Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

Вариант 13

1.а) x2 + y2 − 2x − 3 = 0 , б) 16x2 − 9 y2 − 64x − 18y − 199 = 0

2.7x2 + 16xy − 23y2 − 14x − 16 y − 218 = 0

4.(x2 + y2 )2 = x( x + y)2

5.Составить геометрическое место точек, равноудаленных от

точки A(−1,1) и прямой y − 2 = 0 .

Вариант 14

1.а) 2x2 + 8x − y + 1 = 0 , б) x2 − 8x − 4 y2 = 0

2.9x2 + 24xy + 16 y2 − 40x + 30 y = 0

3.ρ = sin φ+ cos φ

4.x4 + y4 = 4xy

5.Найти уравнение траектории точки, которая при своем

движении все время остается вдвое ближе к точке A(1,0) , чем к точке B(-2,0) .

Вариант 15

1.а) x − 12 y2 + 2 y + 4 = 0 , б) x2 + 4 y2 − 4x − 8y + 8 = 0

2.3x2 + 4xy − 12x + 16 = 0

3.ρ = 3cos2 φ

4.(x2 + y2 )3 = 16(2x2 + y2 )

5.Найти уравнение геометрического места точек, разность расстояний каждой из которых от точки F1 (–2, – 2) и точки F2 (2, 2)

равна 4 .

171

Вариант 16

1.а) 2x2 + 8x − y + 5 = 0 , б) x2 − 8x − 4 y2 − 8y = 0

2.9x2 + 6xy + y2 + 2x − 2 y + 1 = 0

4.(x2 + y2 )2 = a2 (3x2 + 2 y2 )

5.Найти уравнение траектории точки M , которая в каж-

дый момент времени находится вдвое ближе к точке A(2,0) , чем к точке B(8,0) .

Вариант 17

1.а) y + 5x2 − 10x − 3 = 0 , б) 16x2 + 25y2 − 32x + 50 y − 359 = 0

2.4xy + 3y2 + 16x + 12 y − 36 = 0

3.ρ = cos3φ

4. (x2 + y2 ) = 4( x2 + y2 + x)

5. Составить уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до точек F1 (−5,0) и F2 (5,0) равна 6.

Вариант 18

1.а) y + x2 − 5x − 7 = 0 , б) 4x2 + 9 y2 − 8x − 36 y + 4 = 0

2.x2 − 4xy + 4 y2 + 2x − y − 1 = 0

3.ρ = sin 2φ

4.(x2 + y2 )2 = a2 (x2 + 4 y2 )

5.Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек F1 (−2,0) и F2 (2,0)

есть величина постоянная a2 .

172

Вариант 19

1.а) y = 2x2 + 4x + 3 , б) 9x2 − 16 y2 − 54x − 64 y − 127 = 0

2.7x2 + 24xy + 38x + 24 y + 175 = 0

3.ρ = sin 3φ

4.(x2 + y2 )2 = 18xy

5.Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси OX и от точки F (0,4) .

Вариант 20

1. а) y = 4x2 − 8x − 1, б) y2 − 6 y − x2 + 2x = 0

2.x2 + 4xy + 4 y2 + 2x − 4 y + 5 = 0

3.ρ = 1+ cos 2φ

4.(x2 + y2 )3 = a2 x2 y2

5.Найти уравнение линии, сумма расстояний каждой точки которой до точек A(−1,3) и B(4,1) равна 4.

Вариант 21

1.а) x = − y2 + 2 y + 3 , б) 4x2 + 9 y2 − 40x + 36 y + 100 = 0

2.11x2 − 20xy − 4 y2 − 20x − 8y + 1 = 0

4.(x2 + y2 )2 = 2 y3

5.Составить уравнение линии, каждая точка которой одина-

ково удалена от начала координат и от точки A(−5,3) .

Вариант 22

1.а) x = 3y2 − 6 y + 4 , б) 9x2 + 4 y2 + 18x − 18y + 49 = 0

2.x2 + 4xy + 4 y2 − 20x + 10 y − 50 = 0

3.ρ = 4cos3 φ

173

4.(x4 − y4 ) = x6

5.Составить геометрическое место точек, равноудаленных от

точки A(−1,4) и прямой 2x − 3 = 0 .

Вариант 23

1.а) y + x2 − 4x + 1 = 0 , б) 5x2 + 9 y2 − 30x + 18y + 9 = 0

2.4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42 y + 51 = 0

3.ρ = 1+ cos 4φ

4.a2 ( y4 − x4 ) = y6

5.Найти уравнение траектории точки M , которая в каждый момент движения находится вдвое дальше от точки A(−4,5) , чем

от оси абсцисс.

Вариант 24

1.а) 3x2 − 6x − y + 4 = 0 , б) x2 − y2 + 6x + 4 y − 4 = 0

2.x2 − 2xy + y2 + 6x − 14 y + 29 = 0

3.ρ = cos 2φ

4.(x2 + y2 )3 = 81y2

5.Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A(1,0) и B(0,4) равна

квадрату расстояний между точками A и B .

Вариант 25

1.а) x2 + y2 − 4x − 5 = 0 , б) 16x2 − 9 y2 + 64x + 18y − 199 = 0

2.4xy + 3y2 + 2x + 4 y − 5 = 0

4.a2 (x2 + 3y2 ) = x4

5.Найти уравнение траектории точки M , которая в каждый момент движения находится вдвое дальше от точки A(−8,0) , чем

от прямой 2x − 5 = 0 .

174

Вариант 26

1.а) 2x2 + 4x − y + 3 = 0 , б) 36x2 + 36 y2 − 36x − 24 y − 23 = 0

2.4x2 + 4xy + y2 + 2x − 2 y + 3 = 0

3.ρ = cos φ+ 2sin φ

4.16(3x2 − y2 ) = x4

5.Найти уравнение траектории точки M , которая в каждый момент времени находится вдвое ближе к точке A(−1,0) , чем к

точке B(10,0) .

Вариант 27

1.а) y = − x2 − 2x + 3 , б) x2 + y2 + 2x − 6 y + 4 = 0

2.8x2 + 4xy + 5y2 − 2x − 4 y − 1 = 0

3.ρ = sin φ+ cos 2φ

4.(x2 + y2 )2 = 4x2 + 5y2

5.Найти уравнение траектории точки M , которая в каждый момент движения находится вдвое дальше от точки A(3,0) , чем от

оси абсцисс.

Вариант 28

1.а) y = 2x2 + 4x + 3 , б) x2 + 4 y2 + 8y + 5 = 0

2.16x2 + 16xy + 4 y2 − 40x + 56 y = 0

3.ρ = 2sin2 2φ

4.(x2 + y2 )2 = a2 (5x2 + 4 y2 )

5.Составить уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1 (−2,0) и

F2 (5,0) равна 10.

175

Вариант 29

1.а) 12 x2 − x − y − 1 = 0 , б) 2x2 − 8x + y2 − 6 y + 1 = 0

2.5x2 + 4xy + 2 y2 + 20x + 20 y − 18 = 0

3.ρ = 3cos2 2φ

4.(x2 + y2 − 5y) = 15(x2 + y2 )

5.Определить уравнение траектории точки M (x, y) , которая движется так, что ее расстояние от точки A(3,0) остается вдвое меньше расстояния от точки B(6,0) .

Вариант 30

1.а) x = −2 y2 + 12 y + 7 , б) 16x2 − 9 y2 − 64x − 54 y − 161 = 0

2.4x2 − 12xy + 9 y2 − 36x + 100 = 0

3.ρ = 2 − sin 2φ

4. (x2 + y2 + 2 y)2 = 4(x2 − y2 )

5. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек F1 (−7,0) и F2 (7,0) есть величина постоянная 16 .

Задание 2

Вариант 1

1. Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами А (4; –5), B (7; 6) и С (–7; –2). Составить уравнения его сторон.

2. Через точку пересечения прямых x − 2 y − 4 = 0 и 2x − 3y − 7 = 0 провести прямую, составляющую с осью ОХ угол 45°.

3. К какой из двух прямых: 3x + 5y − 8 = 0 и5x - 3y + 15 = 0

точка М (–1; 2) находится ближе?

4. Показать, что отрезки прямых 2x − y + 4 = 0, x − 3y + 5 = 0, 4x – 2 y + 1 = 0 и 2x + y – 5 = 0 образуют трапецию. Найти внутренние углы трапеции.

176

5. Дан тетраэдр с вершинами А (1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (–1; 0; 1)

и D (–4; 6; –3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ. Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD.

6. Плоскость проходит через точку M (1; –3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОX перпендикулярно к плоскости 6x − 5y + 7z − 10 = 0 .

2x+ y + z − 2 = 0, 8. Написатьканоническиеуравненияпрямой: 2x− y −3z + 6 = 0.

2x − 2 y − z + 1 = 0, 9. Найти точку пересечения прямой

3x − 2 y − 2z = 0

с плоскостью x + 2 y + 3z − 29 = 0 и угол между ними.

10. Дан треугольник с вершинами А (7; 2; –6), В (11; –3; 5), С (–3; 4; –2). Составить уравнение медианы, проведенной из верши-

плоскости 4x + 3y − z + 3 = 0 .

Вариант 2

1.Написать уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А (–4; 3), М (6; –2).

2.Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату пря-

10x + 3y − 35 = 0 ( AC) и x + 2 y + 5 = 0 (BC) . Определить угол между медианами, проведенными из вершин А и В.

177

5. Плоскость α проходит через точки А (–1; 3; 4), B (–1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость β задана уравнением 3x + y + z − 3 = 0 .

Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.

6.Через точку M (–5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая – ОY. Вычислить угол между этими плоскостями.

7.Через точку М (2; 3; –1) провести плоскость, параллель-

между ними.

Вариант 3

1.В параллелограмме АВСD даны вершины А (–1; 3), В (4; 6)

иС (1; –5). Составить уравнения его сторон.

2.Какая зависимость существует между а и b, если угол

наклона прямой x + y = 1 к оси OX равен 45°?

ab

3.Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 15x − 8y − 51 = 0 , и угол, образованный этим

перпендикуляром с осью ОУ.

4. Дан треугольник с вершинами: А (–3; –5), В (9; 1) и С (–3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между

178

медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершиныСнасторону АВ.

5.Плоскость α проходит через точки А (–1; 10; –3), (1; 1; –5)

иС (5; 4; –2), плоскость β проходит через точку М (2; –3; –9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними.

6.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку

М (–3; 1; 2) параллельно векторам a = {2; 5; − 1} и b {4; 1; 2} .

Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью

18x + 8y + 11z − 10 = 0 .

7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и ОУ угол α = 150° и β = 120°. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние Р от начала координат до неё равно 5 единицам. Указать особенность в расположении плоскости.

2x + 3y + z − 6 = 0,

М (–4; –7; 1) и параллельно прямой 4x − 5y − z + 2 = 0 .

Вариант 4

1.В треугольнике АBС известны вершины А (–3; –4), В (1; –2)

иС (7; –2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС,

имедианы, проведенной из вершины В.

179

нение высоты, опущенной из вершины B на сторону АС и её длину.

4.Через начало координат провести прямые, образующие

спрямой 5x − 6 y + 2 = 0 углы, тангенсы которых равны ± 76 .

дикулярны? Плоскостьα проходитчерезточкиК(–1; 32 ; 0), М(2; –1; 1),

N (8; 1; –1). Плоскость β задана уравнением 3x + ly − 2z + 1 = 0 . При

l = 3 найтиострыйуголмеждуплоскостямиα иβ.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (–2; 7; 3) параллельно плоскости x − 4 y + 5z − 1 = 0 . Полученное

уравнение плоскости привести к нормальному виду.

пересечения прямой с плоскостью.

180