Методы вычислительной математики
..pdft |
t |
i + 1 |
i+1 |
i |
i |
i–1 |
i–1 |
x |
x |
j – 1 j j + 1 |
j – 1 j j + 1 |
а |
б |
Рис. 11.5. Четырехточечные шаблоны разностной схемы
бегущего счета: а – четные слои, б – нечетные слои
В начале расчетов значения |
|
, |
|
, u0 |
известны из начального и гранично- |
u1 |
u2 |
го условий (11.14), и из полученного соотношения можно определить u1. Затем,
по найденным значениям u1 и u2 , u3, вычисляется u2, и так далее до конечного
значения un–1.
Аналогично производится процедура с использованием соотношения (11.182) для нечетных временных слоев, для чего расчеты выполняются
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и найденных при расчете |
|||
справа налево. При известном граничном условии un |
||||||||||||
четного слоя un−1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, и так далее: |
un−2 определяется значение un−1 , затем un−2 |
||||||||||||
|
2 |
|
2 |
+ u j (1 τ − η |
h |
2 |
)+ u j−1 |
η |
h |
2 |
~ |
j = n −1,1. |
u j (1 τ + η h |
|
)= u j+1 η h |
|
|
|
+ f j , |
Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения (11.13) разностными аналогами (11.18) зависит от соотношений между шагами интегрирования τ и h. Благодаря взаимному сокращению погрешностей прямого и обратного ходов на последовательных слоях происходит частичная компенсация погрешностей. Общая погрешность аппроксимации для двух последовательных
проходов определяется как O(τ2 ,h2 ,τ2 h2 ). Схема обладает условной устойчивостью при τ ≤ h2 η.
260