Теория определяющих соотношений. Часть 1. Общая теория

31

пространства не связано с изотропией материала — анизотропные тела также подчиняются принципу независимости от выбора системы отсчета.

«Объективность» определяющих соотношений не предполагает,

вообще говоря, что все входящие в него параметры «объективны», т. е.

индифферентны или инвариантны по отношению к наложенному жесткому движению. Требования аксиомы N3 менее ограничительны. В то же время принцип независимости от выбора системы отсчета можно достаточно просто выполнить формулированием определяющих соотношений в терминах K0 с использованием инвариантных по отношению к наложенному жесткому движению тензорзначных параметров. Однако в этом случае возникают сложности физического анализа ОС.

Заметим, что в некоторых работах отдельно формулируется требование инвариантности используемых уравнений по отношению к выбору системы координат. Данное требование позволяет освободиться от определенного произвола, субъективизма исследователя, предпочитающего ту или иную конкретную систему координат. Это ограничение полностью выполняется при записи уравнений в тензорной форме. Не следует отождествлять требование инвариантности к выбору системы координат с аксиомой независимости от выбора системы отсчета. Последняя может быть нарушена даже в случае записи всех уравнений в тензорной форме, особенно при использовании в уравнениях производных по времени от тензорзначных функций.

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте принцип детерминизма и поясните его физический смысл.

2.Какие системы отсчета используются в МСС? В чем принципиальное отличие соотношений МСС и классической теоретической механики?

3.Сформулируйте принцип локального действия. В чем состоит его значимость для описания поведения реальных физических объектов?

4.Приведите определение физико-механического процесса. Что понимается под эквивалентными физико-механическими процессами?

5.Сформулируйте принцип независимости от выбора системы отсчета, дайте его физическое обоснование.

32

3.Простые материалы

Ваксиоме N2 принято предположение о влиянии на напряженное состояние в точке r(Х, t) предыстории физико-механического процесса в

малой -окрестности рассматриваемой частицы Х (или R0x , верхний индекс “Х” обозначает фиксированность частицы). Учитывая, что отображение

вование градиентов r произвольного порядка, определенных в терминах

K0).

Тогда положение частиц из N (R0x ) в любой момент времени t в конфигурации Kt можно определить следующим образом:

r(R0 ,t) = r(R0x ,t) + r = r(R0x ,t) + R0 ( r(R0x ,t))

ленности отсчетной конфигурации К0(В). Отметим, что аргумент R0x во втором и дальнейших членах правой части (11) относится к значениям градиентов, а не радиус-вектора r. Следовательно, предыстория движения (r(R0,t))t частиц окрестности N (R0x ) полностью определяется предысторией движения частицы R0x и предысторией первого, второго и т. д. градиентов r(R0,t), вычисленных для частицы R0x .

Сучетом вышесказанного выражение определяющего соотношения

(9)может быть трансформировано к виду

Высший порядок входящего в определяющее отображение градиента места определяет так называемый порядок материала. Материалы первого порядка называются простыми. По существу, в МСС рассматриваются почти исключительно простые материалы, однако в последние 10–15 лет наблюдается непрерывный рост интереса к материалам 2-го и

33

более высоких порядков. Для материала 1-го порядка выражение (12) приобретает вид

Полагая поля и χα достаточно гладкими, с учетом аксиомы N2 в

изменения соответствующих параметров и, возможно, их первых градиентов для частицы R0x .

Заметим, что история изменения радиус-вектора r(R0x , t) частицы R0x

является величиной неиндифферентной; этот очевидный факт зависимости траектории произвольной частицы от выбора системы отсчета известен из кинематики сплошной среды. С использованием аксиомы N3 можно пока-

зать, что не только предыстория ( r(R0x , t) r(R0x , t) не

должны входить в качестве независимого аргумента в определяющее отображение.

Таким образом, общий вид ОС для простого материала следующий:

Заметим, что последнее соотношение не предполагает «однородности» материала в общем случае, т.е. ОС могут отличаться для различных материальных частиц исследуемой области.

В дальнейшем изложении полагается, что рассматриваемые материалы являются простыми. Кроме того, для упрощения записи далее будут опущены обозначения аргументов (R0x ,t) в левой и правой частях ОС.

Отметим, что при записи общего вида ОС неявным образом подра-

зумевается выбор некоторой отсчетной конфигурации K , по отношению к которой определяются деформирование и реакция материала. При изменении отсчетной конфигурации вид определяющего отображения в общем случае изменяется. В связи с этим используемая отсчетная конфигурация должна фигурировать в обозначении определяющего отображения (на-

пример, F ( ) ). Однако для упрощения записи здесь и далее будем вводить

K

нижний индекс, обозначающий используемую отсчетную конфигурацию, при обозначении определяющего отображения лишь в случае необходимости.

Не означает ли сказанное выше, что переход от одной отсчетной конфигурации к другой требует вновь осуществления всей процедуры установления ОС? Из физических соображений можно сразу ответить отрицательно на этот вопрос. Действительно, ОС устанавливает связи между напряжениями и параметрами воздействия, в число которых входит де-

34

формация, которая переводит отсчетную конфигурацию в любую другую. Понятно, что если известен отклик (реакция) материала в актуальной конфигурации относительно отсчетной, то известен и отклик материала по отношению к некоторой промежуточной конфигурации. Данный факт можно показать и с формальных позиций.

Вторую часть (14) можно рассматривать как реакцию материала по отно-

Следует иметь в виду, что в (14) рассматривается одна и та же предыстория движения rt, однако записанная по отношению к различным отсчетным конфигурациям. Предыстории рассматриваются на всем интерва-

ле (- ,t]; при этом если конфигурации K 1 соответствует момент t01, а кон-

различные в общем случае определяющие отображения, однако описывающие реакцию одного и того же материала и дающие одинаковые значения напряжений t.

Как отмечает А.И. Лурье [5, c. 90]: «Подобно этому отличаются друг от друга уравнения одной и той же кривой, записанные в разных системах

Из вышесказанного можно сделать следующий вывод: реакция простого материала, установленная для одной отсчетной конфигурации (на-

пример, K 1 ), однозначно определяет реакцию относительно любой другой

35

конфигурации (например, K 2 ). Иначе говоря, факт существования опре-

деляющего отображения не зависит от выбора отсчетной конфигурации.

Общей форме ОС (13) можно поставить в соответствие определяющие соотношения, записанные в терминах отсчетной K0 или актуальной K t конфигураций,

o

где χ α , χˆα определяют однотипные воздействия, характеризуемые тензор-

ложить соответствующие требования независимости от системы отсчета (требование инвариантности по отношению к наложенному жесткому движению в K0 и требование индифферентности в Kt). С учетом известных

ши , имеющий ясно выраженный физический смысл и удовлетворяющий требованию индифферентности. В этом случае (132) можно записать в виде

Заметим, что определение физических уравнений в случае сложных физико-механических воздействий (электромагнитных полей, радиации и т. д.) должно быть расширено включением в число параметров, описывающих реакцию материала, наряду с других характеристик.

Несколько предваряя дальнейшее изложение, отметим, что история изменения конфигурации может быть описана (в рамках простого материала) историей изменения той или иной меры деформации, например, тензора деформации Коши–Грина C, тогда соотношение (16) можно представить в виде

Последнее соотношение можно трактовать как математическую запись по-

стулата макроскопической определимости А.А. Ильюшина [3]: для данного вещества макроскопическое состояние в точке R0x в момент t од-

36

нозначно определяется историей физико-механических воздействий Ct ,θt , χˆαt на данную точку. Формулировка принципа в виде (16 ) удовлетворяет аксиомам N1 и N2. Аксиома N3 удовлетворяется за счет специ-

ального определения оператора Fˆ , связанного с вмороженной лагранжевой системой координат. Таким образом, постулат макроскопической определимости можно считать для простого материала аналогом трех аксиом Нолла.

37

38

4.Определяющие соотношения

свнутренними переменными

Следует отметить, что аксиоматика У. Нолла и А.А. Ильюшина в значительной мере базируется на введенной операторной (или функциональной) форме ОС (вида (9) или (16 )), в которой фигурируют предыстории воздействий. Понятны сложности построения конкретных соотношений в такой форме, учитывая, что вид оператора априори не известен, причем в настоящее время неизвестны даже сколь-нибудь общие подходы для его установления, слабо развита теория нелинейных операторов. Конечно, операторная форма удобна для анализа основных свойств ОС, поэтому она чаще встречаются в общей ТОС, однако имеет ограниченное применение в конкретных теориях сплошных сред (исключение составляют некоторые реологические теории, эндохронная теория пластичности).

Существует ли альтернатива такой форме ОС, в явном виде вводящая в рассмотрение предыстории воздействий, требующая установления сложных нелинейных отображений (операторов)? Нельзя ли формулировать ОС в виде функций (простых операторов), теория которых (включая тензорзначные функции тензорных аргументов) хорошо развита? И при этом сохранить в ОС реально наблюдающееся свойство памяти?

С рациональной точки зрения ответы на поставленные вопросы с большим основанием можно считать положительными. Можно сослаться на аналогии с некоторым живым существом (высокоорганизованным, т.е. представляющим собой весьма сложную систему), когда для определения дальнейшего его существования (отклика на внешние воздействия) бывает достаточно определить состояние его органов и систем «здесь и сейчас». Заметим, что в ряде существующих теорий (например, в теории пластического течения) в неявной форме предполагается существование конечного числа параметров, полностью характеризующих состояние исследуемой частицы и ее реакцию на внешние воздействия в любой фиксированный момент времени. Вообще говоря, последнее не является очевидным фактом и должно быть принято в качестве исходного постулата в любой рациональной теории, претендующей на использование для построения конкретных ОС.

На основе анализа известных подходов и физического описания процессов, изучаемых в современной механике сплошных сред, можно выдвинуть следующую гипотезу:

Реакция материала в представительном объеме рассматриваемого масштабного уровня в каждый момент времени полностью определяется значениями тензорзначных термомеханических характеристик материала, конечного набора внутренних переменных, пара-

39

метров физико-механических воздействий и их производных по времени требуемого порядка в исследуемый момент времени.

В случае принятия такой гипотезы отклик материала будет определяться тензорзначными функциями тензорзначных параметров воздействия и внутренних переменных, или достаточно простыми (например, дифференциальными) операторами. В то же время история воздействий не отбрасывается, ее «носителями» являются дополнительно вводимые параметры – внутренние переменные, о которых подробно говорится ниже. Рассмотрим структуру моделей материала, построенных на данной гипотезе.

Будем через Σ обозначать меру (в общем случае произвольную) напряженного состояния, Σr – ее объективную скорость изменения, Ργ

γ 1, – параметры воздействия термомеханической (например, темпера-

тура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермомеханической (например, радиация, химические воздействия) природы.

Как известно, ОС любого типа являются моделями, целевыми отражениями поведения реальных материалов в определенных диапазонах изменения параметров воздействия. В силу этого ОС должны содержать в

своей структуре параметры, ответственные за взаимодействие микро-

частиц (молекул, атомов и т.д.) реального материала. Среди последних можно выделить относительно устойчивые, незначительно изменяющиеся в исследуемом диапазоне воздействий параметры, которые обычно называют материальными константами (например, модуль упругости, коэффициент Пуассона и т.д.). Отметим, что в случае изменения этих параметров при изменении характеристик воздействия (например, температуры) поведение указанных параметров в большинстве случаев описывается функциями (в данном примере – температуры), содержащими некоторое количество (как правило, незначительное) констант, т.е. в этом случае происходит просто определенное увеличение числа материальных констант. В большинстве случаев указанные параметры отражают на макроуровне взаимодействия на атомно-молекулярном (и меньших) масштабных уровнях и являются малочувствительными к структуре материала на мезо- и микроуровнях (размеры и морфология зерен, субзерен, фрагментов, дислокационная структура и т.д.). Можно возразить, конечно, что эти параметры чувствительны к структурным перестройкам на больших масштабах (порядка нескольких размеров зерен в поликристалле), таким, например, как образование текстуры в результате согласованного поведения совокупности мезообъектов. Однако следует иметь в виду, что подобные перестройки структуры изменяют симметрийные свойства тел (например, первоначально изотропные поликристаллические материалы при возникновении текстуры превращаются в анизотропные того или иного типа), и с

40

точки зрения ОС это уже другие тела, для которых надо заново определять новые наборы материальных констант.

Вто же время процессы необратимого (неупругого) деформиро-

вания, как показывают многочисленные экспериментальные исследова-

ния, весьма чувствительны к изменению мезо- и микроструктуры ма-

териала, которые существенным образом трансформируются в процессе деформирования. Указанные процессы тесно взаимосвязаны: с одной стороны, макронагружения (макродеформации) являются источником, движущей силой изменения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо- и микроструктуры является фактором, определяющим поведение материала на макроуровне. В связи с этим учет в формулируемых ОС эволюции мезо- и микроструктуры представляется совершенно обязательным. Как это сделать? По нашему мнению, имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры: неявным или явным способом. В первом случае в структуру ОС вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации), без использования соответствующих параметров, описывающих собственно эволюцию мезо- и микроструктуры. Как правило, в этом случае трудно выявить и обосновать физический смысл, механизмы деформирования, описываемые различными операторами модели материала.

Впоследние десятилетия все большее признание находит второй подход – явное введение в структуру определяющих соотношений параметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров – внутренние переменные. В литературе, посвященной различным теориям процессов необратимого деформирования, внутренними

переменными называют параметры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо- и микроуровнях.

Этимология термина «внутренние переменные», вероятно, связана и

с(неравновесной) термодинамикой, где внутренними переменными называют параметры состояния термодинамической системы, управлять напрямую изменением которых за счет внешних воздействий невозможно. Иначе говоря, эти переменные описывают «внутреннюю жизнь» термодинамической системы, чрезвычайно богатую сценариями развития, неустойчивостями, возникновением и разрушением внутренних структур.

Косновным преимуществам этого подхода относятся ясность физической интерпретации эволюционных и определяющих соотношений, возможность прямой или косвенной проверки результатов анализа эволюции мезо- и микроструктуры, относительная простота совокупности уравнений модели (определяющих и эволюционных), широкие возможности обработки результатов решения эволюционных уравнений при переходе к макропеременным (с использованием различных операторов осреднения).