Методы математической физики. Интегральные уравнения (90

Умножая тождество ((14) последовательно на qi (x), i =1,2...,n, и далее интегрируя обе части на отрезке [a, b], с учетом (15) получим для неизвестных чисел ci следующую систему линейных алгебраических уравнений:

a

Тогда система (16) запишется в виде

n

ci −λ ∑αijc j =γi , i =1,2,...,n. (19) j =1

Если с1, с2, …, сn – какое-нибудь решение системы (19), то в соответствии с (14) функция

n

ϕ(x) = f (x) +λ ∑ci pi (x) (20) i =1

будет решением исходного интегрального уравнения (13). Если же система (19) несовместна, то и интегральное уравнение не имеет решения.

Этот метод применим, конечно, и в том частном случае, когда уравнение (13) однородное, т.е. f (x) = 0 .

Найти все решения или установить неразрешимость заданных уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром:

11

c1 (−2) + c2 1 = −π .

Ее общее решение: c1 = C, c2 = −π +2C , где С – произвольная постоянная.

Следовательно, любая функция вида

ϕ(x) = sin 2x + πC sin x −π + 2C = sin 2x +C(π1 sin x + 2) −π

есть решение заданного уравнения и других решений это уравнение не имеет.

15. Решить уравнение

1

y(x) −2∫ xt y(t)dt = x.

0

Тогда получаем уравнение c −c = 25 .

Последнее уравнение не имеет решения относительно с, следовательно, исходное интегральное уравнение также не имеет решения.

12

Ответ: ϕ(x) = cos x +sin x.

22.y(x) − 4 π∫cos2 (x −t) y(t)dt = sin 2x.

π0

Ответ: Решения нет.

Ответ: y(x) =1 + x.

1π

24.y(x) −π −∫πcos(x −t) y(t)dt = 0.

Ответ: y(x) = C1 cos x +C2 sin x.

1

25. y(x) −3∫(x2t2 −4xt +1) y(t)dt = 2π 2 cos 2πx.

0

Ответ: y(x) = 2π 2 cos2πx + 53 (2x2 −1).

13

1

26. y(x) − ∫(xt + x2 ) y(t)dt = 0.

−1

Ответ: y(x) = 0.

3.2. Решение уравнений Вольтера 2-го рода с вырожденным ядром.

Пусть исходное интегральное уравнение (2) при λ =1имеет вид:

x

un = ∫qn (t)ϕ(t)dt,

0

и подставляя их в (22), заключаем, что решение интегрального уравнения (21) имеет вид

i =1

Далее, дифференцируя соотношения (23) и подставляя вместо ϕ(x) выражение (24), получаем для неизвестных функций ui (x) систему дифференциальных

уравнений

n

u'i = q1(x) f (x) + ∑q1(x) pi (x)ui (x), i =1

. . . . . . . . . . . .

n

u'n = qn (x) f (x) + ∑qn (x) pi (x)ui (x). i =1

Из (23) при x = 0 находим начальные условия: ui (0) =... = un (0). Определив функции ui (x) и подставив их в (24), получим решение ϕ(x) интегрального уравнения (21).

14

27. Решить интегральное уравнение

ϕ(x) =1 + x∫ ch yϕ( y)dy. 0 ch x

Р е ш е н и е:

x

28. ϕ(x) = e x + ∫ϕ( y)dy.

0

Ответ: ϕ(x) = e x (x +1).

x

29. ϕ(x) = x −1 + ∫(x − y)ϕ( y)dy.

0

Ответ: ϕ(x) = −e−x .

x

31. y(x) =1 + ∫t y(t) dt.

0

Ответ: y(x) = e x 2 / 2 .

15

4. Понятие итерированного ядра и резольвенты. Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода с

помощью резольвенты

Часто вместо одного уравнения рассматривают семейство уравнений

a

соответствующих различным значениям числового параметра λ. Предполагается, что λ фиксировано. Будем решать уравнение (25) методом последова-

тельных приближений при условии выполнения неравенства (5) λ < M1 . Взяв в качестве нулевого приближения ϕ0 (x) = f (x), получим

16

a

Ядра K j (x, y) называются итерированными (повторными) ядрами. Пользу-

ясь понятием итерированных ядер, последовательным приближениям (26)-(28) можно придать вид

сходится равномерно при a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ b к функции R(x,t,λ) , называемой резольвентой ядра K(x,t). Следовательно, (30) в пределе при n → ∞ переходит в формулу

a

выражающую решение интегрального уравнения через резольвенту.

33. С помощью итерированных ядер найти резольвенту и решение интегрального уравнения

основании (29) получаем

17

случае область сходимости ряда Неймана для резольвенты шире, чем это гарантируется условием

Методом итерированных ядер найти резольвенту и решение заданных интегральных уравнений:

34. ϕ(x) − 1 π∫ϕ( y)dy = sin x. 2π 0

Ответ: R(x, y, λ) = 1 −1πλ , ϕ(x) = sin x.

18

y(x) =1 +2sin x.

5. Характеристические числа и собственные функции. Теоремы Фредгольма

5.1. Собственное число (значение) и собственный вектор матрицы.

если AX = λX ,

т.е. если после преобразования вектора X с помощью матрицы A получаем вектор Y = AX , параллельный вектору A . λ - называется собственным числом матрицы A .

AX −λX = 0 или ( A −λE) X = 0.

Получаем однородную систему уравнений

19

или

Для того чтобы однородная система (36) имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю.

Это характеристическое уравнение матрицы A . Из этого характеристического уравнения находятся собственные значения λ матрицы A . Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор, координаты которого определяются из системы (36) при соответствующем λ.

5.2. Характеристические числа и собственные функции интегрального уравнения.

Значение параметра λ, при которых однородное уравнение Фредгольма

a

имеет ненулевые (нетривиальные) решения ϕ(x) ≠ 0 , называются характеристическими числами этого уравнения или ядра K(x, y) , а каждое ненулевое

решение – собственной функцией, соответствующей характеристическому числу λ. Заметим, что число λ = 0 не является характеристическим, т.к. при λ = 0 уравнение (38) имеет лишь нулевое решение. Если λ - характеристическое число, то число μ =1/ λ называется собственным числом интегрального урав-

нения. При этом μ ≠ 0.

Из результатов п. 3. следует, что в случае уравнения с вырожденным ядром

всякое решение имеет вид

n

ϕ(x) = λ ∑ci pi (x) , (40) i =1

где C = (c1,c2 ,...,cn )T - решение однородной системы

n

ci −λ ∑αijc j = 0, i =1,2,...,n j =1

или в матричной форме

20