5665

Пример 21. По выборке 25 упаковок товара из генеральной совокупности, подчинённой нормальному закону распределения, средний вес составил 99 г с выборочным средним квадратическим отклонением 3 г. Найти доверительные интервалы для сред-

Решение. При неизвестном стандарте X признак X генеральной совокупности с нормальным законом распределения, доверительным интервалом для математического ожидания a является интервал

В таблице критических точек распределения Стьюдента находим t 1,71 . Поэтому доверительный интервал для среднего (математического ожидания) имеет вид:

неизвестное математическое ожидание.

Пример 22. Импортёр упаковывает чай в пакеты. Известно, что наполняющая машина работает нормально со средним квадратическим отклонением, равным 1 г, и средним выборочным весом пакетов 120 г. При каком минимальном объёме выборки с надёжностью 0,95 точность оценки математического ожидания составила бы 0,2 г?

Решение. Точность оценки математического ожидания нормально распределённой выборки при известном среднем квадратическом отклонении определяется формулой (3.19), то есть

u .

n

81

Пример 23. Случайная выборка из 31 счёта дала значение исправленной диспер-

Ответ: доверительный интервал с надёжностью 0,95 для неизвестной дисперсии имеет вид 0,7788 ; 2,1786 .

Пример 24. Если устройство функционирует правильно, то вероятность прохождения теста равна 0,9; в противном случае, когда устройство функционирует неправильно, вероятность прохождения теста равна 0,4. Устройство допускается к работе, если тест проходит 4 раза подряд. В предположении, что тестирование производится независимо друг от друга, найти вероятности ошибок первого и второго родов.

Решение. Пусть основная гипотеза H 0 – устройство функционирует правильно, а альтернативная H1 – устройство работает неправильно. Тогда ошибкой первого рода

называют вероятность отклонить основную гипотезу, в то время как она верна. Такое происходит, когда прибор функционирует правильно, но тест четыре раза подряд

Ошибкой второго рода называют вероятность принять основную гипотезу, в то время как верна альтернативная. Это происходит тогда, когда неправильно функционирующее устройство проходит тест четыре раза подряд. Учитывая то, что тестиро-

Пример 25. Выборка 25 единиц из генеральной совокупности, распределённой по

ральной средней 20 H 0: a 20при конкурирующей гипотезе H1 : a 20 ?

Решение. Если в качестве статистики критерия проверки гипотезы взять выборочную среднюю Z xв , то областью принятия решения в данном случае будет довери-

тельный интервал, определяемый формулой (3.18):

и отклонить основную гипотезу у нас нет оснований.

Ответ: нет оснований отклонить основную гипотезу a 20 .

Пример 26. Инвестиционный фонд объявил, что средний доход по акциям предприятий металлургической отрасли составил 11,5 %. Инвестор, желая проверить, является ли это заявление правильным, взял случайную выборку из 41 акции этой отрасли. Средний годовой доход по ним составил 10,8 % и выборочное среднее квадра-

опровергнуть заявление инвестиционного фонда?

Решение. Будем считать, что значения доходов в металлургической отрасли имеют нормальное распределение N a, 2 . В качестве статистики критерия возьмём выборочную среднюю ( Z xв ). Тогда, так как дисперсия 2 нам неизвестна, то областью принятия решения будет доверительный интервал, определяемый формулой (3.22):

В данном случае из таблицы критических значений распределения Стьюдента:

Пример 27. Выборочные данные о числе сделок, заключённых брокерскими конторами города в течение месяца, приведены в таблице:

гипотезу о нормальном законе распределения.

Решение. Для проверки гипотезы о нормальном распределении рассмотрим статистику критерия Пирсона

ционного ряда в предположении истинности основной гипотезы, n – объём выборки. Из равенства (3.24) видно, что критерий Пирсона сравнивает близость эмпириче-

ских (опытных) частот ni , попавших в случайную выборку, и так называемых теоретических частот npi , зависящих от теоретических вероятностей pi , которые, в свою

очередь, связаны с видом предполагаемого закона. Если выдвинутая гипотеза будет отвергаться, то расхождение между эмпирическими частотами и предполагаемыми теоретическими носит не случайный характер, говорят, что это расхождение значимо.

По критерию согласия Пирсона можно проверять гипотезы о разных законах (см. пример 28). При применении этого критерия обычно предъявляются следующие требования к выборке: n 50 , r 5 , ni 5 . Группы (частичные интервалы) с малочис-

ленными частотами присоединяют к соседним, суммируя частоты. При объединении

Для нахождения теоретических вероятностей pi необходимо сначала, используя

формулы (3.13) и (3.15), оценить параметры нормального распределения. Для удобства расчётов воспользуемся вспомогательной таблицей расчётов

признак распределён по нормальному закону, то надо применять формулу (2.30) из модуля 2, которая приобретёт вид:

84

Ответ: при уровне значимости 0,05 отвергаем гипотезу о нормальном распределении. Пример 28. Выборочные данные о числе сделок, заключённых брокерскими кон-

торами города в течение месяца, приведены в таблице:

0,05 гипотезу о показательном законе распределения.

Решение. Функция распределения для показательного закона распределения имеет вид

зательном законе распределения.

86

Пример 29. В результате проверки 300 контейнеров со стеклянными стаканами установлено, что число повреждённых стаканов X имеет следующее эмпирическое распределение:

на X распределена по закону Пуассона.

Решение. Пуассоновский закон распределения имеет вид (2.16), где параметр M X . Тогда в качестве оценки параметра можно взять выборочное среднее, рассчитанное по формуле (3.13):

повреждённых стаканов будет пуассоновским, проведём по критерию согласия хи квадрат. Для вычисления выборочного значения статистики критерия применим фор-