Математика (90

Составим новую балансовую таблицу (табл. 3) в соответствии с планируемым конечным продуктом Y1, Y2:

Задача 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

21

Ответ: x = 1; y = 2; z = -1; t = -2.

Задача 4. Исследовать функцию у(х) = х3/3 – х + 3 и построить график.

Рис. 1

Рис. 2

22

3x2 cos2x 2x3 sin 2x.

2x3 sin 2x 6x 4x3 cos2x 12x2 sin 2x.

Задача 6. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Выражение, стоящее под знаком предела при х , есть неопределен-

ность . Для вычисления данного предела разделим числитель и знаменатель на переменную в наибольшей степени, которая содержится в дроби, то есть

Пределы остальных слагаемых в числителе и знаменателе равны нулю.

23

Выражение, стоящее под знаком предела при х=0, есть неопределенность

вида 00 , для раскрытия неопределенного выражения умножим числитель и зна-

менатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на 5 х 5 х , тогда

В последнем выражении мы воспользовались формулой первого замеча-

Задача 7. Студент положил в банк 1500 долларов, банк выплачивает 8%

годовых. Какой будет сумма вклада через 2,5 года? Выгоднее ли студенту, если банк начисление процентов производит помесячно?

Решение:

Начисление по формуле сложных процентов производят по формуле

An = A0(1+i/100)n, где A0 – первоначальная сумма вклада, i – годовая процентная ставка, n – период начисления.

А2,5 = 1500 (1 + 0,08)2,5 = 1818,24 долларов.

Если же начисляются проценты помесячно, а 2,5 года составят 30 меся-

цев, то А30 = 1500 (1 + 0,08/12)30 = 1830,89 долларов.

Таким образом, студенту выгоднее, если банк начисляет проценты поме-

сячно.

24

Задача 8. Объем сбыта продукции фирмы х зависит от назначаемой цены у по формуле: х(у) = 28 - у. Зависимость издержек от объема выпуска дается формулой С (х) = х3 /3 – 5х2 + 37х + 15. Найти оптимальный объем производ-

ства и максимальную величину прибыли.

Решение:

Если у – цена продукции, а х – объём сбыта, то выручка R будет произ-

ведением х на у, то есть R = ху. Из условия задачи у = 28 – х, поэтому R = (28 – х)х = 28х - х2. Вычислим прибыль фирмы П = R – С(х) = 28х – х2 –

(х3 /3 – 5х2 + 37х + 15 ) = х3 /3 – 4х2 - 9х – 15. Максимизируем прибыль: найдем производную П' = х2 -8х – 9. Приравняем её к нулю, получим квадратное уравнение х2 - 8х – 9 = 0, корни которого х1 = 9 и х2 = -1. Второй корень не удовлетворяет условию задачи, а первый корень х = 9 есть точка максимума функции прибыли R, так как производная П' меняет свой знак при «переходе» через эту точку с «+» на «-». Итак, если объём продукции фирмы будет 9

условных единиц, то прибыль будет наибольшей. Пmax = П( 9) = 93/3 -4*9 – 9* 9 – 15 = 111 (ден. ед.).

25

Библиографический список

1. Высшая математика для экономистов : учебник для студ. вузов по эконо-

мическим специальностям / под ред. Н. Ш. Кремера. – 3-е изд. – М. : Юнити,

2010. – 479 с. – (Золотой фонд российских учебников). – ISBN 978-5-2380-0991-9.

2.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко. – 6-е изд. – М. : Оникс, 2006. – Ч. 1. – 304 с. : ил. – (Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации).

3.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко. – 6-е изд. – М. : Оникс, 2006. – Ч. 2. – 416 с. : ил. – (Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации).

4.Практикум по высшей математике для экономистов : учебное пособие

/под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2005. – 423 с. – (Доп. УМО).

5.Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике : учебное пособие

/В. С. Шипачев. – 4-е изд., стер. – М. : Высшая школа, 2004. – 304 с. : ил. – (Ре-

26

Ведущий редактор

Е. В. Кондаева

Старший корректор

Е. А. Феонова

Ведущий инженер

Г. А. Чумак

Подписано в печать 31.08.2012 г. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 1,6. Тираж 50 экз. Заказ 150/950.

Издательство Орского гуманитарно-технологического института (филиала) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

462403, г. Орск Оренбургской обл., пр. Мира, 15 А