4604

Рисунок 21 –Шансы проработать без больничного для 2 сотрудников

На рисунке 22 – другой упрощённый пример свёртки: совместное распределение заработка семьи и распределение разности доходов мужа и жены.

Рисунок 22 – Распределение общего заработка и разности в доходах

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения (ДУ) появляются, когда по скорости изменения некоторой величины (зависящей от каких-либо факторов) надо восстановить зависимость самой величины от тех же факторов. При этом среди факторов могут, помимо прочих, быть и время, и сама величина.

Так, прирост населения пропорционален общей численности населения (хотя темп прироста не меняется). Новость распространяется особенно быстро, если её многие уже знают, но многие ещё не знают. Цена меняется тем медленнее, чем она ближе к равновесной цене. Темп изменения занятости связан с нормой накопления, темп изменения которой в свою очередь зависит от занятости.

Заметив и обосновав, что население растёт пропорционально самому себе, а технологии (и тем самым производство) – только линейно (пропорционально времени), Р. Мальтус фактически построил простейшую дифференциальную модель и доказывал, что попытки государства решить проблемы за счёт прироста населения без заботы о благосостоянии граждан ведут лишь к болезням и преступности (рисунок 23).

22

Рисунок 23 – Технологии, население и их отношение в модели Мальтуса

На рисунке 24 показано распространение новости в замкнутом коллективе при разной интенсивности общения. В городе с населением N 0 распространяет-

ся некоторая новость, и в момент времени t её знает N tжителей.

ность в 2 раза выше, чем на линии 1, но в 2 раза ниже, чем на линии 3. Такие кривые называют логистическими.

Рисунок 24 – Распространение новости при разной интенсивности общения

Так же распространяются эпидемии и строятся финансовые пирамиды: в конце процесса все участники услышали новость, заболели или расстались со сбережениями.

При изучении спроса и предложения самые разные закономерности связывают время, цену на товар, предложение товара производителями и спрос на него.

23

Рисунок 25 – Спрос и предложение

Равновесная цена P* обычно отличается от начальной и достигается не сразу. Часто цена меняется тем медленнее, чем меньше она отличается от P* . Уравнение имеет вид Pt k P0 P , где k 0 . На рисунке 26 цена P* 20 .

Слева начальная цена P0 10, продавцы отказываются продавать товар, и по-

купатель увеличивает цену, но всё осторожнее. Справа P* 80, товар никто не покупает, и продавец снижает цену, но также боится потерять доход.

Коэффициент k для верхней линии в 2 раза выше, чем для средней, и в 4 раза выше, чем для нижней. Начальная цена занижена в 2 раза. Для графиков справа коэффициенты те же, но линии меняются местами.

24

Вмодели управления запасами запросы потребителей меняются со временем,

иприходится «угадывать» предстоящие запросы, реагируя не только на уже поступившие, но и на скорость их изменения. Возникает уравнение 2-го порядка.

При правильном подходе объём товара на складе стремится к 0, нет ни дефицита, ни затрат на хранение товара, что очень выгодно (рисунок 29). Если же не реагировать на изменение скорости запросов, дефицит товара будет сменяться избытком, что ведёт к большим штрафам и затратам [4].

Рисунок 29 – Грамотное (а) и нерациональное (б) управление запасами

Дифференциальные уравнения в теории массового обслуживания помогают в моделировании потоков событий, когда система (например, очередь) может переходить из одного состояния в другое (очередь уменьшается или растёт).

Основная цель такого моделирования – подобрать оптимальные параметры (обычно число терминалов обслуживания), при которых и очереди малы (в идеале отсутствуют), и сотрудники не простаивают.

Пример систем ДУ – моделирование отношений «занятость – потребление», «хищник – жертва», процесса гонки вооружений, миграции населения и подобных явлений, изучаемых в экономике и в социологии. Во всех случаях скорость изменения одного показателя зависит от другого и надо найти, как оба меняются со временем.

25

В простой модели гонки вооружений для 2 стран новые накопления пропорциональны запасам противника, и расходы резко растут (рисунок 30, а). Но при больших запасах новые накопления не так актуальны (Землю можно уничтожить только раз). Даже небольшой учёт этого резко снижает расходы (рисунок 30, б).

Рисунок 30 – Модель гонки вооружений

Самые необычные кривые отражают совместное поведение 2 циклически меняющихся величин, если период изменения неодинаков (рисунок 32).

Рисунок 32 – Процессы x t 2 cos0,4t; y t sin 0,3t и кривая y x(1/3 часть)

Таковы, например, колебания цен на сельскохозяйственную продукцию в 2 южных странах, если в одной снимают 3 урожая в год, а в другой – 2.

26

Замечание о применении рядов

Ряд как сложение бесконечной последовательности чисел в экономике не слишком распространён. Если слагаемые зависят от времени и несут экономический смысл, на бесконечный срок распространять его рискованно.

В экономических вузах ряды (если они вообще входят в программу курса) в основном важны как вспомогательное средство, упрощающее вычисления.

Например, интегралы, возникающие при расчёте оптимальной нормы по-

тической части расчётов и работу на компьютере.

Таким же образом решают дифференциальные уравнения с начальным условием, если аналитическая зависимость (в виде формулы) мало интересна, но важны численные значения величины в разные моменты времени (или для разных значений фактора).

Тем не менее в теории массового обслуживания, изучающей поступление и обслуживание заявок (очереди клиентов, телефонные звонки, автомобильные пробки), некоторые параметры представляют собой сумму именно бесконечного ряда. Такова, например, вероятность того, что очередь вообще отсутствует. А на её основе находят другие показатели: среднюю длину очереди, среднее время ожидания, среднее время простоя и т.п.

Теория очередей – яркий пример математической области с практической направленностью и очень сложным аппаратом вычислений. Для её освоения необходимо разбираться в теории вероятности, рядах, теории графов, системах линейных и дифференциальных уравнений.

Замечание о теории вероятности

Теория вероятности (ТВ) оценивает точность и адекватность выводов (теоретических заключений и прогнозов), сделанных при недостатке обрабатываемой информации. В экономике важная и сложная задача – на основе нескольких наблюдений составить общую картину некоторого явления, найти зависимость между показателями и её значимость (истинность), предсказать дальнейшее развитие процесса.

27

Подобными задачами занимается математическая статистика. То, что её методы и формулы приводят к верным выводам и результатам, доказывается в ТВ. Поэтому предмет называется «ТВ и математическая статистика».

Классические задачи о бросании монет, кубиков, извлечении белых шаров и бракованных деталях – лишь способ наглядно продемонстрировать основные понятия и теоремы.

В прикладных задачах чаще выясняется, не «какова вероятность события», а а) какое из нескольких событий более вероятно; б) сколько испытаний провести для проверки некоторого предположения;

в) как оценить истинную частоту события по нескольким опытам; г) как свести к минимуму риск ошибки и потери от этой ошибки.

Пример 1. При приёмке изделия ослабление требований ведёт к пропуску бракованных изделий и тем самым – к штрафам и затратам на гарантийный ремонт. Ужесточение требований – к задержкам качественных изделий, лишним затратам на перепроверку и падению выручки. Снижая риск одной ошибки, мы, очевидно, повышаем риск другой. Надо найти «оптимальную строгость», при которой общие потери от ошибок минимальны.

Те же проблемы возникают на экзамене – не поставить незаслуженную «пятёрку» и при этом не обидеть «тройкой» подготовившегося студента.

Пример 2. Проверка всхожести элитных семян, очевидно, ведёт к их потере. Желательно ограничиться небольшим количеством. С другой стороны, это не позволит выяснить истинное качество. Надо выяснить, сколько семян достаточно посадить и проверить, чтобы с высокой надёжностью узнать их качество.

С теми же проблемами сталкивается продавец фруктов: желая показать их качество (или честно желая его узнать), он портит товар.

Пример 3. По выручке, полученной в столовой за 1 день, директор желает предсказать выручку за весь месяц. Сделать это он может лишь в некоторых границах, причём границы тем шире, чем выше желаемая надёжность прогноза.

Пример 4. По результатам предвыборных опросов 100 избирателей кандидата А поддерживают 48%, кандидата Б – 42%. Каковы шансы выиграть для А? (Оказывается, практически те же, что для Б: 100 ответов – это слишком мало, чтобы расхождение в 6% о чём-то говорило).

28

Примеры сложных прикладных задач

Задача о распределении средств в макроэкономике. Экономику страны можно условно разделить на 3 сектора [4].

Материальный (0-й) сектор добывает сырьё и производит вспомогательные товары и услуги. Фондовый (1-й) сектор выпускает станки, промышленный транспорт, фабрики, тракторы и т.п. Потребительский (2-й) сектор готовит товары и предлагает услуги непосредственно для населения.

Цель государства – рост среднедушевого потребления товаров 2-го сектора. Но сосредоточить все ресурсы во 2-м секторе – значит быстро остаться без сырья, техники и объектов, необходимых для выпуска товаров потребления.

Необходимо грамотное распределение капитала и работающего населения по

В таблице 2 приведено решение задачи об оптимальном распределении ресурсов и для сравнения показано, что происходило на самом деле.

Таблица 2 – Распределение ресурсов в экономике РФ в 1989 – 1991 гг.

29

Видно, что недостаток работников в добывающем секторе компенсировался огромными денежными вливаниями. Потребительский сектор из-за огромного переизбытка работников притягивал ещё и лишние капиталы. В фондовом секторе не хватало ни средств, ни сотрудников.

Между тем, как математически доказано в [4], недостаток капиталовложений в фондовый сектор (14% вместо 48%!), ведёт к застою и падению производства во всех отраслях. Именно это и произошло в стране.

Оптимизация портфеля ценных бумаг. Инвесторы, приобретая ценные бу-

маги, желают получить некоторую прибыль (доходность). Однако высокая доходность связана с большим риском потерь. К тому же курсы ценных бумаг связаны: падение одной ведёт к падению другой и росту 3-й, и т.д. Это означает, что а) с ростом ожидаемого выигрыша MX резко растёт дисперсия (разброс) вы-

игрыша DX , и может оказаться, что X 0 (инвестор проиграл);

б) матрица ковариации выигрышей вся заполнена, и cov( X i ; X k ) 0 .

Поэтому инвесторы ведут себя по-разному:

а) кто-то готов рисковать дисперсией DX в надежде на большее MX ; б) кто-то выбирает меньшее, но надёжное DX , оставаясь с малым MX ;

ности и её дисперсии; cov( X i ; X k ) – матрица парной дисперсии (ковариации).

30