Строительная механика стержневых систем Часть 2

где J0 – момент инерции в ключе (сечение арки на оси симмет-

рии) или любое постоянное число. В формулах (9.5) и (9.6) принято для двухшарнирной арки модуль упругости Е = const.

Из канонического уравнения метода сил получим

При определении Х1 принимаются только основные сечения (сечения, взятые посредине каждого интервала).

Так, например, для подъемистой арки с моментом инерции

J cosJ0 , где J0 – момент инерции ключевого сечения арки;

α – угол наклона касательной в сечении арки к горизонтали (см. рис. 9.4), получим

22

Определение Х1 по формуле (9.8) сводим в табл. 9.1.

Таблица 9 . 1

Таблица определения Х1

MkP , QkP , NkP находим в сечениях арки грузового состояния

(см. рис. 9.5) по их определениям. Например, в сечении «k» с координатами xk, yk и углом наклона касательной αk

MkP RA xk P xk a HA yk w b уk 2 12

или

MkP RB l xk wyk2 12 ;

или

QkP RB cos k wyk sin k ;

NkP (RA P) sin k HA cos k w(b yk )cos k

или

NkP RB sin k wyk cos k .

23

Угол α для сечений правой полуарки отрицательный. Определив знак поперечной и продольной сил заранее, sin берем по абсолютной величине.

Определив Х1, получим по формулам метода сил усилия в сечениях статически неопределимой двухшарнирной арки:

По полученным формулам составляется таблица определения усилий, в которой учитываются и основные, и дополнительные сечения (сечения опорные, под сосредоточенными силами, моментами, где начинается и заканчивается распределенная нагрузка) (табл. 9.2). Окончательные эпюры M, Q и N строят относительно оси статически неопределимой арки. Ординаты усилий в сечениях откладывают по нормали с учетом знака.

Таблица 9 . 2

Таблица определения усилий

В табл. 9.2 включается проверка эпюры моментов, основанная на отрицании перемещения опорного сечения двухшарнирной арки по направлению горизонтального опорного стержня.

24

Значит, S MEJM1 ds 0 . Перейдем к определенному инте-

гралу по пролету, а затем к сумме и получим

В табл. 9.2 учтена проверка эпюры моментов по формуле (9.11), ипроизведения yM x братьтолько дляосновных сечений.

9.1.3. Расчет пологой двухшарнирной арки

При расчете пологой двухшарнирной арки, определяя перемещения δ11, пренебрегают перемещениями от внутренних поперечных усилий, а при определении 1P – перемещениями от внутренних поперечных и продольных усилий.

По аналогии с расчетом подъемистой двухшарнирной арки иучитываяосновную систему 2-говарианта (см. рис. 9.2), получим

25

F F0 const . По формулам (9.9) определяем усилия в статически неопределимой пологой арке.

26

9.2. Понятие и расчет двухшарнирной арки с затяжкой

9.2.1. Двухшарнирная арка с затяжкой по линии опорных шарниров

Рассмотрим симметричную арку на (рис. 9.6, а).

Рис. 9.6

Основная система метода сил показана на рис. 9.6, б. Усилие в затяжке Х1 принято положительным (показано Х1 от опорных узлов), т.е. растягивающим. Неизвестное усилие Х1 найдем

из канонического уравнения метода сил 11 Х1 1P 0 , т.е.

Х1 1P .

11

Единичные эпюры М1, N1, Q1 и грузовые эпюры MP , NP , QP

показанынарис. 9.4 и9.5.

Определениеусилиявсеченииk грузовогосостояния– вп. 9.1.2.

27

В формуле (9.16) N зат Х1 1. Перейдем от криволинейных интегралов к определенным, а затем к сумме и, умножив обе части равенств на EJ0 , получим

где J0 – момент инерции в ключе или любое постоянное число; Fзат – площадь поперечного сечения затяжки; Eзат – модуль уп-

ругости затяжки.

Как правило, арка и затяжка изготавливаются из разных материалов. Из сравнительных расчетов установлено, что оптимальным вариантом является соотношение

Знак X1 зависит от его направления в основной системе.

28

Формулы определения окончательных усилий в арке совпадают с формулами (9.9). Определение X1 сводится в табл. 9.1, а определение окончательных усилий – в табл. 9.2. Проверка окончательной эпюры моментов основана на отрицании взаимного перемещения любого сечения затяжки вдоль нее.

Тогда

т.е. в последней графе табл. 9.2 находим произведение yM x ,

учитывая только основные сечения; сумма этих произведений должна равняться 0,4Х1l.

29

9.2.2. Двухшарнирная арка с повышенной затяжкой

Рассмотрим арку (рис. 9.7, а)

Рис. 9.7

Арка один раз статически неопределимая ( nст 1). Основная система метода сил – на рис. 9.7, б. Усилие в затяжке принято положительным (сила Х1 от узла), т.е. растягивающим.

Единичные эпюры M 1 , Q1 и N1 показаны на рис. 9.8; считаем арку параболической или круговой.

30