4267

Частная производная от функции

f

x; y

по переменной x – это предел

lim

f

x

x; y

f x; y

.

x

x 0

Частная производная от функции

f

x; y

по переменной y – это предел

lim

f

x; y

y

f x; y

.

y

y 0

Соответствующие обозначения:

f

и

f

, или же f x и f y .

x

y

Пример 1. Частные производные от функции

f x; y

x2 y3

2x4

3y 2

5 :

f

x

x2 y3

x

2x4

x

3y2

x

5 x

x2 y3

2 x4

0 0 2xy3

2 4x3 ;

f y

x2 y3

y

2x4

y

3y 2

y

5 y

x2 y3

0 3 y 2

0 x2 3y 2

3 2 y .

Пример 2. Найдём частные производные от функции

f x; y

x2 sin 3y :

f

x

x2 sin 3y

x

x2

sin 3y

2x sin 3y ;

f y

x2 sin 3y

y

x2

sin 3y

x2 3cos3y .

и в точке M 2; 3 :

а)

f

x

yxy 1 – при

y

const получается производная степенной функции;

б)

f

y

x y ln x – при x

const получается производная показательной функции.

и y

3, тогда df

M

23 1 3dx 2 ln 2dy

4 3dx

2

0,7dy

12dx

5,6dy .

Смысл

результата.

Пусть

надо

найти,

например,

значение

функции

f x; y

x y

в точке N 2,03; 2,98 , или, что то же самое, найти величину 2,032,98 .

Если взять точку

M 2; 3 , то

f M

f 2; 3

23

8 .

При переходе в точку N

изменение аргументов составило

dx

2,03

2

0,03 и

dy

2,98 3

0,02 (раз-

ность старых и новых координат).

Полный дифференциал в точке M (не в N!)

df

M

12dx

dx

0,03

5,6dy

dy

0,02

12

0,03

5,6

0,02

0,248

равен приращению функции при переходе из точки M 2; 3 в N 2,03; 2,98 .

Поэтому f N

8,248. Более точно, 2,032,98

8,247801.

f

M

df

M

8

0,248

виде и в конкретной точке M:

а) пусть

f x; y 4x2 y

5xy3 ; M

2; 3 , тогда

f

x

4x2 y 5 x y3

8xy 5y3

;

f

y

4x2 y

5x y3

4x2 15xy2 .

df

8xy 5y 3 dx

4x 2

15xy2

dy ;

в точке M будет

5 32 dx

15 32

63dx 254dy .

df

M 3 8

2

2 4

2

dy

2 y 3

б) пусть даны f

x; y

5x

и M 0;1 ; тогда

df

M

5 0 2 1 2 15dx

6dy

60dx 24dy ;

в) если даны f x; y

2x2

3y

и

M 1; 2 , то

5x

4 y3

f x

2x2

3y x 5x 4 y3

2x2

3y 5x 4 y3

x

4x 5x 4 y3

2x2

3y 5

;

5x

4 y3

2

5x

4 y3

2

f y

2x2

3y y 5x 4 y3

2x2

3y 5x 4 y3

y

3 5x 4 y3

2x2

3y 12y2

.

5x

4 y3

2

5x

4 y3

2

Упростим числители:

10x2 16xy3 15y

15x

24y3

24x

2 y2

f x

;

f y

.

5x

4 y3

2

5x 4 y3

2

df

1

10x2

16xy3 15y dx

15x

24y3

24x2 y2

dy ,

5x 4 y3 2

подставим координаты точки:

df

1

10 12

16 1 23

15 2 dx

15 1

24 23

24 12

22 dy ,

M

5 1

4

2

3 2

или df

M

1

303dy

148dx .

729

2 12

3 2

8

Так,

чтобы найти

f

1,02;1,996 ,

считаем

f 1; 2

0,2963

,

5 1

4

23

27

затем dx

1,02

1

0,02 и dy

1,996

2

0,004, после чего

df

M

1

303

0,004

148 0,02

0,00572

729

и соответственно f

0,302 .

1,02;1,996

0,2963

0,00572

f x; y

x cos y при x

1,97,

y

0,04 (угол выражен в радианах).

Подберём точку как можно ближе к N 1,97; 0,04 , чтобы в ней легко вычисля-

лось значение f

x; y . Это точка M 2; 0 :

f M

2

cos0

2 .

Частные производные в общем виде:

f x

x cos y

x

cos y ,

f y

x cos y

y

x cos y

x sin y ,

а в точке M 2; 0

будет

0 , и df

1dx

0dy

dx .

f x

M

cos0

1;

f y

M

2

sin 0

M

Значит, около точки M 2; 0

функция меняется примерно так же, как меняется

переменная x. В нашем случае dx

N x

M x

1,97

2

0,03 .

Новое значение функции

0,03 1,97 .

f

N

f

M

df

M

2

Более точное значение 1,97cos0,04

1,968424 почти совпадает с прибли-

жённым. Отличие вызвано тем, что cos0,04

0,999 2 , а не 1;

Ответ: 1,97cos0,04 1,97 .

Пример 7. При помощи полного дифференциала найдём

4,008 ln 0,996.

Представим

это

число

как

значение

функции

в

точке

f

x; y

x ln y

N 4,008; 0,996 .

При этом

x

4,008

4

и y

0,996 1, а для таких аргументов

функцию f x; y

легко посчитать:

0 .

4 ln1

2

0

Итак, f x; y

x ln y ,

M 4;1 ,

N 4,008; 0,996 ,

f M

0 .

Тогда f

при dx

0,008 и dy

0,004.

N

f

M

df

M

4,008

4

0,996

1

Для f x; y

x ln y частные производные

1

ln y ;

x

.

f x

x ln y

f y

x ln y

2

x

y

1

1

4

В точке M f x

M

ln1

0

0 и

f y

2 , тогда df

M

0dx

2dy

4

1

2

4

(функция растёт в 2 раза быстрее, чем 2-й аргумент).

Итак, 4,008 ln 0,996

4 ln1

0 0,008

2

0,004

0

0

0,008

0,008.

Ответ:

0,008 (более точное значение равно

0,008024 055... ).

4,008 ln 0,996

1)

а) f x; y

2x3 y 4 , M 2; 1 ;

б) f x; y 3x5 y3 , N 1; 2 ;

г) f x; y 5y x3

x3 y2 , P 4;1 ;

в) f x; y

3 x 3 y , S 4; 8 ;

2)

а)

g x;t

x2 cos3t,

A 2;

;

б)

g x; t

x3 sin 2t,

B

2;

;

6

12

в) g x; t

cos t

x , C

0;

;

г)

g x;t

2 sin 3x

2t ,

D

;

;

2

3

6

3)

а) h K; L 2 K 63 L, P 9; 8 ;

б) h K; L 2 3K 6L, S 4; 4 ;

в) h K; L

2 ln K

3ln L, T 10; 3

г)

h K; L

3ln 4K

5L , Q 4; 2 .

ЧП3. Найдите при помощи полного дифференциала приближённые значения

1,22 ;

1)

а)

1,04 2,982 ;

б)

3,97

4,022 ;

в)

0,26

0,952 ;

г)

10

2)

а) 3,053 ln 0,96;

б) 0,943 ln1,05 ;

в) 2,013 ln1,1 ;

г) 2,13 ln1,2 ;

3)

а)

cos0,06

;

б)

cos

0,02

;

в)

sin 0,1

;

г)

sin 0,5

0,02

;

0,95

3,12

2,05

3,12

4)

а)

2,15

;

б)

2,92

;

в)

0,05

;

г)

4,1

.

0,96

4,06

2,02

5,9

Экстремум функции двух переменных

Точка M называется точкой минимума функции

f

x; y

, если можно указать

открытую

область

D (часть плоскости xOy), в которой

значение

f M

–

наименьшее из всех. Более строго, M – точка минимума, если существует D, что

а) M D (точка входит в эту область и не принадлежит её границе);

б)

N D, N M

f N

f M

(в любой другой точке этой же области зна-

чение функции меньше, чем в интересующей нас точке).

При замене на условие f

N

f M

получим определение точки максимума.

Например,

M 4;

5 – точка минимума функции

f

x; y

x

4 2

y

5 2 , по-

скольку в ней

f

4;

5

4

4 2

5

5 2

0 , а в любой другой точке f

x; y

0 .

Схема поиска точек экстремума для функции f

x; y