Методы идентификации систем

Результаты решения системы уравнений:

А = -0,0704; А, =0,0074; Д2 = -0,0639; А3 = -0,0067;

x2[h] = -0,104; а7 = 0,907; Ь2 = 0,095.

Таким же образом можно определить значения параметров на еледующих итерациях: а3,Ь3,х3,...,ап,Ь„,х„.

Результаты, полученные в ходе вычислений, представлены ниже: а, =0,905;

Ь\ =0,095.

Значения коэффициентов при м = 1:

х2[1] = -0,104593; а2[1] = 0,906976; Ь2[1] = 0,094837; epsl[l] = -0,002 £ -15; eps2[l] = 0,0002£-15.

Модель хЧол при м = 1 хмод[0] = -2 ,6 8 £ -5 ;

хмод[1] = 0,094812; W 4 = 0,180830; хмод[3] = 0,258846.

Значения коэффициентов при м = 2:

*2[2] = -0,1045937; а2[2] = 0,906976; Ьг [2] = 0,094837; epsl[2] = -3,33Е -1 5 ; eps2[2] = 6,93Е -1 7 .

Модель хмод при м = 2 *моД[0] = -2,68£ - 5; W 4 = 0,094812; хмод[2] = 0,180830; хмод[3] = 0,258846.

Как видно, уже при второй итерации (м = 2) коэффициенты а и Ъ одинаковы.

Вход u(t) представлен в форме ступенчатых дискретных воздействий и(кТ) при к= 1,2,..., где Т - интервал управления.

В некоторый момент времени t - к Т можно предсказать (прогнозиро­ вать) выход в момент времени кТ + т (т < Т) на основе выходных данных с момента / = кТ - Т до / = кТ, если предположить, что входное воздейст­ вие и с момента t = к Т - Т остается неизменным, т.е. Au(t) = 0. Это предпо­ ложение необходимо, так как любое новое изменение u(t) при t = кТ делает несостоятельными данные о выходе y(t) на интервале от кТ - Т до кТ для целей прогноза.

Предположим, что система является линейной или линеаризованной (т.е. приращения Ам(/) и y f(t) малы на (к+ 1) интервале с момента (кТ) до (кТ + 7)). Система должна отслеживать сигнал цели (траекторию) yjt).

1

1

1

1

1 u(t) 1 1 1

[- Аи(кТ) 1

! и(ЬТ\

1

1

Рис. 9.2. График процессов управления и прогнозирования

Для оценивания выхода у ,(кТ + т) (рис. 9.2) определим значение yifJJcT + т ). которое прогнозируется в момент t - к Т в соответствии с дан­ ными измерений на последнем интервале управления (от кТ - T до кТ), ко­ гда предполагается

где А и(кТ) = и(кТ) - и[кТ- Т).

Если затем найдется воздействие Аи(кТ), не равное нулю в момент t = кТ, то по измеренному значению у,(t) V k T < t< k T + T можно опреде­ лить реакцию системы q,{т) в /-м вьпсоде на ступенчатое воздействие Аи(кТ) следующим образом:

или, в векторной форме,

Y{kT + x ) -Y pQ(kT +т)

(9.2)

Аи(кТ)

где q(x) - вектор идентификации, имеющий компоненты qx{т ),. . qn{т).

Из уравнений следует, что реакция в z-м выходе системы на единич­ ный импульс шириной Т есть ql{z),\f 0 < т < Т, причем эта реакция опреде­ ляется на каждом интервале управления.

Реакция q,{x) представляет собой переходную функцию при V 0 < т < Г, так как на интервалах до момента t = кТ + Т импульс Аи{кТ) может рассматриваться как ступенчатое воздействие.

Таким образом, уравнения (9.2) позволяют осуществить идентифи­ кацию только импульсной характеристики. Однако, поскольку на каждом интервале управления входное воздействие представлено в форме импуль­ са Aw(&7), реакция на импульсное входное воздействие позволяет получить достаточный объем информации для целей управления. Поэтому инфор­ мация о реакции на ступенчатое воздействие может быть непосредственно использована для вычисления поправки к управляющему воздействию.

Предположение, что реакция q{x) вычисляется только при т < Г, вполне допустимо, так как по истечении каждого интервала длительно­ стью Т вычисляется новый импульс управления Аи(кТ). Влияние предыду­ щих импульсов учитывается в прогнозе уро.

Изменение управляющего воздействия Аи(кТ) на каждом интервале вычисляется таким образом, чтобы максимально приблизить величину у(кТ+ т), определяемую при Аи(кТ) = 0, к заданной величине (сигналу це­ ли)yJJcT+ х) так, чтобы показатель идентификации Jkдостигал минимума.

где ер(кТ + т) = Y (кТ + т) - Yd(kT + т) - ошибка управления между выход­

ца; р - вес затрат на управление.

В критерии идентификации участвуют ошибка управления и затраты на управление, поэтому требуется минимум этой функции.

Оценка выходной величины в момент времени кТ + т может быть найдена следующим образом (9.2):

Y(kT + т) = Yp0(kT + т) + Аи(кТ) • q(т).

Ошибка прогнозирования

еро № + т) = Yp0(kT + т) - Yd{кТ + т).

Тогда ошибка управления запишется в виде

ер(кТ + т) = Ур0(£Г + т) + Au(kT)q(z) - У,(*Г + т) = ер0(кТ + т) + Au(kT)q(z\

Критерий идентификации

Л +i = ДОро(*г + х) + Ди(кТЖх))тЩер0(кТ+ т) + Дк(£ГЖт)) +

о

+ р(и(кТ - Т ) + Au(kT))2)d-:.

Минимум критерия идентификации обеспечивается подбором вели­ чины Аи(кТ) при выполнении условия

dJ,* ± i_ —= 0,

Аи(кГ) = 0, а вектор q(z) идентифицируется в соответствии с уравнением

Таким образом, для правильного управления требуется, чтобы про­ гноз уро был адекватен, а вектор q(z) изменялся незначительно от одного интервала управления к следующему, т.е. чтобы реакция системы на сту­ пенчатое воздействие, а следовательно, и характеристики идентифицируе­ мой системы изменялись медленно на интервале управления Т.

Процедуры прогноза, которые используются для оценки уро(кТ + т) могут быть основаны на аппроксимации y(t) полиномами. Это могут быть как простые интерполяционные полиномы (Лагранжа, Ньютона), так и бо­ лее сложные.

Пример. Идентифицировать с использованием прогноза скалярную систему с одним входом и(кТ) и одним выходом у(кТ), которая должна

отслеживать траекторию цели УР(0 = 2 + 0,5ехр(/2), где / = кТ, Г = 0,1 - интервал управления. В момент времени / = 0,1 система находит­ ся в состоянии y(t) = 2,449. Поведение системы измеряется на интервале от г = 0,1 до / = 1,2. Выход системы изменяется в соответствии с уравнением

=Ь и(кТ -Т ) = 0,2, р = 0,1.

1.Определим выход системы на начальном интервале:

у{0) = 6,9 - 2ехр(0,9 - 0) = 1,98; у(0,\) = 6.9 - 2ехр(0,9 - ОД) = 2,45.

2. Построим полином (функцию прогнозирования) по рассчитанным данным:

Разделим интервал управления на два отрезка, для повышения точности определения параметров:

значение функции в середине интервала управления;

ние функции в конце интервала управления.

3.Определим значение импульсной переходной характеристики.

ходная характеристика в конце интервала управления.

4.Определим ошибку прогнозирования.

ерШ = УрШ ~Ум/ 2 = 2,685-(2 + 0,5ехр(0,152)) = 0,175 - ошибка прогнозирования в середине интервала управления;

следующем интервале управления.

Аналогично производятся расчеты на следующих интервалах управ­ ления.

9.2.Системы с несколькими входами и выходами

Вслучае идентификации линейной системы с несколькими входами

ивыходами процедура идентификации не имеет значительных качествен­ ных отличий.

Пусть для определенности задана двухмерная система (рис. 9.3).

Матрица Q определяет внутренние реакции объекта на входные воз­ действия.

Для идентификации в реальном времени необходимо отслеживать работу системы при всех Аи{кТ) одновременно.

Реализация одновременной идентификации основана на использова­

Япт ) ?!

Уравнение (9.8) можно рассматривать как уравнение линейной рег­ рессии, тогда элементы матрицы Q в уравнении (9.8) вычисляются по сле­ дующему выражению:

q,(х) = (ДUT(кТ) ■ДЩкТ)У' ДUT(кТ) • [у,(кТ + х) - y ip0(kT + х)], (9.9)

Найдем начальное приближение для входного воздействия A t/: