Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы последовательностей и функций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

540.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

lg2 2

Отметим, что если аргумент x, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, то соответствующая бесконечно большая функция становится бесконечно большой последовательностью.

Определение. Последовательность { xn } называется бесконечно большой, если

( A> 0)( nA N )(≥ n nA )>: xn A.

Из определения бесконечно большой последовательности можно сделать вывод, что бесконечно большая последовательность имеет предел∞ .

Пример 4.

Доказать,

что

последовательность

xn =

2n2

n3 + 5n2 + 8

является бесконечно малой.

Решение. Последовательность является бесконечно малой, ес-

ли( ε >

0)(

N )(≥

n ) :

< ε

или

< ε .

n3 + 5n2 + 8

Поскольку

2n2

наше неравенство справед-

n3 + 5n2 + 8 n3 + 5n2

n + 5

ливо при тех же n, при которых

< ε илиn >

− 5 . Таким обра-

n +

зом, nε

− 5 +1 =

− 4 и утверждение доказано.

Пример 5.

Доказать, что последовательность xn

= 2 n

является

бесконечно большой.

Решение.

Иначе требуется доказать, что lim 2 n = +∞

(знак +,

n→∞

так как2 n > 0 ). Зададим произвольное

A > 0 и найдем номерnA , та-

кой,

что

при

всех

n ≥

выполняется

неравенство

2 n > A n lg 2 > lg A n > lg A n > lg2 A . lg 2

	lg2		A
НомерnA	=			+ 1 .
		2
	lg		2

Утверждение доказано.

4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Сформулируем теоремы, которые облегчают нахождение преде-

лов функции. Формулировка теорем						для случаев, когда			x → x0
и x → ∞ , аналогичны.							lim f ( x )	и lim g ( x ) ,
Предполагая,	что существуют				пределы		lim f ( x )	и lim g ( x ) ,
							x→ x0	x→	x0
имеем:
Теорема 1. lim ( f ( x ) ± g ( x )) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) .
x→ x0				→x x0		→ x x0
Теорема 2. lim ( f ( x ) g ( x )) = lim f ( x ) lim g ( x ) .
x→ x0				→x x0		→ x x0
	f ( x )		lim f ( x )		, если lim g ( x ) ≠ 0 .
Теорема 3. lim	f ( x )	=	x→	x0
Теорема 3. lim	g ( x )	=	lim g ( x )
x→ x0	g ( x )		lim g ( x )			x→ x0
			x→	x0
Теорема 4. Если f ( x ) = c				(c = const ) , то lim f ( x ) = c.
						x→	x0
Теорема 5. Предел степени равен степени от предела основания,
то есть
	lim ( f ( x ))k = (lim f ( x ))k .
	x→	x0			→x x0
Теорема 6. Постоянный множитель можно выносить за знак пре-
дела:
	lim (cf ( x )) = c lim f ( x ) .
	x→	x0			→x	x0

5. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ РАСКРЫТИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Обратим внимание на то, что теорема 1 не дает ответа в случае,

если lim f ( x ) = ∞

lim g ( x ) = ∞

(неопределенность вида∞ ± ∞

);

x→ x0

теорема 2 не дает ответа, если lim f ( x ) = ∞

, lim g ( x ) = 0 (неопреде-

x→

ленность вида∞

0 );

теорема

в случае,

если lim f ( x ) = ∞

x→ x0

lim g ( x ) = ∞

(неопределенность

вида

∞

и,

если lim f ( x ) = 0 ,

∞

x→ x0

lim g ( x ) = 0

(неопределенность

вида

Кроме

названных могут

x→ x0

встречаться и другие неопределенности, которые можно свести к перечисленным.

Некоторые приемы, используемые для раскрытия неопределенностей, показаны далее на конкретных примерах.

Пример 6. Найтиlim	5n2 +1
		.

n→∞	7n5 + 2n + 3

Решение. Прежде всего проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Последо-

вательности {5n2 +1} и {7n5 + 2n + 3} при n → ∞		являются беско-
нечно большими. Поэтому
lim (5n2 +1) = ∞	, lim (7n5 + 2n + 3) = ∞ .
n→∞	n→∞
Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида			∞	.
Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида				.
		∞

Для раскрытия этой неопределенности и использования теоремы о пределе отношения двух последовательностей выделим в числите-

ле и в знаменателе n в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.

∞

lim

= lim

+ 2n + 3

∞

n→∞

→∞n

7 +

= 0.

= lim

n→∞

7 +

Ответ: 0.

Пример 7. Найти lim

3n3 + 7n +1

−11n3 + 2n2

→∞

+ 3

3n3 + 7n +1

∞

Решение.

lim

−11n

+ 2n

+ 3

n→∞

∞

3 +

= lim

= −

n→∞

→∞n

−11

−11+

Ответ: −

Пример 8. Найти lim

−17n5 + 6n2 + 3n + 2

Решение.

→∞

n3 +1

−17n5 + 6n2 + 3n + 2

∞

lim

∞

n→∞

−17 +

= lim

→∞

−17 +

−17

= −∞ .

= lim

n→∞

Ответ: −∞ .

Обобщая рассмотренные примеры, можем сказать, что при на-

		Pk	(n)
хождении предела рациональной дроби				для n → ∞	возника-
хождении предела рациональной дроби		Q	(n)	для n → ∞	возника-
		m
ют три возможности:
а) еслиk < m , то предел равен 0;
б) еслиk = m ,	то предел равен отношению коэффициентов при
старших степенях;
в) еслиk > m ,	то предел равен бесконечности, причем знак бес-

конечности в каждом конкретном случае определяется особо. Такой же прием можно использовать и для раскрытия неопреде-

ленности

∞

, содержащей иррациональность.

∞

Пример 9. Найтиlim

2 4 n + 3

n→∞

5n +1

Решение. Наибольшие степени числителя и знаменателя рав-

ны

. Вынесем в числителе и знаменателе множитель n

14 и сокра-

тим дробь:

+ 3

∞

4 n 1

lim

= lim 2

n→∞

4 5n

∞

→∞n

4 n 5

4 1

= 2 lim

n→∞

4 5

Ответ: 2 .

4 5

Пример 10. Найтиlim

n5 +1 + n

n→∞

+ n

Решение. Наибольшая степень в числителе —

, наибольшая

степень в знаменателе —

. Выносим в числителе и знаменателе

5 2 и сокращаем дробь:

+ n

lim

= lim

n→∞

+ n

→∞n

4 n

= lim

n→∞

1 +

= lim

= ∞ .

n→∞

Ответ: ∞ .

Рассмотрим

примеры

определения

предела

lim ( f ( x ) − g ( x )) , когдаlim f ( x ) = ∞

lim g ( x ) = ∞ ,

по крайней ме-

x→∞

ре, одна из функций

f ( x )

и g ( x ) иррациональная.

Пример 11. lim

(

x2 +1 − x) .

x→∞

Вычисление предела связано с раскрытием неопределенности вида∞ − ∞ . Для этого необходимо избавиться от иррациональности.

Умножим и разделим выражение

x2 +1 − x на выражение

x2 +1 + x и воспользуемся формулой для разности квадратов:

lim (			x2 +1 − x) = {∞ − ∞ =}
x→∞			( x2 +1 − x)( x2 +1 + x)
= lim			( x2 +1 − x)( x2 +1 + x)			= lim		1	= 0.

		(		x2 +1 + x)			(	x2 +1 + x)
	x→∞	(		x2 +1 + x)		→∞ x	(	x2 +1 + x)
При этом lim ( x2				+1 − x) = +∞ .
		x→−∞
Ответ: 0, +∞ .				x − 3 x −1) .
Пример 12. lim ( 3				x − 3 x −1) .
			x→∞
Решение. В этом случае также имеет место неопределенность
вида ∞ − ∞	. Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком
предела,	на		неполный квадрат		суммы 3		x2	+ 3 x ( x −1) + 3 ( x −1)2 ,

и воспользуемся формулой для разности кубов.

lim	(	3	x − 3 x −1		)	= {∞ − ∞	=}
x→∞	(				)
= lim			( 3	x − 3 x −1)(3 x2			+ 3 x ( x −1) + 3 ( x − 1)2 )		=
= lim				(3 x2 + 3 x ( x −1) + 3 ( x −1)2 )					=
x→∞				(3 x2 + 3 x ( x −1) + 3 ( x −1)2 )
= lim						1		= 0.

			(3	x2 + 3 x ( x −1) + 3 ( x −1)2 )
x→∞			(3	x2 + 3 x ( x −1) + 3 ( x −1)2 )

Ответ: 0 .

При вычислении предела отношения двух многочленов при x → x0 , обращающихся в нуль при x = x0 (неопределенность ви-

да	0	),	следует сначала числитель и знаменатель дроби представить

0
в виде			произведения сомножителей, одним из которых являет-

ся( x − x0 ) . Это всегда можно сделать, так как из алгебры известно: если многочлен обращается в нуль при x = x0 , то он без остатка делится на( x − x0 ) . Затем следует сократить на( x − x0 ) .

Пример 13. lim

x2 +14x − 32

Решение.

x→

2 x2 − 6x + 8

+14x − 32

( x − 2)( x +16)

lim

= lim

( x − 2)( x − 4)

− 6x + 8

x→ 2

→x 2

= lim

x +16

2 +16

= −9.

x→

x − 4 2 − 4

Ответ: –9.

Если числитель или знаменатель дроби представляет собой иррациональные функции, которые обращаются в нуль приx = x0 , для

вычисления предела при x → x0 следует избавиться от иррациональности, как это было показано в примерах 11, 12.

Пример 14. Найтиlim

x2 +1 −1

x→ 0

+1 −1

lim

x→ 0

= lim

(

x2 +1 −1)(

x2 +1 +1)

= lim

x2 ( x2 +1 +1)

(

x2 +1 +1)

x→

→x 0 x2

Ответ: 1 . 2

6. ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

В ряде случаев вычисление пределов производят с помощью двух важных формул, которые носят название первого и второго замечательных пределов.

Первый замечательный предел:

		lim			sin	x	= 1 .
		lim			x		= 1 .
		x→	0		x
Второй замечательный предел:
		1		x		1
		1				1
lim 1	+				= lim (1 + y )				= e ,
								y
								y
x→∞		x			→ y	0

где e — иррациональное число.

Полезно также использовать следующие результаты:


lim		ln (1 + x )		= 1,
lim				= 1,
x→	0	x
lim		a x −1	= ln a,
lim			= ln a,
x→	0	x
lim		(1 + x )α −1			= α .
lim		x			= α .
x→	0	x
Первый замечательный предел позволяет раскрыть неопределен-

ность вида	0	, когда в числителе и (или) знаменателе дроби содер-

0

жатся тригонометрические или обратные тригонометрические функции.

Пример 15. Найти lim sin kx .

x→ 0 x

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20226.27 Mб9Практикум по основам программирования. Язык Паскаль.pdf
#
15.11.2022784.97 Кб0Практикум по философии. Модули 3 4 5.pdf
#
15.11.20221.51 Mб0Практикум по философии..pdf
#
15.11.202221.64 Mб65Практическая кристаллография..pdf
#
15.11.20221.6 Mб5Предварительное уплотнение образцов грунта..pdf
#
15.11.2022540.7 Кб19Пределы последовательностей и функций..pdf
#
15.11.202219.64 Mб90Прикладная гидрогазодинамика..pdf
#
15.11.20223.43 Mб4Прикладная математика механика и процессы управления..pdf
#
15.11.202218.87 Mб15Прикладная механика композитов..pdf
#
15.11.20221.94 Mб16Прикладная механика..pdf
#
15.11.20223.77 Mб23Прикладная теория колебаний..pdf