Механика. часть 4 динамика твердого тела Практикум

направлению (коллинеарны), первое слагаемое правой части последнего равенства равно нулю. Поэтому

Производная по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета равна моменту действующей силы относительно этой точки О.

Из уравнения моментов (5) следует, что, если M 0 , то L const . Если относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого же промежутка времени.

Рассмотрим вращение частицы массой m под действием силы F по окружности радиусом r. Тогда радиус-вектор частицы относительно центра

11

Произведение массы частицы на квадрат расстояния до оси вращения частицы называется моментом инерции I частицы относительно данной оси вращения. Момент инерции – скалярная величина:

вращательного движения. Момент вращающей силы относительно центра вращения, приложенный к телу, равен произведению момента инерции тела относительно данного центра вращения на угловое ускорение.

Угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом M , зависит от момента инерции тела I: чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Соотношение (9) называют также вторым законом Ньютона для вращательного движения.

Момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства при поступательном движении. Однако, в отличие от мас-

сы, момент инерции тела может иметь множество значений, соответствующих различным положениям центра вращения. Поэтому при рассмотрении момента инерции необходимо указывать, относительно чего он рассчитан.

ОПИСАНИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПРИБОРА

Для изучения вращательного движения используют маятник Обербека (рис. 2). Основной его частью является крестообразный маховик 1, закрепленный на горизонтальной оси. На спицы маховика надеты одинаковые цилиндры 3, положение которых можно изменять, перемещая их вдоль спиц. С крестообразным маховиком жестко закреплен шкив 4 с намотанной

12

на него нитью 5. Нить перекинута через блок 6. К концу нити привязан постоянный груз 7, на который можно помещать другие грузы 2.

Рис. 2. Маятник Обербека

Если, намотав нить на шкив, поднять груз на высоту h, а затем отпустить, позволив ему свободно двигаться, то под действием вращающего момента силы натяжения нити маховик начинает вращаться. Пренебрегая силами трения и массой блока, можно записать уравнения движения груза и

Спроектировав первое равенство (10) на ось координаты, направленную вертикально вниз, а второе равенство (11) на ось координаты, направ-

здесь M = R·T, где R – радиус шкива, T – сила натяжения нити, a – ускорение груза, m – масса груза, ε – угловое ускорение крестообразного маховика, I – момент инерции маховика.

13

Решая систему уравнений (10`) и (11`) и учитывая, что

где t – время движения груза, получим

Высота h измеряется по шкале на стойке прибора как расстояние между кронштейнами фотоэлементов, причем нижний кронштейн неподвижно установлен на нулевом делении. С помощью регулируемых ножек стойку прибора приводят в вертикальное положение, одновременно проверяя, не задевают ли грузы во время движения корпус верхнего и нижнего фотоэлектрического датчика. Платформу с грузами в верхнем положении устанавливают так, чтобы ее нижний край совпал с чертой на корпусе верхнего фотоэлектрических датчиков, но не прикрывал его окошка, что может случиться, если нарушена вертикальность прибора.

При нажатии кнопки «сеть» загорается осветитель фотодатчиков и индикатор секундомера. В верхнем положении вся система удерживается механическим тормозом в виде фрикционной муфты, которую электромагнит прижимает к маховику.

Нажатие кнопки «пуск» приводит к выключению электромагнита, и платформа с грузом начинает двигаться, перекрывая окошко верхнего фотодатчика. При этом включается секундомер. В конце своего движения платформа с грузом перекрывает окошко нижнего фотодатчика и этим выключает секундомер и включает тормозящее устройство.

Нажатие кнопки «сброс» приводит к обнулению индикатора и выключению тормоза, чтобы можно было поднять груз в верхнее положение. Отжатие кнопки «пуск» включает тормоз, и прибор снова готов к очередному опыту.

Параметры установки:

диаметры шкивов d = (0,0838 ± 0,0001) м и d = (0,0418 ± 0,0001) м,

расстояние от оси до центра цилиндра, расположенного на минимальном расстоянии от оси l1 = (0,0595 ± 0,0001) м,

расстояние от оси до центра цилиндра, расположенного на максимальном расстоянии от оси l2 = (0,2395 ± 0,0001) м,

масса одного цилиндра m0 = (0,1890 ± 0,0001) кг,

масса платформы m1 = (0,0053 ± 0,0001) кг,

масса каждого добавочного груза m = (0,0410 ± 0,0001) кг.

14

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 1. Проверка пропорциональности углового ускорения моменту силы при постоянном моменте инерции

Упражнение 1

1.Расположить цилиндры на стержнях на минимальном расстоянии от оси вращения.

2.Установить указанное преподавателем значение высоты h.

3.Используя пустую платформу в качестве груза, измерить время ее движения с этой высоты h.

4.Повторить опыт 5 раз и вычислить среднее значение времени движения платформы.

5.Добавляя на платформу добавочные грузы, повторить измерения для пяти значений массы.

6.Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1.

7. Вычислить угловое ускорение и момент силы для каждого значения массы. Данные занести в таблицу 2.

8. На миллиметровой бумаге построить график зависимости углового ускорения от момента силы. Вычислить котангенс угла наклона графика

(ctgα1).

Упражнение 2

1.Расположить цилиндры на стержнях на максимальном расстоянии от оси вращения.

2.Повторить все измерения, описанные в первом упражнении, для тех же масс груза и той же высоты h.

15

3.Вычислить значения углового ускорения и момента силы для каждой массы груза. Данные занести в таблицы, аналогичные таблицам 1 и 2.

4.На миллиметровой бумаге построить график зависимости углового ускорения от момента силы. Вычислить котангенс угла наклона графика

(ctgα2).

5.Вычислить разность (ctgα2 – ctgα1).

6.Учитывая, что момент инерции маятника в первом упражнении был

равен I1 I0 4 m0 l12 , а во втором случае он был I2 I0 4 m0 l22 , вычислить изменение момента инерции I 4 m0 l22 l12 .

7. Рассчитать погрешность изменения момента инерции и разности котангенсов углов наклона графиков. Сравнить значения (ctgα2 – ctgα1) и

I 4 m0 l22 l12 .

8. Сделать выводы.

Задание 2. Проверка пропорциональности углового ускорения моменту силы при постоянном моменте инерции.

Упражнение 1

Произвести проверку соотношения

1 M1

1/ M1/

для цилиндров, расположенных на минимальном расстоянии от оси вращения.

1. Сдвинуть цилиндры на стержнях на минимальное расстояние от

оси.

2.Установить на платформе груз, масса которого указана преподавателем, и установить платформу на высоте h.

3.Нажав на кнопку «пуск», измерить время движения платформы до нижней точки. Опыт повторить 5 раз.

4.Вычислить среднее время движения платформы.

5.Используя формулы (12) и (13), рассчитать угловое ускорение ε1 и момент силы М1. Данные занести в таблицу 3.

Та б л и ц а 3

16

7. Рассчитать угловое ускорение 1/ и момент силы M1/ .

8.Вычислить отношения / и MM1/ .

11

9.Рассчитать погрешности определения этих отношений.

10.Сравнить отношения и сделать выводы.1

Упражнение 2

Произвести проверку соотношения

для цилиндров, расположенных на максимальном расстоянии от оси вращения.

1.Расположить цилиндры на максимальном расстоянии от оси.

2.Проделать измерения, рассмотренные в пунктах 2–6 упражнения 1 для тех же грузов и той же высоты h.

3.Вычислить угловое ускорение 2 и 2/ и момент силы M2 и M2/ . Данные записать в таблицу, аналогичную таблице 3.

5. Рассчитать погрешности определения этих отношений.

6. Сравнить эти отношения и сделать выводы.

Упражнение 3

Вычислить моменты инерции маятника и проверить соотношение:

I2ср I1ср 4 m0 l22 l12 .

1. Используя результаты первого упражнения, вычислить моменты инерции крестообразного маятника при сдвинутых цилиндрах:

2. Используя результаты второго упражнения, вычислить моменты инерции крестообразного маятника при раздвинутых цилиндрах:

17

5. Сравнить теоретическое и экспериментальное значение I и сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется моментом импульса? Как он направлен? В каких единицах он измеряется?

2.Вывести уравнение моментов.

3.Что называется моментом силы? Как он направлен? В каких единицах он измеряется?

4.Вывести основное уравнение динамики вращательного движения.

5.Привести описание прибора. Вывести рабочие формулы.

6.Вывести формулы для расчета погрешностей результатов измерений, выполненных в данной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1.Сивухин Д.В. Общий курс физики / Д.В. Сивухин. – М. : Физмат-

лит, 2005. – Т. 1. – 559 с.

2.Савельев И.В. Курс физики / И.В. Савельев. – СПб. : Лань, 2004. –

Т. 1. – 432 с.

3.Стрелков С.П. Общий курс физики. Механика / С.П. Стрелков. –

М. : Наука, 1975. – 560 с.

4.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев. – М. : Мир и образование, 2003. – 432 с.

18