Механика композитных материалов 1 1980

когда артерия имеет свою физиологическую длину. Используя (6) и (7) в уравнениях движения стенки, при решении краевых задач биомеханики кровообращения явно учитываем предварительную напряженность ар­ терии в осевом направлении, в чем состоит преимущество предлагае­ мого упругого потенциала.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Tickner Е. G., Sacks А. Н. A theory for the static elastic behavior of the blood

vessels. — Biorheology, 1967, N 4, p. 151— 168.

2.Patel D. J., Vaishnav R. N. The rheology of large blood vessels. — In: Cardio­ vascular Fluid Dynamics. London, 1972, p. 1—64.

3.Bergel D. H. The properties of blood vessels. — In: Biomechanics, its foundation

and objectives. New Jersey, Englewood Cliffs, 1972, p. 105— 139.

4.Cox R. H. Anisotropic properties of the canine carotid artery in vitro. — J. Bio­ mechanics, 1975, N 8, p. 293—300.

5.Касьянов В. А., Кнетс И. В. Функция энергии деформации крупных кровеносных

biological membranes. — Proc. 2nd Nat. Cong, on Mechanics, Sofia, 1976, vol. 2, p.785—794. 7. Tong P., Fung Y. C. The stress-strain relationship for the skin. — J. Biomechanics,

1976, N 9, p. 649—657.

8. Stoychev St., Draganov L., Rachev A. A device for measuring the mechanical properties of the blood vessels in vitro. — Biomechanica, 1976, N 3, p. 3— 10 (Sofia).

9.Грин A. E., Адкинс И. E. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., 1965. 455 с.

10.Ранее А. Нелинейно механично поведение на еластични ортотропни мембрани. Приложение в биомеханиката. — Биомеханика, кн. 9 (в печати) (София).

12.Roscoe J. T. Fundamental Research Statistics for the Behavioral Sciences. New York, 1969. 364 p.

13.Петров H., Мечкарски Ст., Рангелова P., Михайлова Ан., Тонев Б. Върху меха-

ничните свойства на тъканните трансплантати. — Трети конгрес по механика. Т. 2, 1977,

УДК 611.1:539.3

А.К. Цатурян, С. В. Желамский

ОВЗАИМОСВЯЗИ ДЕФОРМАЦИИ И АКТИВАЦИИ

СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ

Инактивация одиночного сокращения мышцы при ее деформации была, по-видимому, впервые установлена в работе [1]. В [2] было пока­ зано, что быстрая циклическая деформация сердечной мышцы во время изометрического сокращения приводит к уменьшению напряжения по сравнению с контрольным сокращением. Инактивация сокращения про­ исходит как при кратковременном растяжении, так и при кратковремен­ ной разгрузке мышцы. Это явление играет, возможно, важную роль в регуляции величины ударного объема сердца. Относительно возможных механизмов эффекта инактивации был высказан ряд гипотез [2—4], ни одна из которых, однако, не получила прямого подтверждения. В предла­ гаемой работе описаны результаты экспериментального исследования эффекта инактивации при различных режимах сокращения сердечной мышцы, а также предпринята попытка воспроизвести этот эффект на математической модели.

1. Эксперименты проводили на папиллярных мышцах правого желудочка кошки. Длина рабочей части препарата составляла 4,4—7,6 мм, сечение — 0,3— 1,2 мм2. Пре­ парат помещали в рабочую камеру объемом 4 см3 н омывали раствором, содержащим 137 ммоль NaCl, 2,5 ммоль КС1, 2,5 ммоль СаС12, 15 ммоль NaHCOa, 0,05 ммоль NaHPO.,

I ммоль MgCI2 п 4 ммоль глюкозы (pH 7,3—7,4) с объемной скоростью 5— 10 мл/мин. Стимуляцию производили сверхпороговымн импульсами длительностью 5 мс через мас­

рабочую часть препарата растягивали на, 20% ее недеформированной длины с помощью мнкровинта.

Силу, развиваемую мышцей, определяли механотроном, соединенным с неподвиж­ ным концом мышцы. Механотрон был ужесточен пружиной с тем, чтобы его собствен­

ная частота была не ниже 250 Гц. Электромагнитное задающее устройство состояло из рамки гальванометра и рычажка, соединяющего ее с подвижным концом препарата. Ток в рамке задавали с помощью специального электронного блока, позволяющего вы­ бирать программу эксперимента, т. е. величину и длительность нагрузки (или раз­ грузки) мышць^ а также привязку воздействия к возбуждающему стимулу. Датчик перемещения состоял из жестко связанного с задающим устройством флажка, пере­ крывающего световой поток, падающий на фотодиод. Перемещение мышцы было ог­ раничено стопорными винтами. Эффективная масса подвижной части установки со­ ставляла около 150 мг, постоянная времени всей системы была не более 10 мсек.

2. На рис. 1 приведены примеры экспериментальных записей напря­ жения а и деформации е мышцы. На рис. 1—а показана суперпозиция изометрического сокращения и сокращения, в котором мышца была под­ вергнута кратковременной разгрузке в момент достижения максималь­ ного напряжения. Несмотря на то, что длина мышцы после разгрузки возвращается к исходному уровню, напряжение остается ниже изомет­ рического во всех последующих фазах сокращения. Поскольку реакция мышцы па деформацию состоит из собственно инактивации, т. е. умень­ шения генерируемого мышцей напряжения, и вязкоупругого ответа, апа-

расслабления изометрического напряжения, определяемой как коэффи­ циент линейной регрессии зависимости In а от времени, а также макси­ мальное напряжение ат ах и время его достижения /max для режимов со­ кращения, приведенных на рис. 3—а, б. Как видно из таблицы, коэффи­ циент амплитудной зависимости эффекта инактивации не коррелирует с величиной максимального изометрического напряжения, но увеличи­ вается с уменьшением постоянной времени изометрического расслабле­ ния т. Зависимость k от т для шести сокращений, приведенных в таб­ лице, показана на рис. 3—в. Независимо от того, каким образом было вызвано изменение постоянной времени расслабления, эффект инакти­ вации возрастает, когда т уменьшается, и уменьшается, когда т растет. Зависимость /е от Ае = Де/ет ах для изотонических сокращений под на­ грузками 0,2crmax, 0,4amax и 0,6атах в пике изотонического сокращения приведена на рис. 3—г. Как и в случае изометрического сокращения, зависимость аппроксимируется прямой: IE=\kAE. При этом коэффициент наклона k не зависит от уровня нагрузки. Отметим, что инактивация укорочения, наблюдавшаяся в наших экспериментах, носит более выра­ женный характер, чем инактивация напряжения.

3. Прежде чем перейти к обсуждению результатов описанных выше экспериментов, необходимо сделать некоторые замечания о методике одномерных механических экспериментов на полосках миокарда. При обработке таких экспериментов в явной или неявной форме использу­ ется предположение об однородности деформаций в образце. Прямая проверка этого предположения показала его несправедливость: оказа­ лось, что в процессе изометрического сокращения концы образца растя­ гиваются (деформация при этом может достигать 40%), а централь­ ный участок укорачивается на 7—10% [5—7]. Очевидно, что столь значи­ тельные концевые эффекты приводят к большим ошибкам в оценках характерной скорости укорочения и динамического модуля упругости

а* — изометрическое напряжение, т. е. намного превосходит оценки, полученные в одномерных экспериментах [8]. Таким образом, величина динамического модудя упругости или «последовательная упругость» миокарда, наблюдаемая в таких экспериментах, почти полностью обус­ ловлена концевыми эффектами.

Исходя ,из приведенных выше соображений легко объяснить полу­ ченную в работе [2] зависимость эффекта инактивации от скорости дефор­ мации (при уменьшении скорости деформации от 8 до 0,5 с-1 инактива­ ция возрастала вдвое) тем, что при быстрой деформации центральный активно сокращающийся участок не успевал продеформироваться, по­ скольку характерная скорость деформации сердечной мышцы намного меньше 8 с-1. В наших экспериментах скорость деформации не превос­ ходила 1,2 с-1 и не лимитировала укорочения центральной части препа­ рата, поэтому эффект инактивации практически не зависел от длитель­ ности деформации (см. рис. 2—б). Зависимость 1а от момента разгрузки мышцы, наблюдавшаяся в наших опытах (см. рис. 2—б), согласуется с данными работы [2], причем ее характер сохраняется и в фазе расслаб­ ления сокращения.

Авторы работы [2] пришли к выводу, что увеличение концентрации ионов Са++ в растворе приводит к уменьшению эффекта инактивации. В наших экспериментах увеличение концентрации ионов Са++ с 2,5 до 10ммоль практически не влияло на степень инактивации (см. рис. 3—б). Такое расхождение связано с тем, что в наших опытах за меру воздей­ ствия была принята относительная величина разгрузки Аа, а в работе [2 — укорочение Ае. Если учесть высказанные выше соображения о влия­ нии концевых эффектов, то становится ясно, что при увеличении ашах,

изометрического сокращения и сокращения с кратковременной (20 мс) разгрузкой в момент достижения максимального напряжения, а также зависимость эффекта инактивации от момента разгрузки, полученная на модели. Легко видеть, что результаты расчета хорошо согласуются

сэкспериментальными данными, приведенными на рисунках 1 и 2.

Взаключение авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признательность С. С. Григоряну, В. Я- Изакову и В. С. Мархасину за внимание к работе и полезное обсуждение.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Хилл А. Механика мышечного сокращения. М., 1972.

2.Kaufmann R. L., Bayer R. М., Harnasch С. Autoregulation of contractility in myocardial cell. Displasement as a controlling parameter. — Pfliigers Arch., 1972, vol. 332 p. 96— 116.

9.Hennekes R., Kaufmann R., Lab M., Steiner R. Feedbaek loops involved in car­ diac excitation—contraction coupling: evidance for two different pathway. — J. Molec Cell. Cardiol., 1977, vol. 9, p. 699—713.

10.Цатурян A. К., Изаков В. Я. Математическая модель сопряжения возбужде­

ния с сокращением в сердечной мышце. — Биофизика, 1978, т. 23, с. 895—900.

Московский государственный университет Поступило в редакцию 10.04.19 им. М. В. Ломоносова, Институт механики

Свердловский межобластной кардиохирургический центр

УДК 532.59:518.5:642.13

И. М. Скобелева

МОДЕЛЬ СОСУДИСТОГО ТОНУСА (ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ)

Важным фактором, определяющим движение крови, является подат­ ливость стенок кровеносных сосудов. Однако до сих пор мало изучены существенные для физиологии специфические механические эффекты, связанные с наличием мышечных слоев в сосудистой стенке, обусловли­ вающих в частности радикальные изменения реологических свойств стенки. При этом указанная активная деятельность сосудистой муску­ латуры управляется не только внешними воздействиями, но и самим на­ пряженным состоянием стенки (см., например, [1]).

Экспериментальные данные указывают на наличие у стенок сосудов временных эффектов, характерных для вязкоупругих тел [2], и на возможность существования падающего участка в статической характе­ ристике давление—радиус [3, 4]. Оба эти факта не противоречат общей континуальной модели мышечной ткани [5].

С учетом названных свойств стенок в работах [6, 7] теоретически ис­ следованы в безынерционном приближении поведение малых возмуще­ ний, наложенных на стационарное течение в трубке конечной длины, и распространение стационарных нелинейных волн конечной амплитуды в очень длинных трубках. Подобным образом можно моделировать те­ чение в малых кровеносных сосудах, где инерция несущественна.

В настоящей работе в аналогичной постановке решается задача о течении жидкости в трубке конечной длины, причем заранее не де­ лается никаких дополнительных предположений о характере возмож­ ных возмущений потока и об амплитуде смещений стенки.

Рассмотрим неустановившееся осесимметричное течение вязкой не­ сжимаемой жидкости в трубке переменного радиуса rw(x, t) и конечной длины L. Предположим, что выполнены условия применимости квазиоднородного (гидравлического) приближения, и инерционные силы пре­ небрежимо малы (т. е. числа Рейнольдса меньше единицы и длина существенно больше радиуса сосуда, что справедливо, например, для артериол [2]). Тогда радиус трубки rw(x,t) и среднее трансмуральное дав­ ление р(х«t) связаны уравнением

=const — давление в окружающей трубку среде.

Примем, что стенка ведет себя при квазистатическом и мгновенном нагружениях как упругое тело, обладая при этом свойством запазды­ вающей упругости, обусловленной вязкостью. Если ограничиться доста­ точно тонкими стенками и пренебречь неоднородностью в распределе­ нии напряжения и деформации по толщине стенки, то можно записать модельное реологическое уравнение материала стенки в виде нелиней­ ной модификации вязкоупругого тела Пойнтинга [8]:

- ^ - + ф ( а , е) =Н(о, е) . (2).

Здесь а, е — соответственно напряжение и деформация, причем

где г0 — радиус трубки при отсутствии в стенке внутренних напряже­ ний; Н > 0 имеет смысл мгновенного упругого модуля, а функция ср(а,е) определяет поведение материала при квазистационарных процессах. При постоянстве внешнего давления с учетом условия равновесия эле­ мента стенки можно переписать (2) в виде:

; (4) К (р ,г)> . (5)

Условие (5) обеспечивает эволгационность принятой модели.

Как было сказано выше, из экспериментальных данных следует, что статическая характеристика давление—радиус может, иметь падающий участок, причем однозначной зависимости е(р) соответствует S-образная характеристика в плоскости (е, р). Для некоторых малых кровеносных сосудов такая характеристика имеет вид [3], показанный на рис. 1. Кри­

вует 5-характеристике. Нетрудно определить из условия неустойчивости состояний при фиксированных е, соответствующих падающему участку S-характеристики, что а<0.

Таким образом, имеем два нелинейных уравнения в частных произ­ водных (1) и (4) с учетом (3) и (6) для определения rw и р. Будем счи­ тать смещения стенки чисто радиальными, давления на концах трубки — постоянными, а трубку в начальный момент — цилиндрической. Пусть

Р (0, t) =p+=const; p(L, t) =p~=const;

Введем безразмерные переменные x —x/L, Гу)= Гу)/г$, t = t j t р = р/р#. Тогда (1), (4) с учетом (3), (6) перейдут в (далее везде черта над безразмерными