Методы обеспечения надежности изделий машиностроения
..pdfВеличину fe(y, а, п) называют толерантным множителем,
численные значения которого приведены в табл. 2 приложения [16]. Приближенные значения толерантных множителей можно вычислить по формуле [16]
(9.69)
‘ (т' “'">“ М ' + ^ г + ± ^ ]
Пример 9.9. Пусть по результатам испытаний изделий наработка на отказ подчиняется нормальному закону распреде ления. Из совокупности наблюдений /г = 100 изделий полу чены следующие оценки: среднее значение наработки на отказ
а= 10, |
среднее |
квадратическое отклонение а = 2. |
Найти |
двусто |
||||||
ронний толерантный интервал при заданных значениях |
у = 0,90 |
|||||||||
и а = 0,90. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . По табл. 1 приложения при у = 0,90 |
|
|||||||||
|
|
иу = 1,282 и 1±SL = |
1+ ° ’9 = |
0,95; |
|
|
||||
|
|
|
|
1+а |
= 1,645. |
|
|
|
||
По формуле |
(9.69) находим |
|
|
|
|
|
||||
,, |
, |
1 слс Г 1 |
I |
1.282 |
. |
5-1.2822+ 1<П |
|
|||
A(V. а. <0- |
1.645[ I |
+ |
|
|
|
—J= 1,81. |
||||
В |
соответствии с |
формулой |
(9.68) |
имеем |
толерантные |
|||||
пределы а±Л(у, а, я)=10±1,81. |
|
у = 0,90 среднее значение |
||||||||
Это означает, что с вероятностью |
||||||||||
наработки |
на отказ будет находиться в этих пределах. |
|
||||||||
Как уже отмечалось в параграфе 9.2, оценку надежности изделия, состоящего из независимых элементов, можно опре
делить по формуле |
|
|
|
P(t)= |
U |
(9.70) |
|
где |
/= |
1 |
|
|
|
|
|
3 ( 0 = |
1 |
~ ; |
(9-71) |
rrii — число отказов /-го элемента; л, — объем испытаний /-го элемента; N — число элементов, входящих в состав ' изделия.
Так как значения P{t) близки к единице, то среднее квадра тическое отклонение оценки надежности изделия выражается зависимостью
253
|
|
|
(9.72) |
где |
|
|
|
3(<)[» - |
3(0] |
(9.73) |
|
а№ — |
П1 |
|
|
|
|
||
Полагая, что оценка |
P(t) |
распределена по закону, близкому |
|
к нормальному, односторонний нижний доверительный предел определится по формуле
P ( t ) = P ( t ) - иуат , |
(9.74) |
где иу — квантиль нормального распределения, определяемая по табл. 1 приложения.
Оценка нижней доверительной границы может быть выраже на зависимостью вида
(9.75)
/=1
Если в процессе испытаний изделия отказов не наблюда лось, то оценка нижней доверительной границы определяется по формуле
P ( t ) |
= (1 — v) |
(9.76) |
где (n;)min — минимальное |
число испытаний среди всех n!^i<N |
|
В этом случае совпадают нижние доверительные границы |
||
изделия и элемента, для |
которого проведено наименьшее |
чис |
ло испытаний. Более точные решения для получения нижних до верительных интервалов вероятности безотказной работы полу
чены в работе |
[4]. Приведем некоторые результаты этих решений. |
|
Пусть |
испытания отдельных элементов изделия проводят |
|
по плану |
[nit |
Б, Т] . В процессе испытаний было зафиксировано |
т / отказов в каждом из я, испытаний. Если элементы достаточно
надежные и |
20, то можно считать, что т, отказов имеют |
пуассоновское |
распределение с параметром А,/ = л/[1 — Pt{t)\ |
В этом случае оценка нижней доверительной границы с уровнем доверия у будет равна
Р = ехр [ |
а\-ут |
(9.77) |
|
К |
mini N ] |
||
254
где ai_ Y— квантиль |
распределения |
Пуассона, определяемая по |
||
табл. 3 приложения |
(1 —у = а); т = |
N |
mi — общее число отка- |
|
£ |
||||
зов |
всех элементов. |
|
1=1 |
|
|
для |
нахождения величины |
||
_ |
Если число отказов велико, то |
|||
P(t) можно воспользоваться нормальным распределением вида
P(t) = exp |
(9.78) |
где иу — квантиль нормального распределения, |
определяемая |
по табл. 1 приложения. |
|
Пример 9.10. Пусть изделие состоит из трех независимых механизмов, отказ каждого из которых приводит к отказу из делия. Механизмы испытывают по плану [nit Б, Т]. При одина
ковых объемах испытаний механизмов (/г4-= 100 циклов) |
первый |
|||
механизм |
отказал 2 |
раза (mi =2), второй не |
имел |
отказов |
(т 2 = 0), |
на третьем |
механизме зафиксировано |
четыре |
отказа |
( т 3 = 4). |
|
|
|
|
Найти одностороннюю оценку вероятности безотказной работы изделия с достоверностью у = 0,90.
Р е ш е н |
и е . |
По табл. |
1 приложения находим иу= 1,282. |
Подставляя |
исходные данные в формулу (9.78), получим |
||
|
P(t) |
exp |
( 100 + 100 + 1(ю) |
В случае, когда испытания элементов, входящих в после довательную систему, проводят по плану [nit Б9 г,-] и известны их наработки, т. е. SB(tri), то односторонний нижний доверительный предел оценки надежности за время Т с коэффициентом доверия у определяется зависимостью
Р(Т) = |
ехр [ - |
TxLyi2г) |
|
(9.79) |
2[S6(U] |
|
|||
|
|
|||
где х?_ (2г) — квантиль |
х2распределения с |
2г |
степенями сво- |
|
боды, определяемая по табл. 4 |
приложения, |
г= |
^ г,- — сум |
|
марное число отказов; [SB(/n)V П)</<Л- ~ минимальная наработка элемента среди N элементов.
25£
Пример 9.11. Пусть по результатам испытаний четырех механизмов, последовательно соединенных в изделии, найдены наработки этих механизмов до их третьего отказа (п = 3), среди которых минимальной оказалась SB(/„)= 1000 ч. Найти односторон
ний нижний додерительный предел оценки вероятности безотказ ной работы изделия в течение Т = 20 ч при у = 0,90.
Р е ш е н и е . При г = 4 - 3 = 12 и у = 0,9 по табл. 4 приложения находим хо,э(24) =33,2. Подставляя в формулу (9.79) исходные данные, получим
Р(Т) = exp [ - f ^ - ] = е х р (- 0,332) = 0,75.
Если число отказов велико, то, как и для плана [nit Б, Т\ можно воспользоваться нормальным распределением для приб лиженного расчета нижнего доверительного предела оценки надежности изделия
Р(Т) = ехр |
(9.80) |
W |
+ “' |
Пример 9.12. Найти нижний доверительный предел оценки вероятности безотказной работы в условиях, приведенных в примере 9.11, методом приближенного расчета.
Р е ш е н и е . По табл. 1 приложения находим иу= 1,282 (1—у = р). Подставляя исходные данные примера 9.11 в выраже ние (9.80), получим
P(D = ex p [ - 2 o ( i i f ^ i i + 1 . 2 8 2 ^ 1 ^ ) |
0,77 |
9.4. СПОСОБЫ ОБЪЕДИНЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ
Многоразовые изделия, машиностроения, как правило, подвергают различным видам испытаний как на стадии отработки, (например, заводские, межведомственные или государственные испытания), так и на этапе серийного производства (например, приемосдаточные, периодические или гарантийные испытания).
Большое значение имеет объединение информации, получен ной на различных этапах доработки изделий. Если доработка эффективна, то при оценке надежности всю статистическую ин формацию до проведения доработки не учитывают. Объединен ная статистическая информация важна и при оценке надежности изделий, находящихся в процессе эксплуатации, когда необхо димо сравнить показатели надежности по годам эксплуатации,
256
а также после доработок по бюллетеням. Так как изделия ма шиностроения предназначены, в основном, для многоразового использования и являются восстанавливаемыми, то на каждом этапе отработки проводят испытания достаточно большого объема (из нескольких десятков, сотен и даже тысяч циклов функционирования), поэтому вопрос объединения информации имеет большое значение для оценки надежности.
Для объединения статистической информации, полученной по результатам различных видов испытаний или после дорабо ток изделия, необходимо представить результаты испытаний в виде двух совокупностей. По каждой совокупности результа тов в отдельности дают оценку надежности изделия, а затем с по мощью статистических критериев значимости определяют ве роятность расхождения этих двух групп данных.
Для изделий подобного класса в первую совокупность час то включают отказы случайного характера, по которым доработ ки не проводят. В этом случае оценку вероятности безотказ ной работы на этапе завершения всех видов испытаний прово дят по формуле
р, ( 0 |
= 1 - |
гП\-\-т2 -\- |
+ mk |
|
|
(9.81) |
||
п\ Н" |
П2Н- |
+ nk |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
где mi — число |
случайных |
отказов |
на |
*-м |
этапе |
испытании; |
||
rii — число циклов функционирования |
на |
/-м |
этапе |
испытаний; |
||||
k — число этапов испытаний.
Оценка среднего квадратического отклонения равна
Во вторую совокупность обычно включают отказы конструк тивного характера, по которым проводят доработку. Как пра вило, испытания на завершающем этапе повторяют до тех пор, пока не подтвердится эффективность доработок. В этом случае оценку нижней доверительной границы для вероятности безотказ ной работы (при условии отсутствия отказов после доработки) определяют по формуле
257
1 |
|
P 2(t) = ( \ - y ) ni in |
(9.83) |
где 7 — доверительная вероятность; riimin — минимальный объем
испытаний из совокупности всех проведенных доработок. Точечная оценка вероятности безотказной работы при ус
ловии отсутствия отказов после доработки равна
|
р2( 0 = |
1 - |
1 |
(9.84) |
|
2 (*, in+ 2 ) ’ |
|||
|
|
|||
Вопрос |
об объединении |
полученных по |
формулам (9.81) |
|
и (9.84) |
оценок вероятностей |
безотказной |
работы решается |
|
с помощью критериев значимости (см. гл. 6). |
|
|||
Если полученные по результатам испытаний оценки надеж ности P\(t) и P 2(t) не могут быть объединены в одну совокуп ность, то в первом приближении на этапе завершения испытаний можно принять оценку надежности, равную минимальному зна чению одной из двух — P\(t) или p 2 (t):
-P (t) = min (Р, (/), Р 2(/)). |
(9.85) |
В этом случае нижний доверительный |
предел P[t) равен |
значению доверительного предела для минимальной оценки. |
|
Если оценки по критерию значимости |
могут быть объеди |
нены в одну совокупность, то общую оценку для вероятности
безотказной работы находят |
как произведение |
вероятностей |
P(t) = |
P , ( t ) P 2 (t)- |
(9.86) |
В этом случае нижний доверительный предел для общей оценки равен минимальному значению доверительного предела одной из нижних границ:
P ( t ) = m m ( P l ( t ) , P 2(t)\ |
(9.87) |
где P\(t), p 2 (t) находят по номограммам 1—5 |
(см. приложение) |
в зависимости от уровня доверия у, если распределение подчи няется биномиальному закону. ^ ^
Если же распределение оценок P\(t) и P 2(t) близко к нормаль ному закону, то односторонний нижний доверительный предел определяют по формуле
P i (t) = P i (t) - и уот , |
(9.88) |
где иу — квантиль нормального распределения, определяемая по табл. 1 приложения.
258
| Пример 9.12. Пусть испытание изделия разделено на три этапа. На первом этапе проводят пi =400 циклов функциони рования и при этом зафиксировано два отказа (mi =2) слу чайного характера. На втором этапе проведено /12 = 200 циклов функционирования и зафиксировано два отказа (тг = 2) случай ного характера и один отказ конструктивного характера ( т 2 = 1 ). На последнем (третьем) этапе проведено /г3=100 циклов функци онирования и зафиксирован один отказ случайного характера (m3= 1). Отказов по доработанному механизму в процессе дальней ших испытаний не наблюдалось (/гд = /г3=100 циклов; т д = 0).
Найти оценку вероятности безотказной работы (за один цикл функционирования по завершению трех этапов испытаний) и ее нижний доверительный предел при доверительной вероят ности у = 0,90, если предположить, что вероятность безотказ ной работы изделия подчиняется биномиальному закону рас пределения.
Р е ш е н и е . Оценку вероятности безотказной работы для отказов, имеющих случайный характер, определим по формуле
(9.81): |
|
|
|
|
|
3 ( 0 = 1 - |
|
т, + т 2 + Щ _ ■_ |
2 + 2+1 |
0,993. |
|
|
/ij -f- п.2 Н- |
400 -|- 200 -|- 100 |
|||
Оценка среднего квадратического отклонения равна |
|||||
|
|
/ р,(оЬ -fi(Q ] |
0,993» 0,007 |
0,0003. |
|
°Р„п = |
V |
|
2л, |
V 700 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
При отсутствии отказов после доработки оценка вероят |
|||||
ности безотказной работы равна |
1 |
|
|||
р2( 0 = |
1 - |
|
0,995. |
||
2(*д + 2) |
2(100 + 2) |
||||
Нижняя доверительная граница для оценки Pi(t) при дове |
|||||
рительной вероятности у = 0,90 равна |
|
||||
(t) = Р{(t) - |
иу Стр1(0 = 0,993 - 1,282-0,0003 = 0,992. |
||||
Нижний доверительный предел для вероятности безотказ ной работы при уровне доверия у = 0,90 и при условии отсут ствия отказов находят по формуле (9.83):
3 ( 0 = (1 - У)"л = (1 - 0,9)1,10 = 0,981.
Используя статистический критерий значимости, основан ный на сравнении вероятностей двух групп данных по резуль татам испытаний, найдем вероятность принятия или отклоне ния гипотезы Но'-
259
Р , (0 = H i )
при т2 = О, /ц = 100, /гг, = 5, л, = 600 и
P (t)= 1 - П\ п2 |
0,9929; |
700 |
т,
_______ ” 2________________
■ y j p m h - f ^ r r + x )
_5_____ 0_
= ___ |
60Р_ 100 |
— _ 0,92 |
при у = 0,90 и иу = 1,282.
Поскольку ju = 0,92<Си у =.1,282, то гипотеза Н о о равенстве вероятностей P\(t) и Рг(0 может быть принята. Следовательно, результаты обеих групп данных необходимо объединить и в ка честве обобщенной оценки принять вероятность безотказной ра боты, равную Р = 0,9929. Нижнюю доверительную границу для обобщенной оценки принимают равной нижней доверитель ной границе по второй совокупности: P[t) = 0,981.
9.5. ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГИСТОГРАММЫ
Наиболее исчерпывающей характеристикой надежности изделия является функция распределения вероятности безотказ ной работы или функция распределения вероятности отказа. Эти функции часто называют эмпирическими. По результатам испытании рассматривают последовательность независимых наб людении (например, отказов изделия). Если последовательность
результатов наблюдении |
(например, наработок на отказ изделия) |
|
расположить в порядке |
возрастания / , < / 2 |
< / п то будет |
получен так называемый вариационный ряд длительности жиз |
|||||
ни изделия. |
|
|
н |
|
|
распр0едел?нТвида0МУ |
РЯДУ |
СТР°ЯТ |
эмпиРическУю |
Функцию |
|
|
0 |
при |
t < |
<г, |
|
F*(t) = |
_k_ |
при tk < |
t < |
tk+р |
(9.89) |
п |
|||||
|
1 |
при t > |
|
|
|
где k — число отказов, |
попадающих |
в интервал |
|
||
п — общий объем испытаний. |
|
|
|
|
|
260
Таким образом, эмпирическая функция при каждом значении t равна отношению числа отказов, выявленных до момента t к общему числу испытаний. Построение эмпирической функции
т |
k |
распределения выполняют, суммируя отношения £ |
---- |
*=1 |
п |
последовательно от одного участка к другому. Графическое изо бражение функции распределения дано на рис. 9.1.
Для оценки плотности вероятности отказов используют гис тограмму (рис. 9.2). В отличие от эмпирической функции рас пределения построение гистограммы состоит в следующем: всю область значений времени t разбивают на интервалы и в каж дом из этих интервалов определяют
(9.90)
п (**+ 1~ *к)
где rrik — число отказов в интервале (tk+i — tk)\ п — общий объем испытаний.
261
По виду гистограммы можно судить о законе распределения отказов. С целью более точного установления закона распре деления необходимо, чтобы число интервалов было не менее пя ти (й^5), а число реализаций, попадающих в каждый интервал, должно быть не менее десяти (т*^10). Построенная эмпири ческая функция или гистограмма позволяет с достаточной точ ностью установить теоретический закон распределения, а затем найти оценки его параметров, используя различные методы. Наиболее употребительными из них являются метод максималь ного правдоподобия и метод моментов.
9.6. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Этот метод является одним из наиболее распростра ненных и точных методов (предложен Р. Фишером в 1912 г.). Если наработка на отказ изделия выражается в виде плотности распределения f(t, ос), то функция максимального правдопо добия запишется в виде произведения плотностей вероятностей [4]
Х (/„ /2, . . . , *„;«)= |
П /(/*. а). |
(9.91) |
|
|
k=1 |
|
|
В случае, если наработка на отказ представляет собой дис |
|||
кретную величину и принимает значения Тi, |
Г2 , |
Тп соответ- |
|
ственно с вероятностями Рi(a), Рг(а), ...» Ял(а) и |
п |
P*(a) = 1, то |
|
£ |
|||
|
|
k= 1 |
[12] вида |
функция правдоподобия выражается зависимостью |
|||
L ( rhT 2, ,7\,;a) = |
П Pk(a). |
|
(9.92) |
|
k—1 |
|
|
Суть метода максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценок параметра а принимают такое его значение, при котором функция правдоподобия [(9.91) или (9.92)] прини мает наибольшее значение. Поскольку функции L и InL до стигают экстремума при одном и том же значении параметра а, то эти критические значения а определяются из уравнения правдоподобия
да |
= 0. |
(9.93) |
|
' |
Если наработку на отказ изделия выражают через плотность вероятности, зависящую от нескольких неизвестных параметров, то для их нахождения составляют столько уравнений правдопо добия, сколько неизвестных параметров. Для плотности распреде ления наработки на отказ с двумя неизвестными параметрами со ставляется два уравнения правдоподобия и решают их относи тельно неизвестных:
262