Моделирование систем

Динамика процессов описывается с помощью системы дифференциальных уравнений:

= 3·3 = 9, поэтому для достоверных результатов идентификации количество наблюдений l должно быть не менее 10.

Вектор состояния после l 10 имеет вид

r(1) ... r(10)

Vx1(1) ... x1(10)x2 (1) ... x2 (10)

аматрицы V(k), V(k 1) соответственно имеют вид

r(1) ... r(9)

V(k) x1(1) ... X1(9) ,x2 (1) ... X2 (9)

202

Тогда можно определить матрицу перехода

ÔT0 V(k 1) VT (k) V(k) VT (k) 1 ,

ана основе матрицы перехода – матрицу коэффициентов

A Ô(T0 ) I .

T0

Зная численные значения и структуру матрицы коэффициентов А, можно определить параметры системы K1,

K 2 , T .

4.2.6. Итерационный регрессионный метод

Итерационные методы идентификации используют методы последовательного уточнения матрицы коэффициентов.

Формула итерационного регрессионного анализа имеет вид

VT (k)P(k).

203

Итерационные вычисления осуществляются до тех пор, пока уточнение коэффициентов матрицы А не достигнет заданной точности:

Начальные значения матриц A(0), P(0) можно определить произвольно, например так:

где I – единичная матрица; – заданная точность оценивания.

4.2.7. Идентификация нелинейных систем

Достаточно развитая теория идентификации нелинейных систем предлагает большое количество различных методов исследования данных систем. Но ни один из методов не является универсальным и характеризуется своей областью применения. Наиболее распространенными методами являются следующие методы:

1)метод прямого поиска;

2)аппроксимация нелинейности;

3)модель Гаммерштейна;

4)метод Виннера;

5)двухэтапная процедура.

4.2.7.1. Метод прямого поиска

Нелинейная функция f(x) преобразуется в линейную функцию fл(x) . Далее применяют любой метод идентификации линейных систем.

Допустим, что модель объекта имеет вид

204

где х1, х2 – входные параметры; у – выходной параметр; а0, b1, b2 – искомые параметры.

ln y ln a0 b1 ln x1 b2 ln x2 ;

Z A b1 1 b2 2.

Рассматриваем только положительные значения у.

4.2.7.2. Аппроксимация нелинейности

Таблично заданная функция (явно нелинейная) аппроксимируется с помощью полинома произвольным методом. Полученный полином и есть модель нашего объекта.

Ограничение – функция должна быть непрерывна. Существует теорема Вейерштрасса, которая доказывает,

что все нелинейности можно описать полиномом

к регрессии и применение интегральных формул.

4.2.7.3. Модель Гаммерштейна

Входной сигнал u(t) известен.

1. Если известна функциональная зависимость f(u(t)) – вид нелинейности, то вводим Z = f(u(t)). Идентификация сводится к определению параметров линейной части:

y t AZ t .

2. Функциональная зависимость f(u(t)) не известна. Строится таблица этой нелинейной зависимости. По этой таблице любой интерпретируемой формулой получаем аппроксимирующий полином нелинейности f*(u(t)). Зная параметры аппроксимирующего полинома, вводим Z(t) = f*(u(t)) и, снимая соответствующие ему y(t), решаем задачу идентификации:

205

4.2.7.4. Метод Винера

Метод Винера является одним из самых точных методов идентификации нелинейных систем. Суть метода сводится к последовательному разложению входного сигнала сначала по коэффициентам Лагерра:

где Ln 1 xi – значение полинома Лагерра, вычисленного для дискретного значения сигнала xi .

Рекуррентная формула вычисления полинома Лагерра имеет вид

Функции Эрмита и выходные сигналы объекта исследования сравниваются специальным кросс-коррелятором, определяющим достоверность проведенной идентификации.

Данный подход обладает следующими достоинствами:

1.Стационарный белый гауссов шум является наиболее общим тестовым сигналом для стационарной нелинейной системы.

2.Любая нелинейная система имеет эквивалент в виде некоторой линейной системы (цепочка Лагерра) со многими

207

выходами, за которой следует безынерционная система (функция Эрмита).

Однако подход Винера имеет ограниченное практическое применение. Это обусловлено следующим:

1.Требование, чтобы вход представлял белый гауссов шум, является слишком жестким. Гораздо удобнее иметь метод, способный обрабатывать реализации сигналов в процессе нормальной работы.

2.Очень велико число коэффициентов, которое требуется для описания даже простой нелинейной системы.

3.Теория Винера не позволяет получить описание нелинейных систем, допускающее ясную физическую интерпретацию.

4.2.7.5. Двухэтапная процедура

Первый этап – нелинейная характеристика разбивается на участки, в пределах которых нелинейная функция может быть с достаточной долей точности представлена линейной функцией. Данные участки называются участками линеари-

зации. Начало участков – это точка линеаризации.

В каждой точке линеаризации входной переменной придается незначительное приращение и фиксируется изменение выходной переменной. По данным входного и выходного переходного процесса с помощью линейных методов идентификации строятся линейные модели.

Второй этап – аппроксимация линейных моделей в нелинейную функцию (рис. 4.10). На основе зарегистрированного переходного процесса строится матрица коэффициентов линейным реверсионным методом. В результате получается столько матриц, сколько узловых точек. Каждый коэффициент матрицы аппроксимируется по той или

208

иной интерполяционной формуле с помощью любого полинома.

Пример. Рассматриваем отдельно нелинейное звено. На нелинейной характеристике выбираем отрезок, где система ведет себя как линейная функция.

ки или узлы линеаризации).

Для точек линеаризации подбираем соответствующие входные точки

x1i u1i .

Каждой точке линеаризации подаем входную переменную, увеличивающуюся на величину u i :

u i u i .

Снимаем переходный процесс системы для каждой точки линеаризации.

Для каждой точки линеаризации получаем линейную модель

По каждому aij получаем функциональную зависимость aij = f(aij) методом аппроксимации тем же самым полиномом

209

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

На практике наибольшее распространение получили модели, построенные на аналоговой и цифровой технике.

5.1. Аналоговое моделирование

Вычислительные устройства (ВУ) – это различные технические средства, предназначенные для автоматического или полуавтоматического выполнения соответствующих математических операций. В основном они разделяются на аналоговые (АВУ) и цифровые (ЦВУ). Они существенно отличаются друг от друга по представлению математических величин, возможностям изменения их, принципу действия, точности.

5.1.1.Представление математических величин

ВАВУ математические величины X, Y, Z, ... представляются в аналоговой форме в виде подобных им различных физических величин, например, электрического напряжения,

электрического сопротивления, углового перемещения. В ЦВУ математические величины представляются в цифровой форме, как правило, в двоичной системе счисления. Цифра каждого разряда символически изображается самостоятельно определенным состоянием некоторого простейшего элемента.

В АВУ возможно непрерывное изменение математической величины x в пределах определенного диапазона, при котором каждое значение отличается от ближайшего на бесконечно малую величину, равную дифференциалу dx. В ЦВУ значения x изменяются только дискретно, когда каждое значение отличается от ближайшего на некоторую конечную ве-

личину x, равную, например, единице, десятой, сотой и т.д.

5.1.2. Принцип выполнения математических операций

В АВУ выполнение операций над математическими величинами основано на подобии уравнений, описывающих эти операции, и уравнений, описывающих поведение или со-

210