Поступательное и вращательное движения твердого тела (90

При движении тела положение точки М определяется дуговой координатой S, отсчитанной от неподвижной точки О в направлении отсчета угла поворота φ (рисунок 1.6) .

Тогда

где угол φ задается в радианах.

C

h

φ М

S

О

Рисунок 1.6 – Положение точки вращающегося тела

Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М совершит элементарное перемещение ds. Тогда скорость точки будет равна:

Таким образом, скорость точки вращающегося тела (линейная скорость)

определяется по модулю как произведение угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена линейная скорость точки по касательной к окружности, по которой движется точка М в сторону вращения тела (рисунок 1.7).

11

Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к

траектории точки в сторону углового ускорения (рисунок 1.7).

Вектор нормального ускорения точки направлен перпендикулярно касательной в сторону вогнутости кривизны траектории, т.е. от точки к оси вращения (рисунок 1.7).

Модуль полного ускорения точки М равен:

Вектор полного ускорения направлен по диагонали прямоугольника,

построенного на векторах тангенциального и нормального ускорений как на сторонах (рисунок 1.7).

12

2 Вопросы для самоконтроля

1.Какое движение тела называется поступательным?

2.Какое движение тела называется вращательным?

3.Как задать поступательное движение твердого тела?

4.Как задать вращательное движение твердого тела?

5.По каким формулам определяются модули угловой скорости и углового ускорения при вращательном движении?

6.Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела?

7.Как определяется модуль скорости точки вращающегося тела?

8.Как направлен вектор скорости точки вращающегося тела?

9.Как определить модуль тангенциального ускорения?

10.Как определить модуль нормального ускорения?

11.Как направлен вектор тангенциального ускорения точки вращающегося тела?

12.Как направлен вектор нормального ускорения точки вращающегося тела?

13.Как определить модуль полного ускорения точки вращающегося тела?

14.Как направлен вектор полного ускорения вращающегося тела?

14

3 Порядок выполнения лабораторной работы «Вращательное движение твердого тела»

При решении задач, если известен закон вращательного движения и требуется определить угловую скорость, угловое ускорение, а также определить скорость и ускорение точки вращающегося тела, необходимо придерживаться следующей последовательности:

-выбрать систему координат так, чтобы одна из осей совпадала с осью вращения (ось z);

-дифференцируя по времени угол поворота, определить модуль угловой скорости по формуле (9);

-определяя вторую производную от угла поворота по времени, найти модуль углового ускорения по формуле (10);

-определить линейную скорость точки вращающегося тела, пользуясь формулой (12), связывающей угловую скорость тела и скорость точки вращающегося тела;

-определить нормальное ускорение точки вращающегося тела по формуле (15);

-определить тангенциальное ускорение точки по формуле (14);

-по найденным нормальному и касательному ускорениям определить модуль и направление полного ускорения точки вращающегося тела.

15

4 Примеры выполнения лабораторной работы

4.1 Лабораторная работа «Вращательное движение твердого тела»

Лабораторная работа № 1. Прямоугольный треугольник D вращается по закону φ=3+4t+8t2 относительно оси z (рисунок 4.1). Определить угловую скорость, угловое ускорение тела, а также линейную скорость и полное ускорение точки М в момент времени t=2с, если ОМ=10см.

z

О

М

D

300

φ

Рисунок 4.1 – Вращение прямоугольного треугольника D

вокруг оси z

Решение:

Угловую скорость треугольника D определим по формуле (9):

d 4 16t, dt

при t=2c:

36рад/с.

16

Угловое ускорение треугольника D определим по формуле (10):

d2 16 рад/с2. dt2

Векторы угловой скорости и углового ускорения показаны на рисунке 4.2. z

Рисунок 4.2 – Векторы угловой скорости и углового ускорения

точки вращающегося тела

Траекторией движения точки М является окружность, лежащая в плоскости перпендикулярной оси вращения, радиус h которой равен кратчайшему расстоянию от точки до оси вращения (рисунок 4.3).

z

О

h М 300

φ

Рисунок 4.3 – Траектория движения точки М

17

Модуль линейной скорости точки М определим как произведение модуля угловой скорости тела на расстояние от точки М до оси вращения:

h ОМ cos300 36 10 0,866 311,76 см/с.

Вектор полного ускорения точки М определим по формуле (13):

а а аn

Тангенциальное ускорение точки М определяется по формуле (14):

а h ОМ cos300 138,56 см/с2

Нормальное ускорение точки М определяется по формуле (15):

аn 2 h 2 OM cos300 11223,36 см/с2

Модуль полного ускорения точки М определяется по формуле (16):

а а2 аn2 11224,22 см/с2.

Векторы линейной скорости и ускорений показаны на рисунке 4.4.

z

_

О _a v

_

aτ

ε

ω

Рисунок 4.4 – Векторы скорости и ускорений движения точки М

18

Лабораторная работа № 2. Груз А приводит во вращение вал радиуса r=10

см и находящийся на одной оси с валом, жестко с ним связанный, шкив 1

радиуса R1=30 см (рисунок 4.5). Груз движется по закону s 15 5t t2 см. Определить скорость и полное ускорение точки М при t=1c. Точка М находится на шкиве 2 соединенным со шкивом 1 ременной передачей, R2=15см.

Решение:

В задаче дан простейший механизм состоящий из груза А, совершающего

поступательное движение, вала и двух шкивов, совершающих вращательное

движение. Для определения скорости и ускорения точки М необходимо найти

S

А

Рисунок 4.5 – Схема механизма Зная закон движения груза, определим его скорость и ускорение:

ds

А dt 5 2t ,

При t=1с:

А 3 см/с.

19