Компьютерные лабораторные занятия по теоретической механике. Ч. 2 (110

получаем ответ (первое уравнение запомнили в переменной eq1):

p2'

H('; p') = 2(J + ml2) mgl cos ';

p2'

' = J + ml2 ; p' = mgl sin ':

Рассмотрим случай малых углов '. Для этого разложим второе урав-

нение в ряд Тейлора, оставив только слагаемое первого порядка малости:

> eq2:ratdisrep(taylor(%,phi,0,2));

Для решения системы дифференциальных уравнений требуется за- менить ' è p' функциями от времени:

> eqq1:subst([phi=u(t),pp=pu(t)],eq1);

eqq2:subst([phi=u(t),pp=pu(t)],eq2);> assume(g>0,m>0,J>0,l>0);

desolve([eqq1,eqq2],[u(t),pu(t)]);

Выражение получилось громоздкое. Сгруппируем слагаемые, а также объединим радикалы:

> combine(rootscontract(expand(partfrac(%,J))));

Ответ получим в виде

Задача 9.2

Построить функцию Гамильтона и выписать канонические уравнения для ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого имеет

âèä

L(x; x) = x2 !2x2 x3 + xx2;

2 2

21

Задача 9.3

Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения для материальной точки массы m, движущейся в однородном поле тяжести, в

декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Ответ для декартовой системы координат:

Задача 9.4

Функция Лагранжа свободной релятивистской частицы с массой покоя m имеет вид

p

L = mc2 1 v2=c2;

ãäå c скорость света в вакууме. Составить функцию Гамильтона и проверить нерелятивистский предел (p mc).

Ответ:

22

Задача 9.5

Известна функция Лагранжа тяжелого симметричного волчка, записанная через углы Эйлера:

L('; ; ; '; _; _) = J1 + ml2 _2 + '2 sin2 + 2

+J23 ' cos + _ 2 mgl cos :

Найти функцию Гамильтона. Ответ:

p2

+2J3 + mgl cos :

Задача 9.6

Функция Лагранжа нерелятивистской заряженной частицы массы m заряда e в электромагнитном поле имеет вид

L = mv2 2 + ec (Av) e';

ãäå ' è A скалярный и векторный потенциалы поля соответственно. Найти функцию Гамильтона.

Задача 9.7

Точка движется по линии пересечения неподвижной сферы и колеблющейся горизонтальной плоскости. Найти функцию Гамильтона и решить канонические уравнения, если известна функция Лагранжа:

L = ma2 2 '2 cos2 ! t:

Указание: для решения дифференциальных уравнений использовать команды ode2 è ic1.

23

9.2. Скобки Пуассона

Задача 9.8

Вычислить скобку Пуассона

f(ap); (br)g ;

ãäå a è b постоянные векторы. Решение.

Запрограммируем скобку Пуассона функций fa è fb согласно опреде-

где обобщенные координаты fqg = fx; y; zg, а соответствующую функ-

цию назовем PBr :

> PBr(fa,fb):=

diff(fa,px)*diff(fb,x)-diff(fa,x)*diff(fb,px) +diff(fa,py)*diff(fb,y)-diff(fa,y)*diff(fb,py)

+diff(fa,pz)*diff(fb,z)-diff(fa,z)*diff(fb,pz);

Введем компоненты всех необходимых векторов:

> r:[x,y,z]; p:[px,py,pz]; a:[ax,ay,az]; b:[bx,by,bz];

Скалярное произведение зададим точкой:

> PBr(a.p,b.r);

Maxima выдаст выражение axbx +ayby +azbz, что, очевидно, является скалярным произведением векторов a и b.

Ответ:

(ab):

Задача 9.9

Проверить следующие свойства скобок Пуассона:

ff1; f2g + ff2; f1g = 0; ff; cg = 0:

Решение.

Используем функцию PBr из предыдущей задачи.

> depends([f,f1,f2],[x,y,z,px,py,pz]);

> PBr(f1,f2)+PBr(f2,f1);

> PBr(f,c);

Задача 9.10

Проверить следующие свойства скобок Пуассона:

24

Задача 9.11

Вычислить скобки Пуассона:

ãäå a постоянный вектор. Ответ:

a) 2r; á) 2p; â) a; ã) a; ä) 2a(ar); å) 2a(ap):

Задача 9.12

Вычислить скобки Пуассона:

Lk; p2 ; Lk; r2 ; fL; (rp)g ;

ãäå Lk одна из проекций Lx, Ly, Lz. Ответ: все равны нулю.

Задача 9.13

Доказать тождества:

ãäå L вектор момента импульса частицы; ex, ey, ez

Задача 9.14

Вычислить скобку Пуассона от двух произвольных компонент момента импульса:

fLk; Llg :

Ответ:

fLx; Lxg = 0; fLy; Lyg = 0; fLz; Lzg = 0; fLx; Lyg = Lz; fLy; Lzg = Lx; fLz; Lxg = Ly:

25

Задача 9.15

Доказать тождества:

fL; Lxg = [L ex] ; fL; Lyg = [L ey] ; fL; Lzg = [L ez] :

Задача 9.16

Вычислить скобки Пуассона:

Lx; L2 ; Ly; L2 ; Lz; L2 :

Ответ: все равны нулю.

Задача 9.17

Вычислить скобки Пуассона

fLx; Hg ; fLy; Hg ; fLz; Hg ;

ãäå H функция Гамильтона частицы в поле с потенциальной энергией

9.3. Канонические преобразования

Задача 9.18

Зная зависимость действия от координат и времени (до и после преобразования)

получить формулы канонических преобразований для четырех представлений производящей функции

F1(q; Q; t); F2(q; P; t); F3(p; Q; t); F4(p; P; t):

Решение.

Ограничимся случаем одной обобщенной координаты q и зададим свойства действий S è S0 в виде подстановочной функции (Su):

> depends(S,[q,t]); depends(SS,[Q,t]);

> Su(f):=subst([diff(S,q)=p,

diff(S,t)=-H,diff(SS,Q)=P,diff(SS,t)=-HH],f);

26

Рассмотрим полный дифференциал следующей функции F1 = S S0.

> F1:S-SS$ Su(diff(F1));

Maxima выдаст выражение, содержащее функции del, так обознача- ются дифференциалы переменных:

P del(Q) + (HH H) del(t) + p del(q):

Отсюда делаем вывод, что F1 является функцией переменных q è t. Получим соответствующие частные производные:

> Su(diff(F1,q)); Su(diff(F1,Q)); Su(diff(F1,t));

Остальные представления получаются рассмотрением вспомогательных функций F2, F3 F4:

> F2:F1+Q*P$ Su(diff(F2));

> Su(diff(F2,q)); Su(diff(F2,P)); Su(diff(F1,t));

> F3:F1-q*p$ Su(diff(F3));

> Su(diff(F3,p)); Su(diff(F3,Q)); Su(diff(F3,t));

> F4:F1+Q*P-q*p$ Su(diff(F4));

> Su(diff(F4,p)); Su(diff(F4,P)); Su(diff(F4,t));

Результат легко обобщается на случай нескольких обобщенных координат q .

во всех случаях

H0 = H + @F@ti :

Задача 9.19

Применить каноническое преобразование, соответствующее производящей функции

F (q; P; t) = qP + (aq bP )t;

ãäå a è b постоянные, к одномерному движению свободной частицы.

Получить функцию Гамильтона и проинтегрировать уравнения Гамильтона в новых координатах.

27

Решение.

Введем проиводящую функцию и функцию Гамильтона свободной частицы:

> F:q*P+(a*q-b*P)*t;

> H:p^2/2/m;

Формулы канонических преобразований возьмем из представления F2 предыдущей задачи:

> eqa:diff(F,q)=p; eqb:diff(F,P)=Q; eqc:diff(F,t)=HH-H;

> solve([eqa,eqb,eqc],[q,p,HH]);

Новая функция Гамильтона находится в правой части третьей переменной первого решения:

> Hnew:part(%[1][3],2);

> partfrac(Hnew,m);

Уравнения Гамильтона имеют вид:

> eq1:'diff(Q,t)=diff(Hnew,P);

> eq2:'diff(P,t)=-diff(Hnew,Q);

Зададим новые обобщенные координаты и импульсы, как функции времени QQ(t) P P (t) и решим полученную систему уравнений:

> eqq1:subst([Q=QQ(t),P=PP(t)],eq1);

> eqq2:subst([Q=QQ(t),P=PP(t)],eq2);

> desolve([eqq1,eqq2],[QQ(t),PP(t)]);

Задача 9.20

Применить каноническое преобразование, соответствующее произво- дящей функции F = m!2 q2 ctg Q;

к одномерному гармоническому осциллятору массы m с частотой !. Ïî-

лучить функцию Гамильтона и проинтегрировать уравнения Гамильтона в новых координатах. Для упрощения тригонометрических функций рекомендуется использовать команду trigreduce.

Ответ:

H0 = P !; Q = ! t + Q0; P = P0:

28

Задача 9.21

Применить каноническое преобразование, соответствующее производящей функции

F = m!(t) q2 ctg Q;

2

к одномерному гармоническому осциллятору массы m с переменной ча- стотой !(t). Получить функцию Гамильтона и уравнения Гамильтона в новых координатах.

Задача 9.22

Найти функцию Гамильтона свободной частицы после применения преобразования

Q = a11q + a12p; P = a21q + a22p;

при условии, что оно является каноническим. Решение.

> QQ:a11*q+a12*p; PP:a21*q+a22*p;

Выразим функцию Гамильтона свободной частицы через новые переменные:

> eqH:HH=p^2/2/m;

> solve([eq1,eq2,eqH],[q,p,HH]);

> H:part(%[1][3],2);

Используем инвариантность скобок Пуассона при канонических пре-

образованиях:

fP; Qg = @P@p @Q@q @Q@p @P@q = 1:

> PBr:diff(PP,p)*diff(QQ,q)-diff(QQ,p)*diff(PP,q)$

> eqi:PBr=1; eq1:Q=QQ; eq2:P=PP;

Упростим выражение с учетом условия каноничности, используя команду scsimp.

> factor(scsimp(H,eqi));

29

9.4. Метод Гамильтона-Якоби

Задача 9.23

Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для материальной точки массы m, движущейся по гладкой наклонной плоскости,

составляющей угол с горизонтом.

Указание: Выбрать декартовы координаты (x; y) на плоскости, направив ось Oy по горизонтали.

Решение.

Функция Лагранжа такой системы имеет вид:

L = m2 x2 + y2 mgx sin :

Найдем функцию Гамильтона методом, изученным ранее.

> eq1:px=diff(L,'diff(x,t)); eq2:py=diff(L,'diff(y,t));

> eqH:Ham=px*'diff(x,t)+py*'diff(y,t)-L;

> s:solve([eq1,eq2,eqH],['diff(x,t),'diff(y,t),Ham]);

> HH:expand(part(s[1][3],2));

H = p2x + p2y + mgx sin :

2m

Этой функции соответствует уравнение Гамильтона-Якоби

> eqHJ:subst([px='diff(S,x),p='diff(S,y)],

HH+'diff(S,t)=0);

Так как уравнение не содержит переменные t è y в явном виде, то решение ищем в виде

S(x; y; t) = Et + py0 + S0(x):

> eqS:S=-E*t+py0*y+S0(x);

С учетом этого перепишем и решим дифференциальное уравнение, предварительно выразив производную:

> subst(eqS,eqHJ)$ eq:ev(%,diff);

> eqv:solve(eq,diff(S0(x),x));

> ode2(eqv[1],S0(x),x);

> subst(%,eqS);

30