5560

f x

sin 2x

не имеет смысла в точке x0

0 , но при x

0 получается

f x 2 .

x

Функция

f x

cos3x

не вычисляется в точке x0

, но при

x0

оказыва-

cos x

2

2

ется, что f x

3 .

В 1-м случае говорят, что предел в точке 0 равен 2: lim

sin 2x

2 . Во 2-м слу-

x

x 0

чае предел в точке

равен –3: lim

cos3x

3 .

2

cos x

x

2

стандартным правилам и нередко достаточно просто.

Например, функция g x

0,98x x100 при x

0 вначале быстро возрастает, од-

нако при бесконечно большом аргументе стремится к 0: lim 0,98x x100 0 .

x

Также хорошо известно, что функция f x

1

0

при x

.

x

Для работы необходимо вспомнить, что

а) функции y xn , y

a x , y log x, y

cos x, y

sin x, y

arcsin x, y arctg x ,

Если функция f x элементарна, то при вычислении lim f

x

, когда x0 – чис-

x x0

ло, вначале пробуют подставить x0 в функцию f x – найти

f

x0 .

ность

0

, 00

, 1

, применяют разные правила и схемы вычисления пределов.

0

Предел дробно-рациональной функции в точке

Пусть даны точка x

и функция

f

x

Pn

x

, где P x

a

a x

a

xn

и

0

0

Qm

x

n

1

n

Q x

b

b x

b xm

– некоторые многочлены. Надо найти lim f

x .

m

0

1

m

x

x0

Найдём Pn

x0

и Qm

x0

. Полученные числа обозначим соответственно P и Q.

Возможны 4 случая:

1) P

0,Q

0 , тогда lim f

x

P

– это обычное число (не обязательно целое);

Q

x

x0

2)

P

0,Q

0 , тогда lim f

x

0

0

;

Q

x

x0

3)

P

0,Q

0 , тогда lim f

x

P

;

0

x

x0

4) P

0,Q

0 , тогда Pn x0

и Qm x0

раскладываются на скобки так, что

f

x

Pn x

x x0 Rn 1

x

Rn 1

x

для всех x

x0

,

Qm

x

x x0 Sm 1 x

Sm 1 x

где Rn 1 x , Sm 1

x

– какие-то многочлены (полиномы). Находим Rn 1 x0

и Sm 1 x0

и приходим к одному из случаев 1, 2 или 3.

Проще говоря,

lim x2 ;

б) lim 3x4 ;

1

г) lim x2 3 ;

1)

а)

в)

lim

;

д)

lim 2 x ;

x

2

x

1

x

0,5

x

x 0

x

2

2)

а) limsin x ;

б) limsin 2x ;

в) lim cos x ;

г) lim cos4x ;

д)

lim tg x ;

x

0

x

0

x

x

x

2

2

4

3)

а)

lim 2 x ;

б) lim 3x ;

в)

lim 9x ;

г) lim 2 x ;

д) lim 5 2 x .

x

0

x

2

x

0,5

x 4

x

1

Пример 1. Подстановкой можно найти, что

а) lim 4x3

4

2 3 4

8

32;

x 2

б) lim sin 2x

sin 2

sin

3

;

x

6

3

2

6

в) lim 2

2 x 2

2 3 2

6 1

1

.

6

x 3

2

64

а)

lim

x

6

5

6

11

3,667 ;

x

2

5

2

3

x

5

б)

lim

2x2

5x 9 2 22

5 2 9 8 10 9 9

0,9 ;

3x2

4x 6 3 22

4 2 6 12 8 6 10

x 2

3 4 sin 2

3

4 sin

3

4

3

3

4 sin 2x

6

3

2

3

5

3

в)

lim

3

2

(не

!)

5

2 cos6x

5

2 cos

5

2 cos

5

2

1

7

7

x

6

ПР3. Подставив точку x0

в функцию

f x , проверьте, что пределы равны 0:

1) а) lim

3x

;

б) lim

x

1

;

в)

lim

x

2

;

г) lim

3x

2

;

д)

lim

4x 3

;

2x 1

4x 1

x 0

2x 1

x 1

2x 1

x 2 2x 5

x

2

x

3

3

4

2) а) lim

sin x

;

б) lim

cos x

;

в)

lim

sin 2x

;

г) lim

cos3x

;

д) lim

tg 2x

;

x

2

cos4x

sin x

x 0

x

1

x

x

x

x

0 cos3x

2

2

6

ex

1

1 e 2 x

ln 1 x

ln x

ln x

3) а) lim

;

б) lim

;

в)

lim

;

г) lim

;

д) lim

;

3x 2

e 2 x

x 2

x2

1

ln 2x

x 0

x 0

x 0

x 1

x 1

4) а) lim

3x2

;

б) lim

x2

2x 3

;

в)

lim

x2

3x 2

;

г)

lim

x2

3x

;

x2

x 0

2x2

1

x 1

2x 1

x 2

x 1

x

3

x2

x 1

5) а) lim

3x2

2x

;

б) lim

3x2

2x 1

;

в)

lim

2x2

5x 2

;

г)

lim

x2

7x 8

.

x2

1

x2

x 2

3x2

x 3

3x2

x 5

x 0

x 1

x

2

x

1

а)

lim

5x

5 0

0

0

0 ;

x 0

2x 1 2 0 1 0 1

1