Механика композитных материалов 4 1982

висимых переменных (параметров), так и от выбора их начального приближения и дискретности задания шага. Поэтому выбор начального приближения и задание шага по управляющим параметрам должны производиться в разумных пределах.

Вначале рассмотрим кинетику максимальных температурных напря­ жений огтах(Т) при оптимизации скорости охлаждения среды внутри

ствуют одному из вариантов охлаждения упругого цилиндра, рассмот­ ренного в работе [17]. На рис. 1 кривая 1 соответствует «квазиоднородному» охлаждению цилиндра, когда скорость охлаждения среды внутри и снаружи цилиндра одинакова и равна fci = ft2 = 0,135 град/мин. Кривая 2, заимствованная из работы [17], соответствует неоднород­ ному охлаждению упругого цилиндра с различными скоростями охлаж­

= 0,135 град/мин. -После проведения расчета оптимальное значение ис­ комого параметра оказалось равным Ьх=0,180 град/мин. Соответству­ ющая этому уравнению кривая агшах(Г) показана на рис. 1 сплошной

линией.

Как видно из рис. 1, величина остаточных температурных напряже­ ний (при Т= 20°С) не зависит от режима охлаждения, что обусловлено использованием упругой модели материала. Однако на протяжении всего процесса охлаждения приближенный критерий оптимальности в форме (1) позволил значительно уменьшить температурные напря­ жения.

Найдем теперь оптимальную скорость охлаждения среды внутри

На рис. 2 кривые 1 и 2 соответствуют решениям, полученным в [17] для разных вариантов охлаждения: tki=tk2 = 16 ч (кривая 1) и tk =

= 8 ч, th =16 ч (кривая 2). Сплошная кривая соответствует оптималь­

ному режиму охлаждения Ь\ = 0,045 град/мин. Здесь, как и в предыду­ щем случае, оптимизация режима охлаждения лишь по одному пара­ метру Ь\ привела к меньшим по абсолютной величине значениям 0rmax(7^ на протяжении всего режима охлаждения за исключением ко­ нечных значений напряжений при Г= 20°С.

На рис. 3 показаны оптимальный режим охлаждения цилиндра и

соответствующая ему кинетика ormax(£) для случая, когда при реше­ нии вариационной задачи (10) оптимизировались все четыре управля-

На рис. 4 показаны результаты расчета выбора наилучших коэффициентов тепло­ отдачи. Максимальное уклонение расчетных кривых от экспериментальных составляет, как видно из рисунка, не более 7°С. Достигнутая точность аппроксимации эксперимен­ тальных кривых вполне может быть достаточной для практических инженерных рас­ четов оптимальных режимов.

С помощью «настроенной» математической модели определялись оптимальные в смысле функционала (1) режимы охлаждения, а их реализация осуществлялась на модельной лабораторной установке, описанной выше. Экспериментальные значения конечной системы оста­ точных напряжений определяли методом Закса. Полученная оценка максимальной величины радиальных остаточных напряжений <jrmax (при Г = 20°С) имеет порядок от —5 до 2 кгс/см2. Такой уровень оста­ точных радиальных напряжений удовлетворительно согласуется с по­ лученным теоретическим путем значением максимальных радиальных напряжений, в конце режима охлаждения.

Применение оптимальных кусочно-линейных управлений в задаче охлаждения толстостенного ортотропного цилиндра позволяет получить в среднем наименее напряженную конструкцию. При получении опти­ мальных режимов информация о трансверсальной прочности композита не-использовалась. Поэтому для оценки возможности расслоений, воз­ никающих на стадии охлаждения, необходимо сопоставить кривую огт*х(Т), соответствующую оптимальному режиму, с кривой а гпР°ч (Г , t), если применяется критерий прочности, или кривую максимальных ра­ диальных деформаций егшах(Г ) с предельной кривой егпрЬд( Г , /), если применяется деформационный критерий [25]. При этом, как показано в [25], необходимо учитывать не только температурную, но и времен­ ную зависимость прочности агпроч(Г, /) и деформативности /).

Получение сравнительно простых численных решений в математи­ чески сложной задаче оптимизации системы с распределенными па­ раметрами оказалось возможным благодаря использованию двух до­ пущений: выбора определенного класса функций управлений — ку­ сочно-линейных функций температуры среды U (t) внутри и снаружи цилиндра, и применению упругой модели материала. В дальнейшем предполагается рассмотреть задачу в более общей постановке, исполь­ зуя другие критерии оптимизации, отличающиеся от (1). Например, представляют интерес режимы охлаждения, оптимальные по быстро­ действию с ограничениями на величину температурных напряжений или деформаций.

Предлагаемые в настоящей статье оптимальные кусочно-линейные управления температурой среды легко могут быть реализованы на име­ ющемся оборудовании. Поэтому можно рекомендовать использование метода для расчета оптимальных управлений реальных процессов ох­ лаждения толстостенных изделий из армированных полимерных мате­ риалов с целью обеспечения ненапряженного состояния конструкций.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Портнов Г, Г., Кулаков В. Л. Учет начальных термических напряжений при

исследовании энергоемкости маховиков, изготовленных намоткой композитов. — Меха­

Ему будет противодействовать диффузионный поток, вызванный тепло­ вым движением частиц, величина которого может быть определена ана­ логично закону Фика для поступательной диффузии [3]:

Подставляя (8) в (7), сравнивая коэффициенты при членах с равными степенями р и используя в pi (ф) и р2 (ф) лишь периодические члены, по­ лучим

р(ф)=ро~Рро соэф - Р2р0 соз2ф—...

При малых значениях р, т. е. при сравнительно небольшом эффекте воз­ действия магнитного поля по сравнению с тепловым движением, можно ограничиться первым приближением:

Р(ф) =Ро(1 —р COS ф).

Вслучае нестационарного режима необходимо учитывать изменение р во времени. При этом можно принять [3], что в момент времени t функ­ ция распределения р определяется выражением

Учитывая, что при ^=0 *=0, а соответственно и С= 0, получим решений уравнения (10) в виде

( l- e D<J(),

и, следовательно,

Таким образом, в случае воздействия ОПМП на жесткие асиммет­ ричные частицы будет создаваться анизотропное распределение их осей, характеризуемое функцией р. Кинетика установления и исчезновения' анизотропии будет определяться уравнением (11). В виде такой жесткой асимметричной частицы может быть представлена также макромоле­ кула ПС, находящаяся в разбавленном растворе, при условии, что «внутренняя» вязкость сегментов в макромолекуле значительно больше вязкости растворителя. Согласно [3] макромолекула ПС свернута в клу­ бок, представляющий собой вытянутый эллипсоид вращения с соотноше­ нием полуосей р = 2. Вследствие асимметрии геометрических размеров подобный эллипсоид в ОПМП придет во вращение под действием меха­ нического момента [5]

где xi — магнитная восприимчивость ПС; п — размагничивающий фак­ тор; V\ — объем клубка.

Следует отметить, что направление вращения клубка не будет зави­ сеть от знака магнитной восприимчивости, так как она входит в выра­ жение (12) в квадрате. Таким образом, диамагнитный клубок будет стремиться ориентироваться вдоль силовых линий магнитного поля. Вид функции распределения продольных осей клубков по углам ориентации

ромолекул в растворителе.

Однако поведение макромолекулы ПС в ОПМП будет определяться не только моментом сил Ми возникающим вследствие асимметрии ее формы, но и моментом М, обусловленным структурной анизотропией и описываемым формулой (1). Под влиянием ОПМП происходит ориента­ ция сегментов макромолекулы, обладающих анизотропией магнитной восприимчивости Д%2 [4], которые также можно рассматривать в качестве жестких асимметричных частиц. Предположим, что вращение сегмен­ тов внутри клубка происходит независимо друг от друга, а их взаимо­ действие будет учитываться наличием «внутренней» вязкости. В таком случае для определения функции распределения осей сегментов по уг­

Ду 2£2J/

где 02= 2^ fcf— ’ ^ 2 — коэффициент вращательной диффузии сегмен­

тов внутри клубка; V2 — объем сегмента. Вследствие отрицательной ве­ личины Дх2 направление вращения диамагнитного сегмента будет проти­ воположным направлению вращения клубка, и сегмент будет стремиться занять положение, при котором его большая ось будет перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Таким образом, в ОПМП сегменты будут участвовать одновременно в двух противоположно направленных движениях, а их ориентация будет носить сложный характер, зависящий от соотношения коэффициентов «внутреннего» вращательного трения сегмента в клубке и вращательного трения клубка в растворителе при данной напряженности магнитного поля.

Наличие ориентации сегментов может быть установлено с помощью определения дихроичного отношения [6] пленок ПС, выпаренных из рас­

Определим значение суммарной магнитной анизотропии сегментов ДХ2, входящее в (26). Если все сегменты макромолекулы ориентиру­ ются, то

М t

где Дхс — анизотропия магнитной восприимчивости сегмента; М, Мс — молекулярные массы полимера и сегмента. Учитывая, что

ЛХс ЛХс= Мс

где Д%см — молярная анизотропия восприимчивости сегмента, выраже­ ние (27) преобразуется к виду

Анизотропия магнитной восприимчивости сегмента может быть рассчи­ тана согласно [9] по формуле

где хзсм — восприимчивость вдоль оси сегмента; XICM и Х2 см — в перпен­ дикулярном направлении.

Для расчета восприимчивостей XJCM воспользуемся формулой Паскаля

правка, зависящая от конфигурации химических связей. Показано [9], что для многоатомных молекул она достаточно мала по сравнению с диамагнитной составляющей восприимчивости и в дальнейших расчетах

ею можно пренебречь.

Учитывая значения и направления молярных восприимчивостей от­

где b — число мономерных звеньев в сегменте.

Согласно [3] для клубков как для эллипсоидов вращения в отсутствие магнитного поля

Для сегментов как для сильно вытянутых эллипсоидов, у которых р2^> 1,

3kT

еде т)2„ — «внутренняя» вязкость клубка; L — длина сегмента. Согласно уравнению Френкеля—Эйринга [10] для жидкостей т]о= Лед°/АГ, где ДС — свободная энергия активации вязкого течения. В случае воздействия магнитного поля т1=Ле<лсигм)/йт, где WM— энергия магнитного поля, необходимая для ориентации частицы с определенными магнитными

W

свойствами. Отсюда ri=Tioe~P, где P= £J L- Таким образом, в ОПМП

Энергия, необходимая для вращения жесткой частицы, может быть вы­ ражена следующим образом:

П/2

Сучетом (28), (31), (32) после некоторых преобразований формула

(26)будет иметь вид

При подстановке (33) в (25) получаем зависимость дихроичного отно­ шения R от времени воздействия магнитного поля t и от его напряжен­ ности Н = В/ц0.

Степень ориентации сегментов в ПС, согласно работе [7], может быть найдена из соотношения

cos2 ф = 2 -Д

2+Д ’

где ф — угол между направлением ОПМП и осью сегмента.

Анализ формулы (33) показывает, что зависимость степени и направ­ ления ориентации от напряженности поля определяется относительным вкладом каждого из слагаемых. При малых напряженностях магнитного поля ориентационные процессы в ПС будут определяться ориентацией клубков в направлении поля. В этом случае преимущественную роль бу­ дет играть первое слагаемое, описывающее процессы вращения клубков. Увеличение энергии магнитного поля с ростом его напряженности приве­ дет к уменьшению свободной энергии активации вязкого течения сег­ ментов, что будет способствовать понижению «внутренней» вязкости и росту подвижности сегментов. Диамагнитные сегменты будут стремиться ориентироваться перпендикулярно силовым линиям ОПМП, и в этом случае преимущественное значение будет иметь второй член в формуле (33), имеющий отрицательный знак (вследствие отрицательного значе­ ния хз). При определенной напряженности магнитного поля будет на­

блюдаться равенство членов, при котором а = 0; Д=1; cos2 ф= 0,33. Этот