Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета

ставления возьмем в виде стохастических интегралов Фурье со спект­ рами Qj(cо):

и стационарно связаны, то представление (107) является стохастически ортогональным. В самом деле, вычисляя с учетом (107) взаимные кор­ реляционные функции

9 ) = j ‘ I <Qy (®) Qn (“ ')> е ‘ (<й' 1г~ е>‘ 1) dcodco',

— оо — оо

замечаем, что правые части будут зависеть только от т = t2 — tly если выполнено условие стохастической ортогональности (92). Отсюда, кста­ ти, вытекает формула, связывающая взаимные корреляционные функ­

Решение системы уравнений (71) с правыми частями, представлен­ ными в форме (107), ищем в виде

^ т ( ‘®) Яп2(г'со)...Япп(10))

обратной по отношению к матрице с элементами Ljh(i<a). Будем назы­ вать Я;Ь (/со) передаточными функциями системы. При помощи пере­ даточных функций решение системы (109) записывается в виде

Uj (со) = S ЯЛ (to) Qh ((о) ( / = 1 , 2 , . . . , п).

*=i

Отсюда с учетом соотношения

<Я* (со) (со')> = S„. ,,k (со) б (со—со'),

где S Ujuk(со) — взаимные спектральные плотности выходного процесса, получим окончательную формулу

Эта формула связывает спектральные плотности входного и выходного процессов.

Рассмотрим пример на применение формулы (ПО). Пусть линейная система с п степенями свободы совершает стационарные случайные колебания под действием внешних сил. Предположим, что допускает­ ся полное разделение обобщенных координат, т. е. что уравнения ко­ лебаний системы могут быть представлены в виде

(/ = 1, 2 ,..., n).

Здесь СО; — парциальные собственные частоты системы; — пар­ циальные коэффициенты демпфирования. Передаточные функции си­ стемы Hjh(со) образуют диагональную матрицу

§ 1.8. Элементы статистической динамики нелинейных систем

Анализ поведения нелинейных систем при случайных воздейст­ виях представляет серьезные трудности по сравнению с соответствую­ щим анализом линейных систем. Эти трудности встречаются уже на этапе составления уравнений относительно моментных функций вы­ ходного процесса.

Рассмотрим вначале особенности метода стохастических дифферен­ циальных уравнений в применении к нелинейным системам. Пусть стохастическое уравнение системы задано в виде (54), где L — нелинейный оператор. Для нелинейного оператора, вообще говоря, несправедлив принцип суперпозиции. Кроме того, сам оператор непереставим с операцией осреднения, т. е. <Lu> Ф L{и). Поэтому уравнения относительно моментных функций выходного процесса в общем случае образуют неразделяющуюся систему, каждое уравнение которой содержит старшие моментные функции. Таким образом, в от­ личие от уравнений относительно моментных функций на выходе ли­ нейной системы уравнения для нелинейной системы неоднородны относительно функций одного порядка.

Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть стохастическое уравнение системы имеет вид

(н е)

где \i — некоторая неслучайная постоянная. Уравнение (116) описы­ вает вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с ку­ бической нелинейностью под действием случайной силы и является, таким образом, вероятностным аналогом уравнения Дуффинга.

Перепишем уравнение в более компактной форме:

Через L0 обозначена линейная часть оператора L, совпадающая с опе­ ратором линейной системы (44). Желая получить уравнение относи­ тельно математического ожидания выходного процесса, осредняем уравнение (117) по множеству реализаций. В результате приходим к уравнению

£o<w> + 1- <ы3> = <</>>

которое наряду с математическим ожиданием < и > содержит также сред­ ний куб выходного процесса. Уравнение относительно среднего куба будет содержать, в свою очередь, моменты пятого порядка выходного процесса, а также смешанные моменты третьего порядка относительно входных и выходных процессов. Таким образом, попытка замкнуть систему уравнений приводит к бесконечной системе неразделяющихся уравнений.

Аналогичные трудности возникают при определении моментных функций второго порядка. Перемножая уравнение (117) для двух различных моментов времени и осредняя, придем к следующему урав­ нению:

LQL0( U (tj) и (t<i)) p<LQ( и (/*) и3 (^2)) +

Здесь индексы под символом оператора указывают, на функции како­ го аргумента оператор действует. Мы видим, что в это уравнение вхо­ дят также моментные функции четвертого и шестого порядков.

Выход из положения состоит в переходе к усеченной системе урав­ нений. Вместо того чтобы рассматривать бесконечную систему, даю­ щую точное решение задачи, ограничиваются рассмотрением прибли­ женной конечной системы. При этом старшие моментные функции ис­ ключают при помощи какой-либо подходящей гипотезы. Один из воз­ можных способов состоит в том, что все старшие моментные функции полагаются равными нулю. Другой способ основан на использовании приближенных соотношений, выражающих старшие моментные функ­ ции через младшие. Например, можно принять, что старшие момент­ ные функции связаны с младшими функциями соотношениями, спра­ ведливыми для нормальных процессов.

Напомним эти соотношения. Пусть Ulf U2, ...» Un — /i-мерный цен­ трированный нормальный случайный вектор. Известно [97], что все моменты нечетного порядка равны нулю, а моменты четного поряд­ ка выражаются через корреляционные (бинарные) моменты. Для мо­ ментов порядка k = 2s имеем формулу

<U\'1ul*... и'пп> = 2 <£/„, иа,> <иа,иа,>... <Ua2s_, Ua2s>, (119)

где kx + /г2 + ...-\-kn =2s. Сумма, стоящая в правой части, содержит все возможные разбиения 2 s индексов аи а 2, ..., a 2s (включая повто­ ряющиеся индексы) на s пар a xa 2, a 3a 4, ..., a 2s- i a 2s. Общее число слагаемых в правой части формулы (119) равно (2s— 1)!!. При k — 4 в правой части стоит 3 слагаемых, при k = 6 стоит 15 слагаемых и т. д.

Воспользовавшись формулой (119), выразим моментные функции, входящие в уравнение (118), через корреляционную функцию

*,(*1. '*) = <« & )«& )>

(входной и выходной процессы считаем центрированными). Легко най­ дем, что:

Подставим найденные выражения в уравнение (118). В результате по­ лучим замкнутое уравнение относительно корреляционной функции

Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производ­ ных. Если процессы u(t) и q(t) — стационарные, то относительно кор­ реляционной функции Ки(т) получаем обыкновенное нелинейное диф­ ференциальное уравнение:

L i Lo Ки(Т) + Зр к и(0) (Lo"+ Lo) Ка(Т) +

+ 9ц*К2и(0) Ка(т) + 9р2/(ц (т) = Кч(т).

При этом для краткости использовано обозначение

Выше для приближенного замыкания системы уравнений исполь­ зовалась гйпотеза о существовании некоторой связи между старшими и младшими моментными функциями. Еще один способ для получения замкнутых соотношений дает метод малого параметра. Рассмотрим не­ линейную систему:

где L0 — линейный оператор; f(u) — однозначная аналитическая де­ терминированная функция; |х — малый неслучайный параметр. По­ пробуем заменить систему (120) рекуррентной последовательностью линейных систем. Для этого будем искать решение в виде ряда по сте­ пеням малого параметра:

Разложим в ряд по степеням р также и нелинейную функцию /(и):

/ (ы) = /(«(,) + Р / 'Ы « 1 + -

При этом «о — некоторое порождающее решение. Подставляя ряды в уравнение (120) и приравнивая члены, содержащие одинаковые степени малого параметра, получим последовательность уравнений относительно функций, входящих в разложение (121):

L0 и0= q\

Lo“i = —/ М ;

L0u2= — f'(u 0)u1,

Кстати, из первого уравнения видно, что порождающее решение сов­ падает с решением соответствующей линейной системы. Существенно,

что каждое из уравнений этой системы линейно и что правые Части урав­ нений зависят лишь от функций, найденных на предшествующем этапе вычислений.

Пусть обратному оператору L~Q= H0 соответствует оператор Водьтерра с функцией Грина (импульсной переходной функцией) h(t, т). Тогда решение системы представляется в виде:

Моментные функции выходного процесса определяются осредне­ нием ряда (121). Так, для математического ожидания выходного про­ цесса

(0> = <^о (0>+ ^ <^1 (0>+ М'2 <^2 (0> + •

имеем формулу

/

<ы(0> = <“о(0> — И- j h(t, т)<П«о(т)]> dx+ ...

— оо

Моментные функции второго порядка определяются как

<« (*i) и (/2)> = <ы0 (/х) и0(/2)> + р. <w0 (*l) «1 (**) + “о (As) «1 (*i)> +

+ p,2 <«X (/x) Ых (/2) + U0 (ti) u2(t2)-\-u0 (t2) u2(/x)> + ...

После подстановки сюда выражений для функций ux{t), а 2(0 и т. Д- По­ лучаем

<и (tx) a (t2)> = <и0 (tt) и0 (t2)> — t2

—р, j h(t2, т2)<м0(^)П и оЮ ]> Л 2—

—оо

Применим формулу (122) для вычисления корреляционной функ­ ции на выходе системы Дуффинга (116). Пусть q(t) — центрированный стационарный случайный процесс. Тогда u(t) также будет центрир0_ ванным стационарным процессом. Замечая, что для стационарной Сц_

Здесь Ku,(i) — корреляционная функция нулевого приближения, т. е.

оооо

(*)= $ $ h (0Х) h (02) к п(т + 01— 02) dQx d02.

оо

Вправую часть формулы (123) входит моментная функция четвер­ того порядка от нулевого приближения u0(t). Чтобы найти эту функ­ цию, нужно иметь информацию о распределении процесса u0{t). Если внешнее воздействие является нормальным, то будет нормальным так­ же и процесс u0(t). Тогда для определения моментной функции четверо того порядка можно воспользоваться соотношением (119):

<«„ (0) u l (т— е2)>= ъКщ (0) Ки, ( т - 0 2),

<«о (t) ul ( - 0Х)> = 3Ки, (0) Ки, (Т + 0Х).

Подставляя найденное значение в формулу (123), получим оконча­ тельно

к и (Т) = Ки, (Т) - 3ц К О0 (0) 5h (0) [Ки0(Т- 0) + к и. (Г + 0)1 de + . . . (124)

о

Заметим, что для случая нормального входного процесса все вы­ писанные члены найдены точно. Члены, содержащие квадраты и более высокие степени малого параметра, будут зависеть от моментных функ­ ций процессов цх(/), u2(t) и т. д. При нормальном внешнем воздействии процессы u^t), u2{t) и т. д. свойством нормальности, вообще говоря, обладать не будут. Поэтому вычисление следующих членов разложе­ ния вызывает затруднения, сходные с теми, которые встречались в методе стохастических дифференциальных уравнений. Чтобы обойти эти затруднения, придется, как и ранее, ввести дополнительные гипо­ тезы о моментных функциях.

Нетрудно_видеть аналогию между применением метода малого па­ раметра в статистической динамике и теории нелинейных колебаний. Вообще, между методами^статистической динамики дискретных нелинейных систем и методами теории нелинейных колебаний много общего. Некоторые приемы по существу являются распространением методов теории колебаний на стохастические системы. Наряду с мето­ дом малого параметра в статистической динамике применяются ана-

логи методов Ван-дер-Поля, Крылова—Боголюбова и т. п. В следую­ щем параграфе мы остановимся несколько подробнее на методе статис­ тической линеаризации, идея которого берет свое начало от методов гармонической и эквивалентной линеаризаций, широко применяемых для расчета нелинейных колебательных систем.

§ 1.9. Метод статистической линеаризации

Метод статистической! линеаризации оснрван наидее о замене не­ линейных функций в уравнениях системы подходящими линейными функциями. При этом используется некоторый критерий наилучшего приближения этих функций. Для реализации критерия необходимо иметь сведения о распределении выходного процесса. Поскольку до решения задачи эти сведения отсутствуют, то приходится вводить не­ которые вероятностные гипотезы (такой гипотезой может служить, например, гипотеза о нормальности выходного процесса). Заменив нелинейные функции соответствующим образом выбранными линей­ ными функциями, мы получим для выходного процесса линейное урав­ нение. Однако коэффициенты этого уравнения будут зависеть от не­ известных параметров распределения. После того как линеаризиро­ ванная задача решена, можно получить уравнения для определения указанных параметров [96].

Метод статистической линеаризации аналогичен методу гармони­ ческой линеаризации в теории нелинейных колебаний. В основе метода гармонической линеаризации тоже лежит идея о замене нелинейной системы подходящей линеаризированной системой. Параметры линеа­ ризированной системы определяются из некоторого критерия эквива­ лентности, осуществляемого на множестве гармонических решений. При этом коэффициенты линеаризированной системы оказываются функциями неизвестной амплитуды (иногда фазы и частоты) колебаний. Уравнение для нахождения амплитуды составляется после решения линеаризированных уравнений. Это уравнение оказывается нелиней­ ным.

Поясним идею метода статистической линеаризации на простом примере. Пусть уравнение нелинейной системы имеет вид (120), где f(u) — детерминированная функция и. Для некоторого упрощения выкладок будем считать, что входной процесс q(t) является центриро­ ванным и имеет симметричное распределение, а функция f(u) являет­

где k — неслучайная постоянная. Эту постоянную следует выбрать так, чтобы приближение (125) было в некотором смысле наилучшим. Критерий для выбора не является единственным. Например, естест­ венно потребовать, чтобы дисперсии обеих частей соотношения (125) были равны:

</2 (ы)> = k2(u 2}.

во