Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ в задачах и упражнениях

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>


13.11.	lim	35 x 27 x
		arcsin 2x x
	x 0
13.12.	lim	e5 x ex
		arcsin x x3
	x 0
13.13.	lim	4x 27 x
		tg3x x
	x 0
13.14.	lim	ex e x
		tg2x sin x
	x 0
13.15.	lim	102 x 7 x
		2tgx arctgx
	x 0
13.16.	lim	e2 x ex
		sin 3x sin 5x
	x 0
13.17.	lim	73x 32 x
	x 0	tgx x3
13.18.	lim	e4 x e2 x
		2tgx sin x
	x 0
13.19. lim		32 x 7x
		arcsin x sin x
	x 0
13.20.	lim	e2 x e 5 x
		2sinx tgx
	x 0


13.21.	lim	45 x 9 2 x
		sin x tgx3
	x 0
13.22.	lim	e3x e2 x
		sin 3x tg2x
	x 0
13.23.	lim	52 x 23x
		sin x sin x2
	x 0
13.24.	lim	ex e3x
		sin 3x tg2x
	x 0
13.25. lim		9x 23x
		arctg2x 7x
	x 0
13.26.	lim	ex e 2 x
		x sin x2
	x 0
13.27.	lim	35 x 2 7 x
	x 0	2x tgx
13.28.	lim	e2 x ex
		sin 2x sin x
	x 0
13.29.	lim	e2 x ex
		x tgx2
	x 0
13.30.	lim	23x 32 x
		x arcsin x3
	x 0

Задание 14. Вычислить пределы функций.

14.1. lim e

1 tgx

1 sin x

14.5.

lim

sin

x 0

14.2.

lim

1 xsin x cos 2x

14.6.

lim

e x

x 0

sin

sin x

x 0

14.3.

lim

x3 1

1 xsin x 1

x 1 sin x 1

14.7.

lim

14.4.

x 0

x2 ex

e x

lim

ln x h ln x h 2ln x

14.8.

lim

x3 1

x 0

h 0

x 0

elib.pstu.ru

14.9. lim

1 2cos x

14.21.

lim

cos x

sin 3x

x 3

x 0 0

1 cos

x h

14.10. lim

1 x2

14.22. lim

x 1

sin x

h 0

14.11. lim

sin x cos x

14.23. lim

5 x 2

ln tgx

sin x

x 4

x 3

14.12.

lim

14.24.

lim

2sin2 x sin x 1

2sin

x 3sin x 1

x b

14.13. lim

1 cos 2x tg2 x

14.25. lim

lg x 1

xsin 3x

x 9 1

x 0

x 10

14.14. lim

sin 2x 2sin x

14.26. lim

3x 1

x ln cos5x

ln 1 x

1 xex

x 0

14.15.

lim

tgx tga

ln x ln a

cos x 1

x a

14.27. lim

1 x

sin2 2x

14.16.

lim

x 0

sin bx sin ax

log

x 1

14.28.

lim

14.17. lim e

sin 2 x

sin x

x 0

tgx

14.18. lim

2x 2

14.29.

lim log3 x 1

ln x

x 3

tg x

x 1

14.30.

14.19. lim

x 2

sin x h sin x h

sin 3x

x 0

lim

14.20. lim

h 0

sin

x 1

Задание 15. Вычислить пределы функций.

15.1. lim 1 ln

1 x

x 0

x2 arcsin x

15.3. lim

15.2.

lim

cos

x 0

x 0 0

15.4.

lim

2 3arctg

sin x

x 0 0

elib.pstu.ru

15.5.lim 1 sin x cos x ctg3 x x 0 1 sin x cos x

15.6. lim

sin2

cos x

x 0

sin4 3 x

15.7. lim 1 ln

x 0

1 x

sin x

15.8.

lim

x 0

1 x

15.9. lim cos x xsin x

x 0

15.10. lim 1 sin2 3x ln cos x

x 0

15.11.	lim							ctgx
15.11.	lim	tg			4	x
	x 0				4
	x 0			xsin				x	1
15.12. lim 1				xsin			2	x	ln 1 x3
							2		ln 1 x3
	x 0				arcsin x3				cos ec2 x
15.13. lim					arcsin x3				x
15.13. lim			2 5

15.14. lim 2 esin x ctg x

x 0

15.15. lim 2 cos3x ln 1 x2

x 0

15.16. lim cos x ln 1 sin2 x

x 0

		x2		1
15.17. lim	2 e	x2		2	x
15.17. lim	2 e		ln 1 tg		3
x 0					3

15.18. lim 3 2cos cos ec2 x

x 0

sin2

15.19. lim

ln cos x

x 0

15.20. lim x2 2 cos x

x 0

15.21. lim

ctg2 x

x 0

cos x

15.22. lim

cos ec2 x

x 0

cos x

1 sin x cos 2x

15.23. lim

sin x3

1 sin x cos3x

x 0

2 ex2

15.24.

lim

1 cos x

x 0

15.25.

arctg

0,5

lim 1 ln

x 0

15.26.lim 1 tgx cos 2x x3 x 0 1 tgxcos5x

15.27.

lim

tg2 x

1 x3x

x 0

1 x7

15.28.

lim 1 tg

ln 1 3x2

x 0

15.29.

lim

1 ln cos x

tg2 x

x 0

1 tg2

15.30.

lim

1 sin

x 0

elib.pstu.ru

Задание 16. Вычислить пределы функций.

16.1. lim

sin 2x 1 x

16.14. lim

x 2

x 0

16.2. lim

2 x x

16.15.

lim

x3 8 x 2

x 0

3 x

x 0

16.3. lim

sin 4x x 2

16.16.

lim

sin

x 2

3 x

x 0

22 x 1

x 1

16.17.

lim

cos

16.4. lim

x 0

16.5. lim cos x

x 3

16.18. lim

x 2

x 0

x 10

16.6. lim

4 x2 3

11x 8 cos2 x

16.19. lim

x 0

12x 1

	ln(1 x)								x
16.7.									x 2
	lim		6x
	x 0
16.8.	tg4x 2 x
	lim		x
	x 0
							8 x 3
16.9.	ex3			1		x 1
	lim
				2
	x 0		x

		x 2				cos x
16.10. lim
				4
	x 0	x
		sin 6x 2 x
16.11. lim			2x
	x 0
						6
		ex2				1
								1 x
16.12. lim
					2
	x 0			x

		sin 2x x2
16.13. lim
	x 0	sin 3x

x 1

16.20.

lim

x 0

1 x

x 8

16.21. lim

x 0

16.22. lim

1 x

cos

x 0

arcsin x

16.23. lim

x 5

x 0

16.24.

lim

arctg3x x 2

x 0

cos x4

16.25. lim

16.26. lim

x 6

sin 5x

x 0

sin x

elib.pstu.ru

ex 1

16.29.

lim

x2 1

16.27. lim tg

2 11x

x 0

tg2 x

16.30.

lim

arcsin2 x 2 x 1

16.28. lim

cos x

x 0

arcsin

Задание 17. Вычислить пределы функций.

3x 1

17.12.

lim cos x

ctgx

17.1.

3 x 1

sin 4 x

lim

x 4

x 1

17.13.

lim

3 2x tg

17.2.

sin x x a

x 1

lim

lim cos x

x a sin a

17.14.

tg5 xsin 2 x

x 4

2x 1 3

x 1

17.3.

9 2x

lim

17.15.

lim

x 1

x 3

cos x

17.16. lim

sin x 6tgxtg3x

17.4.

x 2

lim

x 2 cos 2

2x 7

17.17.

lim

2ex 1 1

x 1

17.5.

x 1

lim

x 1

x 8

17.18.

lim

17.6. lim

x 2

x a

17.19.

lim

2ex 1 1

3x 1

x 1

17.7. lim tgx cos

x 1

17.20.

lim

1 cos3x sec x

x 4

2x 1

x 2

x 1

17.8. lim

17.21.

x 2

2ex

3x 2

x 1

lim

2 1

x 2

ctg 2 x

17.9. lim cos x sin 3x

ln 3 2 x

x 2

17.22.

lim

2x 1 ln 2 x

17.10. lim cos x

x 1

sin2 2 x

x 2

2 x

6 x

17.23.

lim

ln 2 x

17.11. lim

x 1

x 3

elib.pstu.ru

17.28.

lim sin x

18sin x

17.24. lim

ctg

cos x

ctgx

sin x

ln x 1

17.29.

lim

ln 2 x

17.25. lim

2 x

ln 2 x

x 1

17.26. lim

sin x

x 3

17.30.

lim

ctg

cos

x 3

sin 3

x 1

ln x 2

17.27. lim

ln 2 x

x 1

Задание 18. Вычислить пределы функций.

ln x 1

sin x

18.9. lim 1 e

sin x

18.1. lim

1 x

x e

x 1

x e

tg9 x

18.2. lim

tgx

ctgx

18.10.

lim

x 1

sin 4 x

arcsin x 3

ln tgx

18.11.

lim

18.3. lim

sin 3 x

x 3

1 ctgx

18.4. lim

sin x

18.12.

lim sin 2x x

1 x

x 2

sin 3 x sin2 x 2

18.5. lim

x 3 / 4

x 1

x 2

sin x

18.13.

lim

arctg

x 1

18.6. lim

6 x

sin x

sin

18.14.

lim

ctg

sin x

18.7. lim

x 3

18.15.

lim

sin x sin a a

x a

1 x2

x a

18.8. lim

1 x 1 x

2 x

x 1

18.16.

lim

x 2

elib.pstu.ru

18.17. lim sin x cos x tgx

18.18. lim tg2x sin 8 x

18.19. lim arcsin x tg x

x 1

18.20. lim x sin x sin x x

18.21. lim ln2 ex x2 1

x 1


18.22. lim				x 1				arctgx
	x 1
							1
18.23. lim			x	3	1			x2
			x		1
			x 1
	x 1		x 1
				sin x					x2 1
18.24.	lim	e				1
	x 1			x 1

18.25. lim cos x tg( x 2)

x 2

18.26. lim arcsin x arccos x х

x 12

18.27. lim cos x 1 sin x

18.28. lim 3 x x 1 sin 4

x 1

18.29. lim x2 2x 3 2 x x 1 x2 4x 5

18.30. lim 1 cos x x2 x 1 tg2 x

elib.pstu.ru

2. ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Исследование функций и построение графиков удобно проводить по следующей схеме:

1)найти область определения;

2)отметить (если они есть) особенности функции (периодичность, четность и нечетность, сохранение знака), найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3)исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;

4)если граничные точки области определения функции

принадлежат ей, то найти значения функции в этих точках,

впротивном случае – выяснить поведение функции в окрестности этих точек (включая и несобственные точки и );

5)найти наклонные асимптоты (вертикальные и горизонтальные определяются в предыдущих пунктах ) или убедиться

вих отсутствии;

6)найти участки возрастания и убывания функции, определить локальные экстремумы;

7)найти интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, определить точки перегиба;

8)построить график функции.

Результаты исследования функции целесообразно свести в таблицу, а построение графика начать с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, точек локального экстремума функции, точек перегиба и фрагментов графика функции

вблизи этих точек и вблизи асимптот.	2x 1
Пример 1. Исследовать функцию y		и построить
	x 1 2

ее график.

Решение. Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы:

1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки x 1 .

elib.pstu.ru

2) Поскольку f x	2x 1	f x и	f x f x , то
	x 1 2

данная функция является функцией общего вида. Очевидно, что

эта функция непериодическая.

При

x 0

y 1 ,

при

x 1

y 0 , следовательно,

0; 1

и 1 ;0

– точки пересечения гра-

фика функции с осями координат. При

y 0

(здесь, ко-

нечно,

x 1 ), при x

y 0 .

3) В точке x 1 функция имеет разрыв второго рода, так как

lim f

x lim

2x 1

, в

остальных

точках она

непре-

x 1 0

x 1 0 x 1 2

рывна. Прямая x 1 является вертикальной асимптотой.

2x 1

4) lim f x

lim

, следовательно,

x 1 2

прямая y 0 – горизонтальная асимптота.

Найдем

наклонные

асимптоты:

k lim

f x

2x 1

lim

0 ,

тогда

k 0,

x x x 1 2

b lim f x kx

lim

2x 1

тогда

b 0 .

Следова-

x x 1

тельно, y kx b 0 – наклонная асимптота (она уже была найдена в п. 4 в качестве горизонтальной).

elib.pstu.ru

6) Для нахождения участков монотонности и экстремальных

	2x 1

точек найдем первую производную функции: y x

x 1 2

	2	x 1 2	2x 1 2 x 1			2x	.
			x 1 4		x 1 3

		Производная y x не существует при x 1 (точка разрыва,
см. п. 3) и			y x = 0 при	x 0.		Область определения функции

разобьем на интервалы ; 0 , 0;1 , 1; и определим знак y x в каждом из них. Для удобства вычислений в интервале

; 0 возьмем x 1 : f 1 2 1 1 0 . Значит, на

1 1 3 4

этом интервале функция убывает. На интервале				0;1 удобно
взять	x 1 :	f 1	8 0, следовательно, на интервале 0;1
	2	2
функция возрастает. Наконец, на интервале 1;				удобно взять
x 2 :	f 2 4 0 . Значит, здесь функция убывает (рис. 1).

Рис. 1. Знак y Рис. 2. Знак y

Поскольку функция в	точке x 0 определена и непрерывна
и при переходе через нее	y x меняет знак с минуса на плюс
(что хорошо видно на рис. 1), то в этой точке локальный мини-

мум, причем f 0 1 .

7) Для нахождения участков выпуклости найдем вторую про-

	2x		x 1	3	3x x 1	2

изводную функции y x		2	x 1 6

x 1 3
40

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.81 Mб44Математические модели движения транспортных средств..pdf
#
15.11.202214.26 Mб48Математические основы криптологии и криптографические методы и средс..pdf
#
15.11.2022932.24 Кб19Математические основы теории принятия решений..pdf
#
15.11.20221.51 Mб10Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
15.11.20224.41 Mб7Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
15.11.20221.75 Mб16Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
15.11.202219.7 Mб18Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf
#
15.11.202224.26 Mб25Математическое моделирование в естественных науках..pdf
#
15.11.202211.81 Mб16Математическое моделирование в механике композиционных материалов и..pdf
#
15.11.20227.54 Mб24Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке..pdf
#
15.11.20222.39 Mб19Математическое моделирование и проектирование систем автоматики..pdf