Системы управления исполнительными механизмами

В схемотехническом плане функции квантователя и экстраполятора (фиксатора) нулевого порядка реализуют с помощью устройства выборки-хранения (УВХ) [10].

Амплитудный квантователь обеспечивает квантование входного сигнала fф* t по уровню и выполняется на основе аналого-

цифровых преобразователей (АЦП). При достаточно большом числе двоичных разрядов АЦП (12–24) квантованием по уровню при исследовании цифровых систем обычно пренебрегают и цифровые СУИМ рассматривают как импульсные (амплитудно-им- пульсные с фиксатором нулевого порядка).

Анализ и синтез импульсных систем осуществляют, как правило, с применением метода Z-преобразования или разностных уравнений.

Преобразование Лапласа квантованного по времени сигнала имеет вид

k 0

Сделаем замену z eTp , что позволит получить Z-преобра- зование вида

F* z f kT z k ,

k 0

где z – комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются как

Re z eT cos T ,

Im z eT sin T ,

где j p.

Анализ проекций комплексной переменной z на оси Re(z) и Im(z) позволяет сделать вывод, что область устойчивости дискретной САУ на комплексной плоскости ограничена окружностью единичного радиуса.

231

Физический смысл сомножителя z–k при функции f (kT) – фиксация и запоминание в ячейках памяти ЭВМ ее текущего (k = 0)

ипредшествующих значений (k = 1, 2, …).

9.2.Дискретные передаточные функции

иразностные уравнения при описании СУИМ

Винженерной практике для описания динамических дискретных звеньев СУИМ (объектов управления, регуляторов, фильтров

ит.п.) применяют дискретные передаточные функции (ДПФ), за-

писываемые в виде [12, 16 ,21]

D z YX zz ,

где X(z), Y(z) – соответственно входная и выходная переменные дискретного звена. Заметим, что практически реализуемые дискретные передаточные функции должны иметь порядок полинома знаменателя больше порядка полинома числителя.

Рассмотрим способы получения ДПФ.

1. Прямой способ(прямоедискретноепреобразование Лапласа):

Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x(kT). Каждое значение x(kT) помножить на z–k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (9.3), которая, по сути, представляет собой дискретное преобразование Лапласа X(z). Аналогично получают прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала y(t). Прямое Z-преобразование является однозначным преобразованием.

2. С помощью таблицы Z-преобразований [6–10]. Алгоритм получения ДПФ аналогичен рассмотренному выше, но не требует

232

нахождения дискретных выборок входного x(kT) и выходного y(kT) сигналов.

3. Метод подстановки. На практике наиболее распространено два типа подстановок:

– метод прямоугольников (нуль-интерполяции):

– методтрапеций, или методТастина(линейная интерполяция):

где T – такт квантования.

Метод трапеций обеспечивает более точную в отношении среднеквадратического критерия аппроксимацию непрерывных сигналов, как при их нарастании, так и при спадании.

К ДПФ и соответствующим структурным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.

Для синтеза систем управления реального времени, исследования цифровых систем управления во временной области используют разностные уравнения. Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. В частности, разностные уравнения, описывающие процессы в идеальных интегрирующих звеньях, аппроксимируемых методами нуль-интерполяции и линейной интерполяции, имеют соответственно вид Y (kT) = Y ((k–1)T) + TX (kT);

Y (kT) = Y ((k – 1)T) + 0,5 T [X (kT) + X((k – 1)T)].

9.3. Синтез цифровых систем управления

Существует множество методов синтеза цифровых систем управления, а также инженерных методик и алгоритмов, основанных на описании управляемых динамических процессов как в час-

233

тотной, так и во временной области [12, 17, 21–29]. Не умаляя достоинства большинства из них, отметим, что для синтеза цифровых СУИМ применяют следующие методы:

–метод дискретизации по времени аналоговых регуляторов класса «вход-выход» (метод аналогий), или метод билинейного преобразования;

–метод переменного коэффициента усиления;

–методы аналитического конструирования дискретных регуляторов состояния.

9.3.1.Методы дискретизации аналоговых регуляторов

ибилинейного преобразования

Метод дискретизации основан на применении рассмотренных выше процедур синтеза линейных аналоговых СУИМ. В качестве критериев оптимальности принимают общепринятые при синтезе таких систем интегральные квадратичные или иные функционалы, а следовательно, динамические процессы в оптимизированных контурах регулирования соответствуют реакциям тех или иных оптимальных фильтров, например фильтров Баттерворта n-го порядка, апериодических фильтров и т.п. В одноконтурных и системах подчиненного регулирования координат СУИМ синтезированное аналоговое устройство управления содержит один или несколько последовательно включенных регуляторов (корректирующих устройств) класса «вход-выход».

Для преобразования аналоговых передаточных функций регуляторов в дискретные передаточные функции применяют замену непрерывных операторов p Лапласа их дискретным аналогом, используя метод прямоугольников (в классической теории управления непрерывными системами – метод Эйлера). Отсюда и второе название данного метода синтеза – метод аналогий.

В качестве примера рассмотрим дискретизацию непрерывного ПИД-закона регулирования. Процедура преобразования иллюстрируется рис. 9.4.

234

Входным воздействием регулятора является ошибка регулирования e(t) для непрерывного и e(kT) для дискретного управления, выходным сигналом – сигнал u(t) для непрерывного и u(kT) для дискретного управления.

Приведенноепреобразованиеосновано на заменеформулы (9.4).

Рис. 9.4. Иллюстрация метода дискретизации аналогового ПИД-регулятора

Метод билинейного преобразователя – по сути, тот же метод аналогий, но он сводится к применению формулы (9.5). Такую подстановку целесообразно применять к интегральной компоненте

управления (звену W P Kи /P ), поскольку именно она отвечает

за точность управления.

Параметры Kрег, Kи, Kд получают в результате синтеза аналогового ПИД-регулятора, Т – временной интервал между двумя соседними значениями управляющего воздействия (такт управления).

235

Применение этих методов синтеза предполагает, что дискретизацией аналоговых сигналов по уровню в силу достаточной длины разрядной сетки цифровых средств управления можно пренебречь, такт управления достаточно мал (как правило, на порядок меньше минимальной постоянной времени объекта управления). Также предполагается, что периоды Т прерывания импульсного элемента датчиков обратной связи и регуляторов одинаковы и неизменны, причем синхронизированы во времени. Как показывают исследования [16, 20, 22], в современных цифровых электромеханических СУИМ такт прерывания не должен превышать 0,005 с. Обеспечение этих условий позволяет получить динамические характеристики цифровой СУИМ практически такие же, что и в непрерывной системе.

9.3.2.Метод переменного коэффициента усиления

Воснове метода лежат теорема об n интервалах дискретного управления и применение дискретных уравнений переходных состояний [12, 14]. Дискретный регулятор на начальном этапе синтеза представляется в виде последовательной цепочки, состоящей из квантователя ошибки e(t) регулирования по времени с тактом T, фиксатора Ф нулевого порядка и безынерционного звена с переменным коэффициентом Kj усиления (рис. 9.5).

T

e (t) e (kT) u (kT)

Ф Kj

Рис. 9.5. Структура дискретного регулятора на начальном этапе синтеза

Входным воздействием регулятора является ошибка регулирования e(kT), выходным – сигнал управления u(kT). Ошибка регулирования e(kT) на входе звена с переменным коэффициентом усиления обновляется и фиксируется с помощью экстраполятора нулевого порядка с каждым тактом дискретизации Т.

236

Согласно теореме об n интервалах дискретного управления система будет оптимальной по быстродействию (в концепции импульсных САУ), если переходные процессы в ней заканчиваются через n тактов управления, причем без перерегулирования выходной координаты, где n – порядок линейного объекта управления. Критерий оптимальности системы (максимум быстродействия) в этом случае записывается в виде tрег = nT min. Цель синтеза – определение n значений коэффициента Kj, обеспечивающих достижение предельного быстродействия СУИМ.

Для дискретной СУИМ с рассматриваемым регулятором можно записать n дискретных уравнений переходных состояний:

V kT Φ K j , T B T V k 1 T , k 1, 2, ..., n,

где V[(k–1)T] – вектор состояния системы на предыдущем такте управления; V(kT +) – вектор состояния на текущем такте управления после замыкания ключевых элементов (фиксации новых значений измеренной координаты и ошибки регулирования); Ф(Kj,Т) – расширенная матрица перехода системы, зависящая от искомых коэффициентов Kj; B(T) – матрица переключения импульсных элементов.

В результате решения системы n неоднородных алгебраических уравнений, составленных из дискретных уравнений состояний, находят численные значения коэффициентов Kj. Для этого применяют различные методики, алгоритмы и численные проце-

дуры [12, 14, 17, 22].

На заключительном этапе синтеза оптимальный регулятор представляют в виде дискретной передаточной функции:

237

В отличие от рассмотренного ранее метода синтеза такт управления здесь выбирается исходя из ограничений ресурсов управления (чем меньше требуемое время регулирования, тем большими ресурсами управления должна обладать САУ). В частности, для цифровых электромеханических СУИМ в зависимости от регулируемой координаты значение Т находится в пределах 0,01–0,05 с, что позволяет применить для управления микропроцессорный контроллер с достаточно малым быстродействием.

К существенным недостаткам метода следует отнести довольно высокую чувствительность синтезированных СУИМ к вариациям параметров объекта управления к «чужим» аддитивным воздействиям. Например, система, оптимизированная по критерию быстродействия по задающим воздействиям, может оказаться далеко не оптимальной в смысле этого критерия при отработке возмущающих воздействий. Кроме того, регулирование по отклонению e(t) (ошибке регулирования) не гарантирует необходимой динамической точности регулирования при изменении вида задающего воздействия, отличного от принятого при процедуре синтеза. В итоге система оказывается малопригодной при про- граммно-временном и следящем управлении.

9.3.3.Метод аналитического конструирования цифровых регуляторов состояния

Многие системы управления относятся к классу систем, функционирующих в режимах малых отклонений координат: систем стабилизации той или иной технологической координаты (скорости вращения или перемещения рабочего органа, температуры, давления, натяжения и т.п.), следящих систем управления, систем воспроизведения движений. Поскольку основным технологическим требованием при синтезе таких систем является максимальное быстродействие и минимум динамической ошибки отработки рассогласований заданных и действительных значений координат состояния, в качестве дискретного критерия оптимальности часто принимают критерий вида J n min, где

238

п – число периодов дискретного управления, по истечении которых система приходит в установившееся состояние без перерегулирования выходной переменной [14, 29, 30].

Синтез апериодических динамических систем, а именно такими являются системы, гарантирующие отсутствие перерегулирования в замкнутых дискретных САУ, традиционно проводят на основе идеальной компенсации нулей и полюсов объекта управления полюсами и нулями дискретной передаточной функции регулятора, а также добавления новых полюсов и нулей в соответствующих областях Z-плоскости [12–14]. Неточность математического описания, временной и температурный дрейф параметров объекта управления, ограничения в реализации передаточной функции регулятора техническими средствами приводят к неустойчивости замкнутой системы. Более того, такая процедура синтеза СУИМ даже при идеальной компенсации полюсов и нулей предполагает «апериодичность» переходных процессов только по отношению к входным воздействиям определенного вида и места их приложения. По отношению к «чужим» входным воздействиям система может иметь неприемлемое качество. В этой связи синтез СУИМ осуществляют на основе контроля полного состояния системы и реализации апериодических регуляторов состояния.

Ниже рассмотрена аналитическая процедура синтеза апериодических регуляторов состояния, обеспечивающих апериодические переходные процессы в линейных системах произвольного порядка. Предлагаемая процедура синтеза теоретически обеспечивает в системе управления астатизм первого порядка по задающим воздействиям, а следовательно, повышенную точность отработки изменяющихся во времени задающих воздействий.

Пусть линейный стационарный объект управления описывается дискретно-непрерывным векторно-матричным уравнением

239

где X t , U kT , F t – векторы состояния, управления и возмущения соответственно размерностей n 1, m 1, d 1; А, В, С –

матрицы состояния, управления, возмущения размерностей n n, n m, n d соответственно; T – такт дискретного управления;

k – номер такта дискретного управления.

Задача синтеза формулируется следующим образом: необходимо для произвольных начальных значений Х(0), F(0) и постоянного на интервале nT вектора возмущений F(t) сформировать дискретную управляющую последовательность (U kT), k = 0, 1, ..., переводящую объект управления (9.6) в заданное конечное состояние Х* за n тактов управления, где n – порядок динамического объекта. Допущения при синтезе оптимального управления: время измерения координат состояния и выработки (вычисления) координаты управления ничтожно мало в сравнении с тактом T управления; длина разрядной сетки ЭВМ и устройств связи с объектом управления позволяет пренебречь квантованием непрерывных сигналов по уровню; значение периода управления T предполагается априори выбранным исходя из ограничений ресурсов управления. Приведенные допущения являются широко распространенными при синтезе дискретных систем управления объектами рассматриваемого класса [12, 29].

Представим искомую управляющую дискретную последовательность в виде линейной формы дискретных значений векторов состояния X(kT), задающих воздействий X*(kT), вектора возмуще-