Электродинамика сплошных сред

вторичной обмотке ЭДС самоиндукции ε2si ≈ Ve2 = −N2∂Qm/∂t. Здесь N1 и N2 – число витков в первичной и вторичной обмотках. Таким образом, можно определить напряжение на вторичной обмотке в режиме «холостого хода» из соотношения

1.4.5. Сила Лоренца

Сила Лоренца действует на электрический заряд q, если он движется со скоростью U в магнитном поле с индукцией B (рис. 1.16):

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. В проводнике электрический ток I создается множеством движущихся носителей электрического заряда. Пусть вектор 4L описывает перемещение зарядов за время 4t, при этом этот вектор сонаправлен с вектором плотности тока j. Тогда на провод с током в магнитном поле действует сила (см. рис. 1.16)

B B

S

v I

j

q

Рис. 1.16

На единичный объем электрического проводника с плотностью тока j будет действовать сила

51

1.4.6. Поведение движущихся зарядов в магнитном поле

Если заряженная частица движется со скоростью V перпендикулярно однородному магнитному полю B, то эта частица описывает круговую траекторию, характеристики которой определяются из баланса двух сил – центробежной и Лоренца:

fc = mω2c rc = fL = qV B = qωcrc B.

Отсюда можно получить выражения для циклотронной круговой ча-

Отношение заряда частицы к массе, m/q, называют удельным зарядом частицы. Следует заметить, что циклотронная частота не зависит от скорости частицы и определяется только удельным зарядом частицы и величиной индукции внешнего поля. Если вектор скорости частицы, оказавшейся в однородном магнитном поле, образует с направлением вектора поля угол α , π/2, то она будет перемещаться вдоль направления поля с постоянной скоростью V|| = V cos α и одновременно

сэтим равномерно вращаться в плоскости перпендикулярно к вектору B, по окружности с радиусом mV sin α/qB. Траектория движения частицы в пространстве представляет собой спираль, ось которой совпадает

снаправлением B. Шаг спирали l равен произведению V|| на период обращения,

l = V||T = 2πm 1 V cos α. q B

Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, то спираль закручивается против часовой стрелки и наоборот.

52

Эффект отклонения частиц в магнитном поле используется в разнообразных устройствах. В этих устройствах применяют дипольные магнитные линзы для отклонения частиц с целью задания им определенной траектории, а также квадрупольные магнитные линзы – для фокусировки частиц в центре такой линзы. Магнитные линзы применяют, например, в электронно-лучевых трубках для формирования изображения на экране, а также в ускорителях элементарных частиц для организации движения пучка частиц строго по центру вакуумного криволинейного канала для исключения контакта пучка со стенками. Также этот эффект применяют в масс-спектрографах, где по отклонению траектории частицы (вследствие различия циклотронного радиуса) в известном магнитном поле определяется удельный заряд и масса частицы, тем самым идентифицируя исходный материал.

Еще одним важнейшим применением силы Лоренца является ускорение частиц для проведения исследований. Самым простым прибором является классический циклотрон, где заряженные элементарные частицы, испускаемые из центра камеры радиоактивным источником, начинают двигаться по круговым траекториям в магнитном поле, разделенным щелью электрически изолированных дуантов. С помощью высокочастотного генератора (10...20 МГц) в щели между дуантами создается переменное напряжение, частота которого совпадает с ωc. Так как ωc не зависит от их скорости, то частицам нужно время π/ωc для того, чтобы совершить пол-оборота по траектории. Поэтому все частицы, оказывающиеся в фазе с переменным электрическим полем частоты ωc щели между дуантами, одновременно ускоряются. Таким образом, при каждом прохождении щели частицы увеличивают радиус своей траектории, после чего их забирают с периферии циклотрона. Таким образом можно ускорить частицы до энергии 20 МэВ – дальше масса частиц растет из-за релятивистских эффектов, и синхронизм нарушается.

Чтобы избежать нарушения синхронизма и получить частицы больших энергий, либо уменьшают частоту ускоряющего напряжения в фазотронах, либо изменяют индукцию магнитного поля в синхротронах.

В синхрофазотронах – их еще называют протонными синхротронами – изменяются и частота ускоряющего напряжения, и магнитное

53

поле. Ускоряемые частицы движутся там не по спирали, а по круговой траектории постоянного радиуса. Дуантов в этом приборе нет, ускорение частиц происходит на отдельных участках траектории с помощью электрического поля, создаваемого генераторами напряжения меняющейся частоты. Частицы в канале управляются магнитными линзами. В таком устройстве можно достигнуть энергии 76 ГэВ и более и скорости протонов, практически равной скорости света. На практике существует оценка максимально достижимой энергии в 200D ГэВ, где D – диаметр канала в километрах.

В некоторых исследованиях ускоренные частицы сталкивают. Существуют два типа устройств. В ускорителе с неподвижной мишенью пучок сталкивается с покоящимися частицами – для этого используется система вывода пучка из канала. В ускорителе на встречных пучках – коллайдере – два пучка с помощью специальной системы сталкиваются, что увеличивает энергию в два раза.

1.5.Термоэлектромагнитные явления

1.5.1. Контактная разность потенциалов

Вначале рассмотрим металлическое тело в вакууме. «Свободные электроны» удерживаются внутри металла, так как в поверхностном слое металла возникает задерживающее электрическое поле, препятствующее выходу электронов из металла. Чтобы покинуть металл, электрон должен совершить некоторую работу, называемую работой выхода e¯ϕ, где ϕ – потенциал выхода.

Одна из причин возникновения этой работы состоит в следующем. Если при тепловом движении электрон вылетит из металла, то он индуцирует на поверхности последнего заряды противоположного знака. Возникает сила притяжения между электроном и поверхностью металла, стремящаяся вернуть электрон обратно в металл. Электроны могут удаляться от поверхности металла на небольшие расстояния (порядка атомных). Над поверхностью металла возникает электронное облако, плотность которого быстро убывает при удалении от металла. Под ним у поверхности металла остается слой положительно заряженных ионов.

54

В результате образуется двойной электрический слой. Он не создает электрического поля во внешнем пространстве, но преодоление этого поля внутри самого слоя требует производства работы.

Работа выхода зависит от рода проводника, его термодинамического состояния и вида заряженной частицы. При повышении температуры некоторые электроны могут преодолевать задерживающий электрический потенциал и выходить наружу. Если в окружающем вакууме существует электрическое поле, направленное к поверхности металла, то оно будет увлекать вышедшие электроны, и через вакуум потечет термоэлектронный электрический ток. Само явление называется термоэлектронной эмиссией. Это явление, например, лежит в основе работы электронных ламп.

Если привести два разных металла в соприкосновение, между ними возникнет контактная разность потенциалов. Эта разность потенциалов вызывается тем, что при соприкосновении металлов часть электронов из одного металла переходит в другой. Заряды будут переходить от тела с меньшей к телу с большей работой выхода до тех пор, пока между обоими проводниками не установится контактная разность потенциалов, препятствующая переходу зарядов. Переход электронов связан с тем, что два металла имеют разные уровни энергии Ферми, вследствие чего будут разными концентрации электронов проводимости, что приведет к диффузии электронов. В результате диффузии один металл будет заряжаться положительно, а другой – отрицательно, что приводит к возникновению разности потенциалов.

1.5.2. Эффект Томпсона

Отсутствие тока в металле обусловлено термодинамическим равновесием по отношению к электронам проводимости. Рассмотрим неравномерно нагретый металл. В этом случае напряженность электрического поля E отлична от нуля даже в отсутствие тока, так как нет электронного термодинамического равновесия. Пусть ток течет в направлении возрастания температуры. Электроны будут переходить из мест с более высокой температурой (и, следовательно, большей средней энергией электронов) в места с более низкой температурой (и меньшей средней

55

энергией). Избыток своей энергии электроны отдадут решетке, что приведет к выделению тепла. В общем случае, когда отличны от нуля как плотность тока j, так и градиент температуры OT , связь между этими величинами и напряженностью поля может быть записана для изотропного проводника и малого градиента температуры в следующем виде:

σ

где σ – обычная электропроводность; а α – величина, характеризующая электрические свойства металла (термоэлектрический коэффициент). Формулу можно переписать так:

Отсюда следует возможность протекания тока в неравномерно нагретом металле даже при нулевой напряженности.

Рассмотрим объемную плотность энергии, которую обозначим q. Эта плотность потока энергии определяет количество тепла Q = − div q, выделяющееся в единицу времени в единице объема тела. Из этого потока можно выделить величину ϕj, связанную с тем, что каждый электрон переносит с собой энергию ϕ e¯. При этом разность q − ϕj не зависит от потенциала ϕ и может быть представлена в виде линейной функции градиентов потенциала Oϕ = −E и температуры OT аналогично формуле (1.105) для плотности тока:

Интеграл от первого слагаемого преобразуем по частям и в результате получаем

56

Воспользуемся принципом симметрии кинетических коэффициентов Онсагера. Он заключается в следующем. Пусть xi – некоторые величины, характеризующие состояние тела в каждой его точке. Вводим величины

∂S

Xk = −∂xk ,

которые малы при равновесном состоянии системы. Скорость изменения величин xi при переходе системы в равновесное состояние зависит от Xk. Разлагая эти функции в ряд по степеням Xk и ограничиваясь линейными членами разложения, получаем соотношения вида

Показано, что кинетические коэффициенты ξkn симметричны по индексам k и n,

Для использования этого принципа необходимо, выбрав xk, определить соответствующие Xk. Обычно эта задача решается с помощью формулы, определяющей скорость изменения со временем полной энтропии тела,

соответствующими величинами Xk будут компоненты векторов −E/T и OT /T 2. Получаем соотношения

Согласно принципу Онсагера коэффициенты σαT 2 и βT должны быть равны, поэтому

β = σαT.

Тогда

q − ϕj = σαT E − λOT.

57

Окончательно, сделав преобразования, получим

где æ = λ − T α2σ – коэффициент, определяющий поток тепла в отсутствие электрического тока.

Найдем количество тепла Q, выделяющееся ежесекундно в единице объема проводника, продифференцировав выражение (1.112):

Первое слагаемое QT описывает эффект чистой теплопроводности. Второе слагаемое – джоулево тепло QJ . Третье слагаемое содержит специфический термоэлектрический эффект QE .

Если проводник однороден по составу, то изменение величины α связано только с градиентом температуры, поэтому

Oα = dα OT. dT

Таким образом, выделение тепла вследствие термоэлектрического эффекта Томпсона может быть определено как

здесь τ – коэффициент Томпсона. Этот эффект пропорционален первой степени тока, а не его квадрату, как джоулево тепло. Эффект меняет знак при изменении направления тока на обратное.

1.5.3. Эффекты Пельтье и Зеебека

Эффект Пельтье возникает при прохождении тока через контакт (спай) двух различных металлов. Этот эффект обратный эффекту Зеебека. На поверхности контакта непрерывны температура, потенциал, нормальные компоненты векторов плотности тока и плотности потока энергии. Отмечая индексами 1 и 2 значения величин, относящихся к двум металлам, и приравнивая значения нормальных компонент

58

q (1.112) по обеим сторонам контакта, получим выражение для температуры вдоль оси X, нормальной к границе раздела

В левой части выражения количество тепла, отводимое в 1 с с 1 см2 поверхности контакта. В правой части – выделяющееся в контакте количество теплоты

Здесь π12 – коэффициент Пельтье. Как и эффект Томпсона, этот эффект пропорционален первой степени тока и меняет знак при изменении направления тока. Объясняется эффект тем, что носители тока по разные стороны от спая имеют различную среднюю энергию. Если носители, пройдя через спай, попадают в область с меньшей энергией, то они отдают избыток энергии кристаллической решетке, в результате чего спай нагревается. На другом спае носители переходят в область с большей энергией; недостающую энергию они заимствуют у решетки, что приводит к охлаждению спая. Эффект Пельтье можно использовать для охлаждения или обогревания каких-либо объемов, причем оба режима можно реализовать на одной установке путем изменения направления протекания тока.

Коэффициенты Томсона и Пельтье связаны таким соотношением:

Рассмотрим разомкнутую цепь с двумя контактами, причем два крайних проводника представляют собой одинаковые металлы. Предположим, что спаи находятся при разных температурах T1 и T2, а температуры обоих концов цепи одинаковы (рис. 1.17). Тогда между этими концами существует разность потенциалов, называемая термоэлектродвижущей силой εT . Для вычисления этой силы полагаем в (1.104) j = 0 и интегрируем напряженность E = αOT вдоль всей длины цепи:

59

Рис. 1.17

Если коэффициенты термоэлектродвижущей силы α1 и α2 слабо зависят от температуры, то она будет определяться разностью температур и удельной термоэлектродвижущей силой α21 данной пары металлов:

Термоэлектродвижущая сила связана с коэффициентом Пельтье следующим соотношением:

Появление термоэлектродвижущей силы обусловлено двумя причинами. Первая причина в том, что уровень Ферми зависит от температуры, поэтому скачок потенциала при переходе из одного металла в другой для спаев, находящихся при разной температуре, неодинаков. Сумма скачков потенциала для всей цепи отлична от нуля.

Для выяснения второй причины рассмотрим однородный металлический проводник, вдоль которого существует градиент температуры. Концентрация электронов с более высокой энергией у нагретого конца больше, чем у холодного. Вдоль проводника возникает градиент концентрации электронов с данным значением энергии, что повлечет за собой диффузию более быстрых электронов к холодному концу, а более медленных – к теплому. В равновесном состоянии возникнет электрическое поле, и изменение потенциала на каждом участке будет соответствовать изменению температуры.

Эффект Зеебека нашел широкое применение для измерения температур. Соответствующее устройство называется термопарой. Один спай

60