрица IG*J, остальные матрицы ([kddj, [kdJ , [kdc]), которые не­ обходимы для построения матрицы преобразования из (3.36), опре­ деляются с помощью матрицы жесткости всей конструкции. Инте­ ресно заметить, что матрица жесткости, получаемая в результате этого преобразования и имеющая отношение только к угловым уз­ лам, идентична матрице, получаемой в том случае, когда вся об­ ласть представляется в виде одного элемента с линейным законом изменения перемещений на контуре и с использованием матрицы жесткости элемента, приведенной на рис. 9.13.

3.5.3. Связанная система координат

Иногда бывает необходимо записать часть глобальных уравнений в связанной системе координат, особенно в тех случаях, когда ус­ ловия закрепления задаются вдоль направлений, отличных от на­ правления осей глобальной системы координат, или когда оболочка рассчитывается с помощью плоских пластинчатых элементов.

Рис. 3.15. Локальные координаты в конечно-элементном анализе, (а) Закрепление, ограничивающее вращение, и оси координат; (Ь) конечно-элементное представ­ ление оболочечной конструкции; (с) векторы моментов в глобальной системе коор­ динат; (d) векторы моментов в локальной системе координат.

Типичная ситуация представлена на рис. 3.15(a). Смещение точ­ ки i описывается компонентами смещения ^ и ^ в глобальной систе­ ме. Однако простое приравнивание нулю одной или обеих компо­ нент не будет правильно представлять связь, накладываемую условиями закрепления в направлении у" Связи можно задавать корректно, если выразить поведение точки i в терминах компонент смещений ис и v\ в системе координат, помеченной двумя штри­ хами, после чего vt полагают равной нулю.

На рис. 3.15(b) изображена оболочечная конструкция, которая моделируется в виде системы плоских пластинчатых конечных эле­ ментов. На рис. 3.15(c) и (d) в векторном виде отражены условия равновесия для моментов в узле i для сечения А — А. Из рис. 3 .15(c) следует, что в глобальной системе координат существенны состав­ ляющие векторов в обоих направлениях х н у . Однако, согласно рис. 3.15(d), на котором изображены векторы моментов Мх> в осях элементов, а также связанная система координат х —у " (ось х которой направлена по касательной к оболочке в точке i), оче­ видно, что проекции векторов на ось у" малы по сравнению с проек­ циями на ось х". Вообще говоря, в реальной конструкции составля­ ющая вдоль оси у " равна нулю. Указанная диспропорция компо­ нент в ортогональных направлениях приводит к серьезным послед­ ствиям при решении глобальных уравнений. Один из способов из­ бавиться от этих последствий состоит в том, чтобы в каждом узле ввести связанную систему координат х"—у " и исключить малые составляющие вдоль оси у ", как если бы это были закрепленные степени свободы.

На примере задачи, представленной на рис. 3.15(a), опишем подробнее, каким образом преобразуется глобальная матрица жест­ кости, чтобы она соответствовала системе координат, связанной с узлами. Для заданных координат узлов i и / направляющие ко­ синусы осей системы координат х —у" вычисляются в виде 1Х= = (**—J^)/L, ly={tji—yj)IL по отношению к осям системы координат

х—у, где L = v(X i—Xj^+ iyi— yj)2

Теперь, используя полученные направляющие косинусы, про­ екции смещения щ и vj можно выразить через проекции смеще­ ния ut и Vi следующим образом (см. разд. 2.7, где приведен указан­

Для глобальной матрицы жесткости это значит, что столбец ис­ ходной глобальной матрицы жесткости, умноженный на исследует умножить на 1Хи вычесть из произведения 1Уна столбец, умноженный на vt. Полученный вектор-столбец, соответствующий и], заменяет вектор-столбец, соответствующий ы;. Эта операция проиллюстри­ рована на рис. 3.16. Аналогичная операция, отвечающая (3.38) и заменяющая vt на v'i также представлена на рис. 3.16.

Силовые равенства (строки) в глобальных уравнениях жестко­ сти преобразуются на базе аналогичных рассуждений. Так, сог­ ласно обычному преобразованию координат, имеем

(3.39)

(3.40)

Согласно этим уравнениям, новая строка, стоящая на месте Fx строится путем умножения на 1Х строки, соответствующей FX{y и умножения на 1У строки, соответствующей Fy и последующего

Рис. 3.16. Модифицированная 1лобальная матрица жесткости, (а) Исходная гло­

бальная матрица жесткости; (Ь) модифицированная глобальная матрица жест­ кости. Строка для Fxi получена суммированием умноженной на 1Х строки для FX{

и умноженной на 1у строки для Fy .\ строка для Fу". получена суммированием умно­ женной на —1у строки для F X( и умноженной на 1Х строки для F у (\ столбец для и\

столбца для щ и умноженного на 1Х столбца для V{.

Замечание. Произведения коэффициентов при строках и столбцах на главных диа­ гоналях (помечены символом х ) и на пересечениях (+ ) равны соответственно квадратам и произведениям величин 1Х и 1у.

сложения строк. Новая строка, стоящая на месте Fyp также стро­

ится путем реализации операций, отвечающих уравнению (3.40). Перечисленные операции должны быть выполнены в каждом узле, где требуется провести преобразование системы координат.