Математические основы теории принятия решений

предвидеть динамику изменения системы, а также учитывать изменения в законодательстве и достижения научно-технического прогресса.

Прерогативу ЛПР в процессах принятия решений составляют следующие функции:

1)направляющая, состоящая в формулировке цели и критериев

еедостижения;

2)организационная, включающая в себя создание экспертных комиссий и рабочих групп для разработки решения;

3)решающая, то есть выбор модели ситуации и варианта ре-

шения.

Отметим, что направляющая функция ЛПР имеет координирующий характер и связана с согласованием внутренних и внешних целей организации. Такой же характер имеет и организационная функция, но она направлена на координацию действий разработчиков альтернативных вариантов управленческих решений.

Контрольные вопросы

1.Укажите основные этапы процесса разработки управленческих решений.

2.С какой целью на начальном этапе выполняется диагностика системы?

3.Какова роль моделирования в процессах разработки и принятия управленческих решений?

4.Какие методы составляют основу современной теории принятия решений?

5.Назовите известные вам оптимизационные методы.

6.В чём состоит социальный аспект принятия управленческих решений?

7.Перечислите основные функции ЛПР в процессах разработки

ипринятия управленческих решений.

31

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

5.1.Понятие математической модели. Теорема Гёделя о неполноте

Описывая состояние некоторой системы с помощью конечного числа показателей, мы прибегаем к модели этой системы. Реальная система в этом случае выступает в роли объекта исследования, а её модель – в роли предмета исследования. Составление модели связано с процессами формализации.

Построение математической модели всегда выполняется в рамках определённой аксиоматики. Но теорема Гёделя гласит, что в рамках любой аксиоматики найдётся утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами этой аксиоматики. Отсюда вытекает, что любая аксиоматика либо противоречива, либо неполна (и, следовательно, её можно пополнять аксиомами, не противоречащими исходной аксиоматике).

Разработка модели начинается с формулировки её цели. В зависимости от цели исследователь изначально формулирует некоторую начальную внутренне непротиворечивую систему предположений. При этом отношения между предметом и объектом исследования всегда неоднозначны, так как один и тот же объект можно представлять различными моделями. Разные модели могут вступать в противоречие друг с другом, хотя каждая из них может оказаться полезной и, в зависимости от целей исследования, описывать реальность с той или иной степенью полноты. В силу теоремы Гёделя любая из математических моделей неполна, а полная система моделей объекта неизбежно содержит взаимоисключающие модели.

Набор параметров любой из моделей должен в соответствии с целями построения модели отражать основные свойства системы и, описывая отдельные характеристики, не нарушать её целостности. Параметры математической модели могут иметь как качественный, так и количественный характер.

32

Свои названия получают элементы и характеристики моделируемой системы и их совокупности, при этом устанавливаются связи между ними в зависимости от того, какие свойства системы моделируются. Эти свойства определяют соотношения элементов внутри системы и также получают свои имена, образуя язык конкретной дисциплины со своими правилами. Язык является формой, в которой далее можно выразить содержание модели. В зависимости от потребностей и степени развития конкретной дисциплины используются различные языки для выражения содержания модели, то есть различные шкалы.

2.На втором этапе необходимо выяснить возможность измерения каждой из характеристик модели и выбрать соответствующую шкалу для измерения. Для измерения качественных и количественных характеристик модели могут быть использованы различные шкалы, и, соответственно, при этом будут получены различные модели на том языке и уровне иерархии, на котором выполнены измерения.

3.На третьем этапе, на базе словесно-описательной модели, на языке конкретной дисциплины (физики, химии, биологии, психологии, экономики и т.п.) формулируются законы функционирования системы в соответствии с целью исследования.

4.На последнем этапе ещё раз проверяется научная обоснованность и непротиворечивость совокупности требований к модели.

5.Практическая проверка должна подтвердить работоспособность модели и возможность её использования в рамках заявленной аксиоматики.

5.2.Шкалы и измерения

Правила, по которым построены современные математические модели, позволяют работать с совокупностями разнородных величин, в том числе с величинами, измеренными в различных шкалах.

В некоторых случаях сложный многомерный объект с разнородными качественными и количественными характеристиками удаётся описать с помощью единственного интегрального показателя.

34

Например, интегральной характеристикой уровня жизни страны может служить средняя продолжительность жизни её населения. Динамика изменения уровня жизни указывает на эффективность социальной политики. Но так как результат социальных преобразований проявляется с запаздыванием, оценить эффективность принимаемых решений не всегда можно своевременно, что затрудняет использование подобных интегральных показателей.

В общем случае для построения математических моделей используются те шкалы и тот математический аппарат, которые позволяют описать то, что нужно исследователю в соответствии с его целью. Иерархия шкал позволяет последовательно развивать иерархию моделей в рамках выделенной цели, постепенно уточняя функции и особенности моделируемого объекта, расширяя терминологию и спектр используемых шкал. Поэтому приведём краткую справку из теории шкал и измерений. Подробное изложение теории можно найти, например, в монографии И.Г. Пфанцангля [25].

Описание количественных величин часто выполняется в абсолютных числовых шкалах, поэтому с абсолютной числовой шкалой все знакомятся ещё в средней школе. Отношение предпочтения a ≥ b в этом случае задаётся путём сравнения двух действительных чисел, то есть с помощью неравенства a − b ≥ 0. В абсолютных шкалах допустимы все арифметические операции. Поэтому для выбора альтернатив, наиболее предпочтительных по одному числовому критерию, можно использовать модели математического программирования, теории игр, методы статистики и регрессионного анализа.

Результаты измерения многомерных величин с числовыми компонентами можно записывать в матричной или векторной форме. Такие матрицы (векторы) можно складывать, их можно умножать на действительные числа и выполнять некоторые другие операции.

Но в математике для измерения величин используют и другие шкалы: номинальные, числовые (пропорциональные и разностные), порядковые и др. [25]. Каждая из шкал характеризуется своим набором допустимых операций. В отличие от абсолютных шкал, где до-

35

пустимы все арифметические операции, во всех других шкалах есть свои допустимые и недопустимые операции.

Любое измерение сначала выполняют в номинальных шкалах (шкалах наименований). В этих шкалах всего два правила: разные величины нельзя называть одним именем; одной и той же величине нельзя присваивать разные имена. Единственная допустимая операция в шкале наименований – это операция установления тождественности (тождества) величин (a ≡b) или их различия (a ≠b).

Вэкономике часто используются разностные и пропорциональные шкалы. Разностные шкалы используются для измерения разностей, например, для измерения возраста. Но сравнивать возраст двух людей, оставляя их отношение, – недопустимая операция, так как каждая из измеряемых величин отсчитывается от своего нуля. Пропорциональная шкала – это шкала отношений. К пропорциональным относится шкала измерения в процентах. Сложение (вычитание) 1 % от 100 рублей и 1 % от 1000 рублей – недопустимая операция в этой шкале. Чтобы её выполнить, необходимо отказаться от пропорциональной шкалы и вернуться в абсолютную шкалу.

Втеории принятия решений возможность выбора можно реализовать только в том случае, если величины допускают сравнение по некоторому отношению предпочтительности. Поэтому в теории принятия решений естественно использовать порядковые шкалы.

Результаты измерения в номинальных и порядковых шкалах нельзя ни складывать, ни умножать, ни делить, в этих шкалах просто нет арифметических операций, они недопустимы. Порядковые шкалы позволяют реализовать выбор по тем или иным правилам и предпочтениям, не переходя к абсолютным шкалам.

Наибольшую сложность в теории принятия решений представляет сравнение многокомпонентных величин. Даже если все компоненты сравниваемых величин измерены в абсолютных шкалах, то есть если речь идёт о сравнении двух векторов с числовыми компонентами, покомпонентное сравнение в большинстве случав приводит

кпротиворечивым результатам.

36

Сравнение двух объектов одной размерности, записанных в векторной форме, можно выполнить по разным правилам (принципам). Например, с целью выбора можно сравнить длины этих векторов, а можно сравнить максимальные (минимальные) элементы. Результаты, очевидно, будут разными. Поэтому, если даже все компоненты векторов измерены в одной и той же абсолютной шкале, важнейшим в теории решений является вопрос о выборе принципа сравнения.

Операции сравнения двух векторов может помешать их разная размерность (например, возникшая из-за неполной информации по одному из сравниваемых объектов), и тогда приходится принимать решение в условиях неполной информации.

По аналогии с векторной записью многомерных величин с числовыми компонентами совокупность качественных характеристик можно записывать в форме кортежей. Форму кортежа можно использовать и для описания совокупности разнородных (качественных и количественных) величин, так как компонентами кортежей, в отличие от векторов, могут быть величины, измеренные в разных шкалах.

Пример 5.1. Подержанные автомобили можно описать совокупностью следующих характеристик: 1) страна-производитель; 2) работоспособность; 3) ремонтопригодность; 4) пробег; 5) максимальная скорость движения; 6) цвет. Тогда описание двух каких-то конкретных автомобилей можно выполнить в виде двух кортежей C1 и C2:

C1 = (Россия; на ходу; ремонтопригодный; 105 км; v = 110 км/ч; зелёный);

C2 = (Япония; неработоспособен; ремонтопригодный; 2·105 км; v = 170 км/ч; серый).

Отметим, что в этих кортежах три первых и последняя из характеристик имеют качественный характер и измерены в номинальных шкалах, а две средних характеристики могут быть описаны количественно и потому измерены в числовых шкалах, но при этом они имеют разную размерность.

Сравнение этих двух объектов по предпочтительности можно выполнить в порядковых шкалах, если задать отношение предпочте-

37

ния с помощью критериев порядка. Например, пусть критерии выбора покупателя таковы:

K1 – покупатель предпочитает автомобиль иностранного производства;

K2 – автомобиль должен быть на ходу;

K3 – автомобиль годится не только на запчасти, его можно восстановить за приемлемую цену;

K4 – пробег автомобиля не более 105 км;

K5 – максимальная скорость не менее 110 км/ч;

K6 – цвет не должен быть вызывающим (например, ярко-жёлтым). Сравнение двух или более кортежей можно выполнить по совокупности всех критериев. Но, так как часто критерии приводят к противоречивым оценкам, то покупатель вынужден искать компромиссное решение, опираясь на какой-либо заранее выбранный принцип согласования критериев. Например, он может упорядочить свои критерии выбора по их важности или вообще поступиться какими-то из критериев, а может реализовать выбор оптимального варианта по ме-

тоду Кемени (см. подразд. 7.2).

В некоторых случаях такой анализ приводит исследователя к выводу, что он не учёл какие-то важные характеристики объекта и должен добавить соответствующие этим характеристикам критерии: в примере 5.1 таким критерием может оказаться цена автомобиля, состояние двигателя или ещё какие-то качественные или количественные характеристики.

Пример 5.2. Автомобили из примера 5.1 необходимо оценить по их предпочтительности с точки зрения их надёжности и безопасности для пассажиров. Тогда основными критериями выбора становятся критерии 2, 3 и 4 (работоспособность, ремонтопригодность, пробег). Возможно, что критериями 5 и 6 (максимальная скорость движения и цвет автомобиля) можно пренебречь. Однако, так как статистика дорожных аварий свидетельствует, что автомобили оранжевого и ярко-красного цвета реже попадают в аварию, то и этот критерий можно принять во внимание, но уже с других позиций.

38

Кроме того, дополнительной характеристикой надёжности автомобиля, более важной для подержанного автомобиля, чем пробег или срок службы (год выпуска), является другой показатель долговечности – ресурс. Значения остаточного ресурса, как числового показателя долговечности, можно выявить, например, в результате технического осмотра. И очевидным образом появляется необходимость включить в кортеж ещё один критерий – оснащённость автомобиля системами безопасности, основная функция которых – защита пассажиров в аварийных ситуациях.

Компромиссное решение принимается в том случае, когда критерии предпочтительности выбора противоречивы, то есть какие-то требования к объекту выбора не могут быть выполнены в полном объёме или вообще не могут быть удовлетворены. Поиск компромиссного решения среди альтернативных вариантов требует формулировки дополнительных принципов, на основании которых какойто частью требований оптимальности можно поступиться. Такие дополнительные принципы выбора альтернатив назовём принципами согласования критериев предпочтительности.

Вобщем случае формулировка цели управленческого решения

ипостановка вытекающих из нее задач должны удовлетворять следующему минимальному набору требований:

1)цель – это конечный набор критериев достижения цели;

2)для сравнения альтернативных вариантов решения по предпочтительности каждый из критериев должен допускать измерение в порядковой шкале;

3)решение – это выбор альтернативы, наиболее предпочтительной по совокупности всех критериев;

4)если критерии выбора по предпочтительности противоречивы, поиск варианта, наилучшего по совокупности всех критериев, заменяется поиском компромиссного решения. Для выбора компромиссного решения необходимо указать принцип согласования критериев предпочтительности между собой. В этом случае оптимальное решение – это решение компромиссное.

39

5.3. Классификация моделей принятия решений

Для выбора конкретной модели разработчик должен знать достаточно широкий спектр известных моделей и быть готовым разрабатывать оригинальную модель. Можно выделить разные типы моделей в зависимости от изучаемого объекта, цели исследования и выбранной шкалы.

По форме выражения можно выделить наиболее часто используемые типы математических моделей принятия решений:

–словесно-описательные (в номинальных шкалах);

–формально-логические (в шкалах предикатов);

–в форме неравенств или систем предпочтений (в порядковых шкалах);

–в форме уравнений или их систем (в количественных интервальных шкалах).

Чаще всего при построении моделей сложных объектов приходится использовать комбинированные способы их описания, что затрудняет дальнейшее исследование.

Взависимости от содержания рассматривают следующие типы моделей: экономические, физические, химические, биологические, социальные и т.д.

Математические модели занимают в этой классификации особое место. Например, математическая словесно-описательная модель может быть социальной, психологической, механической или экономической по содержанию.

Имеются два основных пути построения моделей. Первый путь – дедуктивный: от общей идеи к ее частным результатам. Второй путь – индуктивный, он позволяет конструировать модели сложных систем поэтапно, путём их дальнейшей интеграции в единое целое.

Индуктивный метод построения модели особенно успешен, если возможен путь эксперимента, позволяющего уточнять идеи, детали

ипараметры отдельных конструируемых и используемых моделей. При использовании дедуктивного подхода чаще всего используются теоретические способы обоснования модели в целом.

40