Численные методы Часть 3
..pdfИспользование иерархических многочленов
Для построения решения задачи (3.1) - (3.2) на конечном элементе [**, *,]
вводятся локальные координаты £, с помощью которых строятся иерархические многочлены
Фо = ( 1 - 0 /2 , Ф, =(1 + 0 / 2 , |
Ф2 = (1+ $ )(1 -$ ), Ф з = а д - 0 ) , Ф4 = ^ 2( 1 - 0 ) , |
Первоначально решение строится в виде |
|
|
Тт= Т0% + Т1% + Т2Ь . |
Невязка уравнения теплопроводности (3.1), получаемая на этом решении, |
|
взвешивается по области |
>*>] поочередно с каждой из функций фо, cpi и ф2, |
Г^Ф2 Ф ь
Учитывая, что производные пробных функций равны
rf<p0M = -l/2, <*Р,М = 1/2, d(p2/d^ = -2^,
определяются значения интегралов, входящих в эту систему уравнений,
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
} ^ |
^ = |
о , |
j 9o^ = i , |
||
fjcp, j(Po |
|
_ I |
|
|
|
j-<*Pi dq2 |
= о |
Г |
^ |
= 1 |
|||
|
|
^ |
* |
2 ’ J ^ |
S 2 ’ J |
^ |
|
.V |
|
|
|||
r 4 |
i ^ |
i t =o, |
' [ * - * 4 |
- 0 |
, |
3_ dE |
dE |
Ъ |
L |
* |
. ! |
||
3 |
dP |
dP |
^ |
' |
3 dP dP |
^ |
’ |
J |
|
3 |
|||
i |
^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка полученных коэффициентов приводит к системе уравнений
-<1,-Ть\ + Тх± - Т г13 + УГ = Ъ,
-q j + T0± - T ± - T 20 + W = 0,
4
-Го0-Г,0-Г2— + w - = o.
О 1 2 3 3
~—Х/2 |
Х/2 |
0 |
То' |
'q ,- W |
|
Х/2 |
-Х /2 |
0 |
Тг |
q2-W ■ |
(3-16) |
0 |
0 |
оо LO |
Т2. |
-4Ж /3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Теперь рассмотрим вариант аппроксимации решения в виде |
|
||||
'/т = ^Ф 0 + ^Ф .+ :Г2Ф2+7’зФз- |
|
||||
Взвешенные по области |
[•*<,•*/] невязки уравнения теплопроводности (3.1) |
||||
приводят к системе уравнений
i л , |
1 i |
« |
Г<*Р| Лф,
rfcPl tf?Cp2
1
<*p, <*p3
Поскольку ^cp3/ ^ = (l-3 ^ 2)/2, можно определить значения интегралов, которые дополнительно входят во вновь сформированную систему уравнений»
<&, |
U&, <&> |
-i <%> |
^ |
\dbd< ^
Подстановка коэффициентов приводит к системе уравнений
~To^ + T i^ -T 20 -T 30 = qt -W ,
т4 ~ т' Ь Т2° ~ Тзo = q j- w >
-Т а0 -Т 10 -Т 2^ - Т 30 = - ^ ~ , -T00-Ty0-T20 -T 3Y = 0,
которая в матричном представлении имеет вид
' - у 2 |
Х/2 |
0 |
0 |
'То |
'qi- W |
Х/2 |
-Х/2 |
0 |
0 |
Т\ |
4 j-W |
0 |
0 |
- в у з |
0 |
Тг |
(3.17) |
-AW/Ъ |
|||||
0 |
0 |
0 |
- 2Л/5_ Тз. |
0 |
|
И, наконец, рассмотрим аппроксимацию решения задачи (3.1) в виде
Тт= ГоФ + +Т2(р2+Г3фв +Г4ф4.
Выполнение преобразований, аналогичных показанным выше, приводит в конечном итоге к системе линейных алгебраических уравнений
'-Х/2 |
Х/2 |
0 |
0 |
0 |
X |
' q ,-w ‘ |
Х/2 |
-Х/2 |
0 |
0 |
0 |
п |
qr w |
0 |
0 |
- в у з |
0 |
0 |
Тг |
-4 0 7 3 |
0 |
0 |
0 |
-2Х/5 |
0 |
Тз |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-22 А/105 |
Т4. |
-2W /15 |
Необходимо отметить, что при аппроксимации решения задачи (3.1) - (3.2) помощью кусочно-линейного (3.4) и кусочно-квадратичного (3.13)
приближений соответствующие системы уравнений (3.9) и (3.15) совершенно различны.
Системы уравнений (3.16), (3.17) и (3.18), полученные при аппроксимации решения той же задачи с помощью иерархической системы функций с 3, 4 и 5 слагаемыми соответственно, отличаются лишь дополнительными строками и столбцами (выделены жирным шрифтом). Иными словами, при использовании иерархической системы функций для повышении порядка аппроксимации решения достаточно лишь расширить систему линейных алгебраических /равнений дополнительными слагаемыми.
Уравнение нестационарной теплопроводности
Рассматривается одномерное уравнение нестационарной теплопроводности для тонкого однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью
дТ
со— = ± x * +w at дх дХ
с граничными |
|
Xгг(,,о) |
дх |
дх |
|
и начальными условиями |
|
чсГ |
X |
|
II |
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Здесь дополнительно введены обозначения: с - удельная теплоемкость, р - плотность материала. Как и ранее, с целью упрощения величины W, с, р и X считаются постоянными.
Весь отрезок длиной L разбивается на ряд равных отрезков длиной h каждый. Решение задачи на произвольном отрезке [хи xj] строится с помощью разделения переменных в виде
Оф*М .
м
Например, для кусочно-линейной аппроксимации это выражение
представляется в форме |
|
|
|
|
|
|
|
Tm(t >JC) = 7 i( t )cPi(x )+Tj(t)<i>J(x ). |
(3.22) |
||||
Невязка уравнения (3.19), получаемая на решении |
(3.22), взвешивается с |
|||||
весовыми функциями ф, и ф„ |
|
|
|
|
|
|
|
ф - |
з т ; |
* -xdJ ^ - w |
ф ,Л = 0, |
||
|
|
at |
дх |
дх |
|
(3.23) |
|
д1» |
|
|
|
||
|
дх |
дх |
Ly& = 0. |
|||
|
ф - at |
|||||
Выполняются преобразования первого из этих уравнений, |
||||||
/ ф ^ |
фЛ |
- { |
£ ^ |
фА - } W<p,dx=0, |
||
dt |
{дх |
дх |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j c p f v A - |
Хг д ( л ат |
|
|
|
Щ * - 0, |
|
|
|
|
|
|
||
*! |
Х/ |
|
|
X, |
|
Xf |
Учитывая, как и ранее, что |
|
|||
дТ/Я |
=Ч,> |
X |
дТ1У1 |
= -<!]> ф Д )= 1> Ф,(*,)= О, |
' дх |
|
|
дх |
|
последнее соотношение приводится к виду
qi+ ] cP~(f>,dx + ] x ^ - ^ - d x - Xj w(f>ldx = 0.
Подстановка разложения (3.22) приводит к выражению
J ФФ,Ф,<£+~]ср<рj ( |
p , d x |
^ + Tj] X~jr |
dx-]w%dx = 0 |
|
х , |
Х{ |
X , |
Xf |
x t |
Аналогичные преобразования второго уравнения системы (3.23) приводят к |
||||
соотношению |
|
|
|
|
сГГЛ |
+7; К^ <*Pi^ ^ |
Л + .7г; . Г| х ^ ^ |
Л _ | ^ = о |
|
^ + ^ ] Срф( ф ;Л + ^ |
| фф/ф^ |
|||
Xi |
Ъ |
X, |
Xj |
х, |
В сравнении с системой уравнений (3.6) и (3.7) последние выражения содержат дополнительные слагаемые, которые определяются с учетом вида функций Ф, = (xj -x)/h и ФJ = {х-х, )/h,
|
(фф(ф(Л = |
f(*/ “ * ? & |
= СР т , |
|
1 |
h *, |
3 |
X J |
XJ |
XJ |
|
fсрф,ф/& = fФФjfydx = 7Г f(xj-x\x- x,)dx = cp—,
i |
i |
h x, |
6 |
|
JФФftjdx = 77 f (* - |
Л = ф J • |
|
Теперь система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно узловых значений температуры 7X0 и Tfj) имеет вид
ф А ^ |
ф Лл ; х |
х |
_ ш |
|
||
3 dt |
6 |
dt |
h 1 h J |
2 |
q‘J |
|
срАЛ^ |
£pAf^__X |
X |
|
|
||
. 6 dt |
3 |
dt |
h 1 h J |
2 |
r |
|
Удобно полученную систему уравнений представить в матричной форме
02А)
at
Здесь использованы матричные обозначения:
[ С ] «
\Ш
'2 |
Г |
- 1 |
1 |
‘ |
II |
.1 |
II |
1 |
- |
II |
|
2. |
1. |
|
1 1 ^ 55
1
Для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.24) могут быть использованы схемы
♦Сопоставьте варианты разрешающих соотношений, полученных на основе метода Галеркина, с использованием кусочно-линейной и кусочно-квадратичной аппроксимаций. Укажите достоинства и недостатки того и другого способов аппроксимации.
ФС помощью метода Галеркина постройте разрешающие соотношения для одномерного уравнения нестационарной теплопроводности с использованием кусочно-линейной аппроксимации решения.
фС помощью метода Галеркина постройте разрешающие соотношения для одномерного уравнения нестационарной теплопроводности с использованием кусочно-квадратичной аппроксимации решения.
ФУкажите недостатки и достоинства приведенных в тексте схем аппроксимации производных по времени. Предложите иные разностные схемы аппроксимации производной по времени.
Уравнениеравновесия
Поскольку уравнение (4.1) векторное, решением его является векторная функция, а значит, для разложения его в ряд необходимо построить систему векторных пробных функций. Предположим, что <р,, / = 1,2,... - полная и
;амкнутая система скалярных функций. Используя эту систему, построим набор векторных пробных функций
Ф, = fo, 0,0}, Ф2 = {0. Ф„0}, Ф3 = {о, О,ф,}, Ф4 = {ф2, 0, о}, Ф5 = {0, Ф , 0},.. .(4.6)
Пусть 5 т - приближенное решение уравнения (4.1). Взвесим невязки,
получаемые при подстановке этого решения в уравнение (4.1), и граничное условие (4.4), в соответствии с идеей метода Галеркина, используя систему векторных функций (4.6),
J [v - a m+ p |
4 ^ |
= 0, |
(4.7) |
Q |
|
|
|
J(« crm- F |
) - ^ |
= 0. |
(4.8) |
Г, |
|
|
|
С помощью соотношений тензорного анализа [9]
(У стм)-Ф* = У (ат Ф*)-УФ*-аи, |У (5т Ф*)^П= |й-5и Ф*йГ
Q Г
и соотношения (4.8) первое слагаемое выражения (4.7) преобразуется к виду
J v g m- ^ Q = f V ( 5 m ® * y Q - jv ® t - 5 BrfQ =
0 0 о
= \п • Sm• Ф*<ЛГ - f УФ* • dmdQ = J F • Фк<1Г- 1УФ* • c mdQ
Г, о г, о
В результате выполненных преобразований получена ослабленная форма
уравнения (4.1), |
|
|
__ |
}УФ4 - а га^ = |
| ^ |
Ф*йГ + }р?; Ф1й(Д * = |
(4.9) |
Q |
Г, |
О |
|
поскольку искомая функция ст теперь вынесена из-под знака производной. Кроме этого, в выражение (4.9) включены силовые граничные условия (4.4). Перейдем от векторной формы записи к компонентной:
|уДфЛ(а’ )я^ ^ = 1 ^ ( Ф |
* Г ^ 4 Р ^ ( ф* ) '^ а к=1’т’ (4Л0) |
||
О |
г, |
|
О |
где компоненты метрического тензора [11] |
|
||
g’ |
1 |
\о, |
J s i - |
J *i . |
|||
В физических компонентах (обозначены чертой сверху) соотношение (4.10) принимает вид
К |
7 г (фЛ |
(o(,)ra^ d Q = |
^ Л ф Д л Г + / Р,?,(ф Д<Ю, к = \,т. (4.11) |
|
о |
L*i |
h j |
Г, |
Q |
В последнем выражении j = 1, 2, 3 - коэффициенты Ляме. В декартовой ортогональной системе координат Н\ - Нг = #з = 1. В этом случае выражение (4.11) преобразуется к виду (далее знак черты над символами опущен)
J f - M |
= j ^ ,( Ф * К + J Р?;(Ф ДяО , к = \,т. |
|
о axj |
v„ |
п |
Для вектора Ф, это соотношение записывается в форме
d£l +
дх |
дх |
++^(ф.и%)т +|;(Ф1)гк)л,
-| | ( ф,« о . 4 ы (0 „ |
d.Q= |
||
= 1 к ( ф 1х + ^ ( ф 1) , + ^ ( ф . ) > + 1 к , ( ф , 1 + р ^ ( ф , ) у + р ^ (ф 1)гк ^ ' |
|||
ГР |
Q |
|
|
Учитывая, |
что согласно (4.6) |
(ф ^ г з ф ^ |
(ф ^ ггО , ( Ф / ^ О , |
предыдущее выражение приводится к виду |
|
|
|
J |
|
dQ.= \Fxq>ldr + \p$t<Qx<Kl. |
|
Аналогичные преобразования с использованием Ф2,Ф 3 приводят к соотношениям
f ^ ( О . + ^ ( 0 . + ^ ( О , , ^ J ^ d T + Jp^cp.dQ.
ду