m32444_6
.docТЕМА 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В ЗАДАЧАХ 121-130 вычислить площадь, ограниченную графиками заданных функций (параболами).
-
121.
;
.
122.
;
.
123.
;
.
124.
;
.
125.
;
.
126.
;
.
127.
;
.
128.
;
129.
;
.
130.
;
.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.
Вычислить площадь, ограниченную параболами и (рис. 4).
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:
= .
Отсюда и , .
Площадь фигуры вычислим по формуле , где , кривые, ограничивающие фигуру ( ).
y
- 1/3 1
x
Рис. 4
В нашем случае площадь равна
= =
= .
В ЗАДАЧАХ 131-140 требуется определить количество вещества Q, содержащегося в вертикальном столбе воды, площадь поперечного сечения которого равна S (м2), а глубина меняется от 0 (м) до L (м). Концентрация вещества К (г/м3) в воде меняется в зависимости от глубины х по закону
.
-
a
b
L
S
131.
8
0,8
12
2
132.
7
0,7
11
3
133.
6
0,6
10
4
134.
5
0,5
9
2
135.
4
0,4
8
4
136.
8
0,8
16
3
137.
7
0,7
14
2
138.
6
0,6
12
3
139.
5
0,5
10
4
140.
4
0,4
8
2
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.
Определить количество вещества Q, содержащегося в вертикальном столбе воды, площадь поперечного сечения которого равна 2 (м2), а глубина меняется от 0 (м) до 10 (м). Концентрация вещества К (г/м3) в воде меняется в зависимости от глубины х по закону
.
Решение. Рассмотрим бесконечно тонкий слой столба воды с сечением S=2 толщины dx, находящийся на глубине х.
Количество вещества, содержащего в этом слое, равно
.
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до 10, получим
(г).
ТЕМА 10. ФУНКЦИИ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
В ЗАДАЧАХ 141 - 150 вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.
141. .
142. .
143. .
144. .
145. .
146. .
147. .
148. .
149. .
150. .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть
.
При вычислении частной производной переменную рассматриваем как постоянную величину. Пользуясь правилами дифференцирования сложной функции, получаем
.
Аналогично поступаем при вычислении . Считая постоянной величиной, получаем
.
Используя те же правила, вычисляем частные производные второго порядка:
,
(проверьте!),
.
В ЗАДАЧАХ 151 - 160 исследовать на экстремум заданную функцию.
151. .
152. .
153. .
154. .
155. .
156. .
157. .
158. .
159. .
160. .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть
Находим частные производные функции:
; .
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений:
откуда ; . Таким образом, стационарной является точка . Находим значения частных производных второго порядка в точке :
; ; .
Составляем выражение:
.
Так как и , делаем вывод о наличии минимума в точке . При этом минимальное значение функции .
ТЕМА 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЗАДАЧАХ 161 - 170 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
-
161. xy2y1 = y2.
162. x2dy+(y2+2)dx = 0.
163. x2dy+(y2+2)dx = 0.
164. xyy2 = 1.
165. ycosx-(y+2)sinx = 0.
166. y (y2+3)ctgx = 0.
167. xyy = 1x2.
168. xyy = (1x2)(1+y2).
169. 2x2yy+y2 = 2.
170. ycos3xy2sin3x = 0.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к типу с разделяющимися переменными. С учетом того, что , запишем его в виде
.
Разделяем переменные
.
Интегрируем обе части равенства и получаем общее решение уравнения:
Остается вычислить интегралы
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид
В ЗАДАЧАХ 171 - 180 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.
-
171. , .
172. , .
173. , .
174. , .
175. , .
176. , .
177. , .
178. , .
179. , .
180. , .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Положим , где , неизвестные функции от , . Подставляя в исходное уравнение вместо и соответствующие объекты, будем иметь
,
.
Подберем функцию так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. Тогда для определения имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными , откуда . После интегрирования получаем , т.е. .
Для определения функции имеем
или
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции . Разделяя переменные, получаем
.
Интегрируя обе части равенства, имеем
.
Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, в результате чего
,
откуда
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Используя начальное условие, вычисляем соответствующее ему значение постоянной :
, т.е. .
Отсюда частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид
.
ТЕМА 12. РЯДЫ
В ЗАДАЧАХ 181 - 200 вычислить определенный интеграл с точностью до путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
-
181. .
191. .
182. .
192. .
183. .
193. .
184. .
194. .
185. .
195. .
186. .
196. .
187. .
197. .
188. .
198. .
189. .
199. .
190. .
200. .
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Вычислить с точностью до интеграл
путем предварительного разложения подынтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Решение. В разложении функции в степенной ряд, которое имеет вид
,
заменим на . Тогда получим
Умножая этот ряд почленно на , будем иметь