ИздательствоВоронежский государственный университетГод2016Страниц25Уровень образованияБакалавриат, Специалитет. Теория упругости

При отсутствии массовых сил все напряжения являются бигармоническими функциями.

2.5.Общие теоремы упругости

2.5.1.Теорема Клапейрона

Пустьупругоетело, котороеограниченоповерхностьюS иимеетобъемV, находится в равновесии под действием массовых сил и поверхностных сил

. Работаэтихсилнапроизведенныхимиперемещенияхбудетравна

Последний интеграл преобразуем по формуле Остроградского:

Преобразуем интеграл в правой части последнего равенства:

Теперь равенство (2.5.1) приведем к виду

Приняв во внимание дифференциальные уравнения равновесия и формулу Грина, получим

Равенство (2.5.5) представляет собой теорему Клапейрона для любого упругого тела. Здесь – упругий потенциал, который при изотермическом деформировании определяется свободной энергией = − и представляет собой удельную работу деформации.

Если упругое тело подчиняется закону Гука, то упругий потенциал является квадратичной функцией . В этом случае, учитывая уравнения

равновесия и формулу Клайперона, равенство (2.5.4) приведем к виду

Следовательно, согласно теореме Клайпейрона для линейноупругого тела работа деформации равна половине работы внешних сил на произведенных ими перемещениях.

2.5.2. Теорема о единственности решения

Как уже известно, при решении конкретной задачи полуобратным методом Сен-Венана задаются, например, некоторыми компонентами тензора

напряжений из каких-либо интуитивных соображений, а затем из основных уравнений определяют остальные компоненты . При этом может возникать

естественный вопрос об однозначности полученного решения. Этот вопрос, возникающий также при решении обратной задачи, снимается теоремой Кирхгофаоединственностирешенияосновныхзадачстатикиупругоготела.

Теорема Кирхгофа, как и равенство (2.5.6) теоремы Клапейрона, базируется на предположениях, что упругое тело подчиняется закону Гука, а перемещения являются однозначными малыми.

Доказательство теоремы о единственности решения проведем от противного, ссылаясь при этом на равенство (2.5.6) теоремы Клапейрона, которое, учитывая (2.5.1), представим в следующем виде:

Предположим, что одна из трех сформулированных основных задач статики упругого тела имеет два различных решения

13

которые удовлетворяют основным уравнениям при одинаковых граничных условиях и массовых силах. В частности, должны подчиняться уравнениям

равновесия функции ′ и ′′ , т.е.

и должны выполняться граничные условия: а) в случае задачи первого типа

б) в случае задачи второго типа

в) в случае задачи третьего типа

Рассмотрим разности допускаемых двух решений (2.5.8):

Граничные условия для функций (2.5.10) в случае основных задач первого, второго и третьего типов соответственно принимают вид:

a)| = 0;

Во всех трех случаях выражения в (2.5.12) обращаются в нули, так как либо = 0 на S или на , либо = 0 на S или на , т. е. для функций (2.5.10) будем иметь

14

Но упругий потенциал представляет собой положительно определенную квадратичную функцию компонент , поэтому равенство (2.5.13)

возможно только в случае, если во всех точках области , занятой телом,

= 0

отличными от нуля и представлять собой «жесткое смещение» упругого тела. Если по условию задачи исключается «жесткое смещение», то и

= 0, т. е. ′ = ′′.

Таким образом, предположение, что поставленная задача может иметь различные решения, опровергается, и, следовательно, теорема о единственности решения основных задач трех типов доказана. Однако эта теорема утверждает единственность решения, если оно существует.

Доказательство теоремы существования решения задач теории упругости представляет значительные математические трудности.

2.5.3. Теорема Бетти

Рассмотрим линейно-упругое тело в двух состояниях.

Пусть в первом состоянии тело находится под действием массовых сил ′ и поверхностных сил ′, которые вызывают напряженно-

поверхностных сил ′′, а напряженно-деформированное состояние тела определяется функциями ′′, ′′ , ′′ .

Теорема Бетти утверждает: работа сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния.

Принимая во внимание формулу Бетти, из сопоставления последних равенств (2.5.14) и (2.5.15) приходим к заключению, что

=.

Спомощью теоремы Бетти весьма просто можно решить некоторые задачи об упругом теле, находящемся в равновесии под действием массовых

сил и поверхностных . В качестве первого состояния рассматриваемого тела примем некоторое простейшее его напряженно-деформированное состояние, а за второе состояние – под действием заданных сил и .

Теорема Бетти имеет весьма общий характер. Она позволяет построить методы интегрирования уравнений теории упругости, основанные на использовании функции Грина.

3. ОСНОВНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 3.1. Полуобратный метод Сен-Венана

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы, например, метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана.

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора

торых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами Митчелла. В этих случаях следует сделать иные предположения о значениях части компонент ( ), исходя, например, из известных ре-

шений аналогичных задач. В этом смысле полуобратный метод СенВенана не является совершенным. Однако, когда сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений или для некоторых компонент вектора перемещения, если задача решается в перемеще-

16

ниях, не противоречат всем основным уравнениям граничной задачи, то полученное решение полуобратным методом является точным и на основании теоремы о единственности однозначным.

Сен-Венан применил (1855 г.) полуобратный метод при решении задачи об упругом равновесии призматического бруса произвольного поперечного сечения, находящегося под действием поверхностной нагрузки на его торцах. Эта задача, представляющая большой практический интерес (кручение и изгиб призматического бруса), называется задачей Сен-Венана.

3.2. Принцип Сен-Венана

Существенныематематическиеосложненияпри решениипрямойзадачи возникают вследствие необходимости удовлетворения конкретным ее граничным условиям. Вместе с тем из соображений физического характера ясно, что точное осуществление распределения поверхностных сил на некоторых участках поверхности тела, на которых это распределение предполагается заданнымкакопределенныеграничныеусловия, практическиврядлиосуществимо.

Во многих задачах поверхностные силы, приложенные к некоторым участкам поверхности тела, известны только суммарно, т.е. как их главный вектор и главный момент, а закон распределения поверхностных сил известен лишь примерно или вообще неизвестен. Таким образом, наряду с математическими трудностями, с которыми приходится встречаться при решении граничных задач теории упругости, имеют место затруднения и в точной формулировке граничных условий. Эти трудности значительно уменьшаются благодаря так называемому принципу Сен-Венана, который опубликован в известных мемуарах Сен-Венана «О кручении призм» [5].

Принцип Сен-Венана утверждает, что если к небольшому участку поверхности тела приложена система сил, главный вектор и главный момент которой равны нулю, то эта система сил вызывает локальное напря- женно-деформированное состояние, быстро убывающее по мере удаления от участка приложения сил.

P

P

Рис. 3.1. Деформация каучукового стержня

17

В порядке подтверждения этого принципа Сен-Венан ссылается на свои опыты с каучуковыми стержнями. На рис. 3.1 приведен один из примеров, когда две равные и противоположно направленные силы, действуя на каучуковый стержень, вызывают по существу лишь его местную деформацию, а на основной своей длине стержень практически не деформируется.

Принцип Сен-Венана можно сформулировать также следующим образом: если некоторую совокупность поверхностных сил на сравнительно малой части поверхности тела заменить статически эквивалентной системой сил, действующих на той же части поверхности, то такая замена сил практически не изменит напряжений и перемещений в точках, удаленных от площадки приложения сил на расстояния, не меньшие наибольшего линейного размера этой площадки.

Принцип Сен-Венана позволяет удовлетворять граничные условия интегрально, т. е. удовлетворять не конкретному закону распределения поверхностных сил, а их главному вектору и главному моменту.

Принцип Сен-Венана достаточно хорошо подтверждается экспериментально, хотя еще и сейчас не имеет законченного теоретического обоснования. Обзор работ, посвященных исследованию и математическому обоснованию принципа Сен-Венана, можно найти в статье [5].

Например, для призматического бруса, растягиваемого собственным весом и силой, равномерно распределенной на его торце, решение будет определяться суммой соответствующих решений.

18

Условия тождественно удовлетворяются, следовательно, этим напряжениям должны соответствовать совместные деформации. Определим их по закону Гука, используя (4.1.1):

направления, параллельные , проходящие через разные точки, между со-

20