Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5652

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

(i)

sup n an (T , ) c	r	,	(5.4)
n	r
n

(ii) если		r	, то
		r

lim sup n an (T , n ) c	r	.	(5.5)
n	r
n

Всюду в статье неравенство A << B означает A << c ∙ B, где константа, c > 0,

абсолютная или зависит только от p,q, α. Соотношение A ≈ B понимается как

A << B << A. Обозначения := и =: используются для определения новых вели-

чин; N, Z – множества всех натуральных и целых чисел соответственно; K

означает либо конечное, либо счётное бесконечное индексное множество,

символизирует конец доказательства.

§2 Оценки an (T , ) и

Lq (I ) на интервале I (a, b) (0, )

Критерий ограниченности и компактности оператора Римана – Лиувилля заключён в следующей теореме.

Теорема 5.3[32]. Пусть I = (a, b), 0 ≤ a < b ≤ ∞, α > 0,

0 < q < p < ∞,

, p max(1/ , 1). Тогда

(i) оператор Tα, υ ограничен из Lp(I) в Lq(I), если

s / p

1/ s

(x)(x a) 1

qdx

(t)(t a) 1

q dt

b t a s / p

причём

T ,	L p (I )	Lq (I )	B.

(ii) оператор Tα, υ : Lp(I) → Lq(I) компактен, если

B < ∞.

Из теоремы следует, что если Tα, υ : Lp(I) → Lq(I) ограничен, то

Lq (I )

для любого внутреннего интервала I

I . В частности, если Tα, υ : Lp(0, ∞) →

Lq(0, ∞), то υ Lq(I) для любого I = (a, b) при 0 < a < b < ∞.

Лемма 5.2.1. Для 0 < q < 1 < p < ∞,

N на конечном интервале

I (a, b)

(0,

) выполняется оценка

T ,

(I )

1/ p

Lq (I )

L p (I ) ,

(5.6)

для всех

L p (I ).

Доказательство. Применяя неравенство Гельдера с показателями p и p', получаем

1/ q

x(x t)

1 f (t)dt

T ,

(x)

Lq (I )

1/ q

1/ p

(x)

q dx

f (t)

p dx

b t

( 1) p dt

1/ p

L (I )

(I ). ⁪

В дальнейшем величина

(I )

1/ p

Lq (I )

(5.7)

будет играть важную роль, поэтому в леммах 2.2 – 2.3 докажем ряд её

свойств на конечном интервале I (0, ) .
Лемма 5.2.2. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,				1			1		1	.
Лемма 5.2.2. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,										.
					r			p	r
	N
(i) Для	Lq (I ) и Ik	справедливо неравенство
	k 1
	N		1/ r						(5.8)
	N		r
	J	, (I k )	r			J ,	(I ).
	J	, (I k )				J ,	(I ).
	k 1
										N
(ii) Для 1,	2 Lq (I ) и любого разбиения интервала Ik имеем
										k 1
			52

1 (Ik )r

, 2 (Ik )r

(I )r .

J ,

(5.9)

k 1

Доказательство. (i) Применяя неравенство Гельдера с показателями

, получаем

( 1/ p)r

r / q

(

1/ p)r

q dx

J , (Ik )r

(x)

k 1

(

1/ p)r

r / q

qdx

(x)

(

1/ p)r

J r , (I ).

J ,

Lq (I )

k 1

(ii) Пусть

Lq (I ) , 0 < r < 1 и 0 < q < 1 < p < ∞, тогда

1 (Ik )r

2 (Ik )r

J ,

N Ik (1/ p)r k 1

N		( 1/ p)r
	Ik	( 1/ p)r	(
			Ik
k 1			Ik
k 1

N Ik (1/ p)r k 1

N Ik (1/ k 1

r / q

q r / q

r )q / r r / q

(

r )q / r r / q

Lq / r (Ik )

p)r

Lq / r (Ik )

N		( 1/ p)r			r
N
	Ik		1	2		Lq / r (Ik )
k 1
k 1		53
		53

(

1/ p)r

q / r r / q

k 1

( 1/ p)r

q r / q

k 1

(

1/ p)r

(Ik ) J

(I ).

Lq (Ik )

1 2

k 1

⁪Лемма 5.2.2 необходима для доказательства следующего утверждения.

Лемма 5.2.3. Пусть I

(a, b),

Lq (I ) . Тогда (i) справедливо равенство

1/ r

inf

: L

I ,..., I

(5.10)

Lr (I )

(ii) Для каждого n

N существует разбиение

, ..., In

интервала I такое, что

(I *)

... J

* ).

Доказательство. Равенство (5.10) докажем в три этапа. На первом этапе покажем, что

		N	1/ r
		N	J , (Ik )r .
Lr (I )	inf		J , (Ik )r .
Lr (I )	L	k	1
	L

Действительно, применяя неравенство Гельдера

1	, получаем
( 1/ p)r

q dx

r / q

(

(x)

(I )

(

1/ p)r

Lq (Ik )

с показателями	q	и
	r

1/ p)r

, (Ik )r .

Вторым шагом проверим (5.10) для ступенчатых функций

(t) ck Ik (t) k 1

для некоторого разбиения I1, ... , IN интервала I и сk ≥ 0.

r / q ( 1/ p)r cr

J , (Ik )r

Lr (I )

k 1

что в результате даёт

N	1/ r
N
J , (Ik )r		Lr (I )	.
J , (Ik )r			.
k 1
k 1

Далее зададим Lq (I ) и ε > 0, выберем φ ≥ 0 так, чтобы выполнялось неравенство

Lq (I )

(

1/ p) ,

(5.11)

которое по неравенству Гельдера влечёт

Lr (I )

(5.12)

При 0 < r < 1, используя (5.9), (5.11) и (5.12), получаем

J , (Ik )r

J ,

(Ik )r

2 r

k 1

Lr (I )

что при ε → 0 доказывает (5.10).

Для проверки (ii) зафиксируем n

N и определим функцию Φ на мно-

жестве n-разбиений интервала I:

(L) :

max

, (Ik )

min

, (Ik ),

I1, ...,

In . (5.13)

Функция Φ(L) непрерывно зависит от n-точек, определяющих разбиение

L-интервала I, следовательно, существует разбиение	*	*	0 , на кото-
	L ,	Ik

ром функция Φ достигает своего минимального значения. Покажем, что

Φ(L*) = 0.	(5.14)
Допустим, что существует другое разбиение L I1 , ..., In	L* , на ко-
тором функция (5.13) достигает минимального значения:
Φmin = Φ(L`) > 0.
55

Тогда найдётся номер k0		1, ..., n					такой, что
J ,		(Ik0 )					max	J , (Ik )
							1 k	n
и
J ,			(Ik		0	)	J , (Ik 1 ).


Если теперь уменьшить	Ik 0			на достаточно малое δ, например

Ik 0

xk 0

xk 0 1

xk 0

xk 0 1

с условием, что в полученном новом разбиении

I1 , ..., In L

найдётся номер k1

1, ..., n , что

J , (Ik

)

max

, (Ik

) и J ,

(Ik

)

J ,

(Ik

1 k

Тогда мы получили новое разбиение L’’, для которого Φ(L’) > Φ(L’’). Повторив эту процедуру, мы имеем новое разбиение L’’’:

Φ(L’) > Φ(L’’) > Φ(L’’’).

Таким образом, можно строить новые разбиения, на которых функция Φ будет принимать меньшее значение. Следовательно, всякое разбиение L’, для которого Φ(L’) > 0 не может быть минимальным, и это доказывает (5.14). В силу конструкции функции (5.13)

min	( *)	0 при J	,	(I *) J	,	(I	*) ...	J	,	(I	* ),
min			,	1	,		2		,		n
что и заканчивает доказательство леммы 5.2.3. ⁪
Пусть L Ik k K , I		Ik – представление интервала								I	(0, ) в
		k K

виде объединения попарно непересекающихся конечных интервалов Ik. Рассмотрим разложение пространства Lp(I) в сумму двух подпро-

странств – Lop (I ) и Д cp (I ).

Пусть pi ( y) , j 0, 1, ... ортонормированная в L2					(1, 2) система поли-
номов. Тогда для любого интервала I	(a, b)	(0,		) полиномы
p j,i (x): (b a) 1/ 2 p j	x b	2a	,	j	0, 1, ...	(5.15)
	b
		a
56

образуют ортонормированную систему в L2 (I). Имеем

p j, i (x)

p dx (b a)1 p / 2

p j (s)

p ds : c j, p

1 p / 2 , p 0.

(5.16)

Обозначим

( f , g)Ik :Ik f (x)g(x)dx

скалярное произведение функций f и g, когда оно существует. Пусть

					p j, k :	p j, I	k	.
							k
Определим проектор		c		: L p (I )		c	по формуле
Определим проектор		PI		: L p (I )		L p (I )	по формуле
c			1
c					( f , p j, k )Ik p j, k (x) Ik (x),
PI	f (x) :				( f , p j, k )Ik p j, k (x) Ik (x),				(5.17)
		j	0 k		K

где Lcp (I ) – подпространство кусочно-полиномиальных функций:

qk (x) I

(x), qk

1 .

L p (I ) L p (I , L)

обозначает совокупность всех полиномов степени не превосходящей α – 1.

Лемма 5.2.4. Если 1 ≤ p < ∞, то

Рc

(5.18)

L p (I )

Доказательство. Из (5.17) имеем

F j (x).

f (x) :

Тогда при p > 1 имеем

F j

( f , p j, k )Ik

p j, k (x)

L p (I )

k K

p ,

p j, k

применяя (5.16)

c p 1c j, p

j, p

L p

откуда следует (5.18). При p = 1 доказательство аналогично. Определим

Pc.

(5.19)

Тогда в силу разложения

p j, I , yi

p j, I ( y)

для любого i

0 такого, что 0 ≤ i ≤ α – 1, следует

: L p (I )

L p (I ),

где

L p (I ) :

f ( y)dy 0, j

0,1...,

1, k

K , (5.20)

L p (I ) :

причём по лемме 5.2.4

Рo f

L p (I )

Если sup p f

Ik ,

f L p (I ) , то

T f (x) 0, x Ik

(ak , bk ),

потому что, при x ≥ bk

T f (x)

(x y)

1 f ( y)dy

c j x

1 j

yi f ( y)dy 0.

выполнено дизъюнктное

Отсюда следует, что в подпространстве L p (I )

свойство

T , f

, f

(5.21)

Lq (I )

Lq (Ik )

L p (I ).

k K

Таким образом, формулы (5.17) и (5.19) задают ограниченные операторы

: L p (I )

L p (I ),

PIo : Lp (I ) Lop (I )

такие, что их сумма

	Po	Pc	id	(5.22)
	I	I
является тождественным оператором. В силу				(5.21) оператор T ,
дизъюнктен на	o
дизъюнктен на	L p (I ) , а также заметим, что

rank PIc card K.

Из разложения (5.22) следует, что

(5.23)

, PI

, .

Следующая лемма уточняет значение нормы оператора T ,

при его

(I )

и играет ключевую роль в получении

сужении на подпространство L p

дальнейших оценок.

Лемма 5.2.5.

Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,

(0,

), L

Ik k 1,

I Ik и

Lq (Ik ) . Тогда для любой функции

(I , L)

L p

k 1

(I )

(Ik )

r /(1

L p (I )

(5.24)

Доказательство. Используя лемму 5.2.1 и неравенство Гельдера с пока-

зателями

, мы получаем

r)q

T ,

( Ik f

, (Ik )q

Ik f

r)q

q p / q q / p

J ,

(Ik ) (1

r)q

Ik f

r)q

J ,

(Ik ) (1

. ⁪

Лемма 5.2.6.

Пусть 0 < q < 1 < p < ∞, I

(0,

L Ik k K ,

I Ik , P

: L p (I )

Lq (Ik ) для любого k. Зададим по-

L p (I , L) и

k 1

следовательность натуральных чисел

таких, что

(nk

(5.25)

Тогда

Po )

r J

. (5.26)

Доказательство. Заметим, что в силу формулы (5.25) лишь конечное число nk может быть отлично от единицы. Для таких nk > 1, используя лемму 5.2.3, мы разобьём соответствующие интервалы Ik ещё на nk интер-

валов Ik*,1, ..., Ik*, nk с условием, что

J , (Ik*,1) ... J , (Ik*, nk ).

Если же nk = 1, то положим Ik*,1 : Ik . В результате мы построили новое разбиение интервала I

*	*
L	Ik, j :1 j nk , k K .

Причём по формуле (5.8)

J	,	(I	*	j	) n 1/ r J	,	(I	k	), 1	j n .	(5.27)
	,		k,	j	k	,		k		k
					k

Рассмотрим проекции относительно нового разбиения

P	c	: L p (I )	c	*	o	: L p (I )	o	*
P		: L p (I )	L p (I , L ) и P			: L p (I )	L p (I , L ) .
*				*
				60

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.61 Mб35647.pdf
#
13.11.20222.61 Mб25648.pdf
#
13.11.20222.61 Mб35649.pdf
#
13.11.20222.64 Mб75650.pdf
#
13.11.20222.64 Mб55651.pdf
#
13.11.20222.64 Mб55652.pdf
#
13.11.20222.65 Mб185653.pdf
#
13.11.20222.65 Mб105654.pdf
#
13.11.20222.66 Mб55655.pdf
#
13.11.20222.66 Mб35656.pdf
#
13.11.20222.67 Mб25657.PDF