Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5467

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Определение. Частной

производной

от

функции

x, y

по

называется

конечный

предел

Z y

lim

y Z

lim

f x, y

y 0

вычисленный при постоянном x .

Обозначается

частная

производная

так:

Z x , Z y

или

;

f x

x, y ;

f y

x, y .

Пример 16

Найти частные производные функций:

a) Z x ln y

;

b) Z x y .

Решение:

а) при нахождении частной производной

по

х будем рассматривать y

как величину постоянную.

Получим:

ln y

Аналогично, дифференцируя по у, считаем x

постоянной величиной, т.е.

Z y

x ln y

;

b) при фиксированном

имеем степенную функцию от

х,

таким образом,

Z x

x y

при фиксированном x функция является показательной относительно y , тогда

Z y

x y ln x .

Полный дифференциал функции Z

x, y

вычисляется по формуле

dZ Zx dx Zy dy .

Пример 17
Найти полный дифференциал функции				Z x 4	5x 2 y	2 y3 .
Решение:	Z	4x3 10xy ;	Z	5x 2	6 y 2	5x 2 6 y 2 ;

	x		y
	x		y
dZ 4x3 10xy		dx 5x 2 6y 2 dy .

Тема 6. Интегральные исчисления

Неопределённый интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на промежутке X, если в каждой точке x этого промежутка

F/ (x) = f(x).

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F(x) + С, где С ─ произвольная постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных функции ƒ(х) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и

обозначается

x dx, т.е.

f (x)dx F(x) C .

Свойства неопределённого интеграла

x dx

f x dx , a ─постоянное число.

f1 x

f2 x

f3 x dx

f1 x dx

f2 x dx

f3 x dx .

3. d[ f x dx]

f x dx .

x dx

f x .

dF x

F x

C .

Таблица основных интегралов

№

Формула

№

Формула

0 dx

cos xdx

sin x

ctgx

sin 2 x

n 1

tgx

C ,

1, n const

cos 2 x

arcsin

a 2

x 2

ax dx

C ,

0, a

arctg

a 2

x 2

ln a

x a

e x dx e x

x 2

a 2

x a

sin xdx

cos x

x 2

Пример 18

1 2

Найти интеграл

dx .

Решение :

1 2

4x 4

x 1

4 4

x x

2 dx 4

2 dx 8x 2

4 x

4 ln

8 x

4 ln

Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:

а)	f ax	b dx	1	F ax b C , если		f x dx F x C ;
			a

	x
б)		dx ln	x		C .
	x

Пример 19

Найти интегралы.

а)	e	4x	5	dx	1			e		4x		5	C ;		б) sin 3x 2 dx					1	cos 3x 2 C ;
		4x	5		1					4x		5
																				3
					4
					4
в)		dx					1				2dx			1					C ;
		dx					1				2dx			1	ln		3 2x
	3		2x		2					3		2x		2	ln		3 2x
	3		2x		2					3		2x		2
г)		x dx				1 10x dx 1													C .
		x dx				1 10x dx 1								ln		5x 2		3

	5x 2			3	10				5x 2			3	10
	5x 2			3	10				5x 2			3	10

Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной, описываемый следующей формулой:

f x dx f t t dt ,

где x t ─ функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример 20

Найти интегралы:

3 4

arctg

dx ; г)

2 sin x dx

а)

3 2x

dx ; б)

; в)

1 x2

3 cos2 x

2x3

t 5

Решение: а)

x 2 3

2x3 4 dx

6x 2 dx

t 4 dt

3 2x3 5

C ;

x 2 dx

б)

3x 2 dx

arcsin t C

arcsin x3

C ;

x 6

x 2 dx

t 2

arctg 3 x

arctgx t

t 4

arctg 4 x

в)

t 3dt

C ;

x 2

2 sin xdx

cos x

sin xdx

2 ln

3 t 2

г)

cos 2 x

t 2

sin xdx

2 ln

cos x

cos 2 x

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

		U dV U V V dU ,
где U	x , V	x ─ непрерывно дифференцируемые функции.

При использовании этой формулы за U берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример 21.

Найти интегралы:

x e7x dx ;

б)

x3 ln x dx ;

в)

arctgx

dx .

Решение:

x e7xdx

dx;

x e7x

e7xdx

7 x

dx;

V e

7 e

;

x e7x

e7x

ln x ;dU

dx;

б) x3 ln xdx

x4 ln x

ln x

dV x3dx; V

x3dx

;

в)

arctgx;

;

arctgxdx

dx;

x arctgx

dx x

arctgx

ln( x

1) C.

Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и F(x) ─ первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона ─ Лейбница

f (x)dx F (x)

	a	F (b) F (a) .
	b	F (b) F (a) .
	b

Пример 22

								e 3
								e 3	1		ln x		dx .
			Вычислить:
			Вычислить:								x
						1					x
						1
Решение:
											t
							1 ln x				t
							1															4
e	3							dx		dt						2
																						3
		1 ln x																			t					3 3				3
																	3							2				4					3
				dx			x										3		tdt					2			2	4	1			(	3	16 1)
																							1
1			x				при		x	1		t	1	ln 1	1	1					4 \ 3		1		4						4
1							при		x	1		t	1	ln 1	1	1
							при		x		e	t	1	ln e	2
										Формула интегрирования по частям
														b				ba		b
														b						b
														U dV		U V				V	dU
			Пример 23											a						a
														a						a

				/ 2								U		x		dU				dx								/ 2		/ 2


					x cos xdx																				x sin x					sin xdx
					x cos xdx						dV		cos xdx		V	cos xdx					sin x				x sin x		0			sin xdx
				0							dV		cos xdx		V	cos xdx					sin x									0
				0								cos x		/ 2																0
					sin			0 sin 0								cos				cos 0					1.

		2				2								0	2		2					2
		2				2									2		2					2

						Площадь плоской фигуры
	Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой y f (x) ,
снизу ─ непрерывной кривой y							(x) , слева ─ прямой x a , справа прямой
							b
x	b , вычисляется по формуле S						( f (x) (x))dx
							a
	Пример 24
		Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y		1	(x 2) 2 , x 2 y 14 0 .
y	4		(x 2) 2 , x 2 y 14 0 .
	4
	Решение: Определим точки пересечения данных линий. Из уравнения
							y	1	(x 2) 2
				y 7	x		y	4	(x 2) 2
прямой находим						. Решим систему		4		x .
прямой находим					2	. Решим систему				x .
							y	7
							y	7		2
										2
	x1		4, x2	6 , y1	9 , y2 4 .

Таким образом, прямая и парабола пересекаются в точках А (-4;9) и В (6;4) (рисунок 6).

A 9

																		B				x
																		B


									-4	0	2							6
Рисунок 6 ─ Фигура, ограниченная линиями																	y			1	(x	2) 2 , x		2 y			14 0 .
Рисунок 6 ─ Фигура, ограниченная линиями																	y		4		(x	2) 2 , x		2 y			14 0 .
																			4
	Площадь фигуры равна
		6		x		1		(x 2) 2 )		6		x		x	2							6	x		x	2
S		(7		x		1			dx	(7		x		x			x		1)dx			6	x		x			dx
S		(7		2	4				dx	(7	2		4				x		1)dx			6	2	4				dx
		4		2	4					4	2		4									4	2	4
		4								4												4
			x 2		x3		6						16					2
			x 2		x3		6						16					2
	6x							36	9 18	24	4					41			.
	6x	4		12				36	9 18	24	4		3			41		3	.
		4		12				4					3					3

Задания для выполнения контрольной работ

Задание 1. Прямая линия на плоскости

В задачах 1 – 20 даны вершины треугольника ABC. Найти: а) уравнение стороны AB;

б) уравнение высоты CD, проведённой из вершины C к стороне AB; в) уравнение медианы BM, проведённой из вершины B к стороне AC;

г) построить чертеж.

№					№

1	А(–3; 9),	В(4; –2),	С(7; 6).		11	А(8; 1),	В(–2; –1),		С(4; –11)

2	А(2; 8), В(–6; –2),		С(4; 2).		12	А(–4; –6),		В(7; 3),	С(–6;	4).

3	А(–6; 4),	В(3; –7),	С(6; 3).		13	А(8; –4),		В(6; 6), С(–3; 0).

4	А(–7; 1),	В(0; –7),	С(4; 3).		14	А(–4; 0),		В(8; –3),	С(3; 7).

5	А(–2; –6),	В(3; 4),	С(–8; 0).		15	А(–5; –5),		В(8; –2),	С(1;	4)

6	А(–2; 8),	В(–11; 3),		С(2; –3).	16	А(–3; 9),		В(–1; –1),	С(10; 7)

7	А(8; –4),	В(3; 9),	С(–5; 2).		17	А(6; 7),	В(–5; 0), С(8; –6).

8	А(0; –9),	В(8; 2),	С(–2; 2).		18	А(–1; 7),		В(–2; –5),	С(8;	2).

9	А(–3; –1),	В(12; –2),		С(3; 7).	19	А(0; –2),		В(16; –1),	С(6;	6).

10	А(–2; 9),	В(–10; 1),		С(4; 3)	20	А(12; –4),		В(7; 9),	С(0; –5).

Задание 2. Кривые второго порядка

Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.

а) 5y2

4x 80 y

312

б)

4 y2

а) x2

16 y2

8x 64 y 64 0;

б) xy x 5y 2 0.

а) 8x2

80x

218

б) 9x2

90x

14 y

140

а) 9x2

4 y2

90x

24 y

225

б)

а) 7 y2

98y

327

б)

4x2

25y2

24x

50 y

111 0.

а) 16x2

9 y2

192x 90 y

657

б)

а) 7x2

14x

6 y

б)

4x2

16 y

128

а) 4x2

9 y2

72x

108 y

612

б)

а) 2 y2

36 y

162

б)

9x2

64 y2

54x

495

а) 4x2

9 y2

24x

144 y

576

б)

а) 4x2

16x

9 y

б)

9 y2

4x 90 y 140

а) x2

9 y2

2x 54 y 46 0;

б) xy 3x y 6 0.

а) 7 y2

42 y

117

б)

4x2

40x

16 y 20

а) 4x2

64x

10 y

265

б)

а) 3x2

36x

7 y

б)

16 y2

12x

32 y

а) 25x2

150x 14 y 249

б)

а) 9 y2

18 y

б)

49x2 9 y2

72 y

585

а) x2

49 y2

16x

392 y 799

б)

а) 7 y2

б)

25y2

14x

100 y

а) x2

4 y2

10x 16 y 5 0;

б) xy x 3y 2 0.

Задание 3. Методы решения систем линейных уравнений

Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера.

	№		Система уравнений				№	Система уравнений

1		4x1	2x2		3x3	4;	11	x1	2x2	8x3	7;
		3x1	x2		2x3	11;		3x1	4x2	x3	0;
		2x1	3x2		x3	15.		x1	2x2	3x3	2.

2		4x1		x2	8x3	8;	12	2x1	2x2	6x3	8;
		4x1	6x2		3x3	12;		x1	7x2	5x3	2;
		x1	2x2		4x3	11.		x1	3x2	5x3	6.
3		2x1	5x2		8x3	9;	13	x1	2x2	3x3	7;
		3x1	3x2		2x3	8;		2x1	5x2	2x3	7;
		x1	2x2		4x3	5.		x1	3x2	x3	4.

4		x1	5x2		7x3	4;	14	2x1	10x2	2x3	8;
		3x1	x2	4x3		7;		x1	5x2	x3	6;
		x1	2x2		3x3	1.		4x1	4x2	2x3	0.
5		2x1	5x2		7x3	12;	15	2x1	4x2	2x3	6;
		4x1	6x2		2x3	0;		3x1	3x2	x3	3;
		x1	2x2		3x3	5.		x1	7x2	2x3	10.

6		1x1		4x2	2x3 6;		16	x1	4x2	2x3	4;
		6x1	4x2		8x3	8;		6x1	3x2	8x3	4;
		2x1	9x2		4x3	13.		2x1	7x2	4x3	8.

3x1

9x2

2x3

8x2

6x3

13;

6x2

2x3

2x1

6x2

4x3

12;

2x2

2x3

2x2

4x3

2x2

8x3

14;

7x1

4x2

4x3

2x1

6x2

6x1

2x2

2x3

10;

3x2

2x3

5x1

9x2

5x3

17.

2x1

2x2

2x3

10;

3x1

2x2

6x3

5x3

2x1

2x2

4x3

3x1

3x2

13.

4x1

3x2

3x3

2x2

4x3

4x1

4x2

4x1

2x2

10;

4x2

3x3

3x1

2x2

7x3

2x1

3x2

6x3

12.

Задание 4. Предел функции

Найти предел.

lim

;

б)

lim

7x 3

lim

;

б)

lim

x 2

7x 18

x 2

lim

;

б)

lim

2x2

2x2 1 ;

б)

lim x 1

4x2 .

lim

;

б)

4 x3

lim

;

lim

б)

lim

;

б)

lim

5x2

																																																	x2					8
8	a)	lim		9									x					2				;																			6x				7				x2					8
				9									x					2																	б)	lim														4				.

				3									x					4
		x	5	3									x					4																							6x				5
																																				x					6x				5

																																																		5
	a)																																										7 x2
9	a)	lim									x	2							x						3								x2	x 3 ;	б)			5					7 x2								x2
		x																																		lim						5											.
		x																																		x	0
																																				x	0

				2x2										14x											16																											x3		4
10	а)	lim		2x2										14x											16				;						б)						3x3					7							13
10	а)	lim																											;						б)						3x3					7							13
		x	8 x2										10x											16												lim																		.
		x	8 x2										10x											16												lim					3x	3				5								.
																																				x					3x					5

											2													x			12																					x2
11	a)		lim								2													x			12						;		б)						1			8x						4			.

		x		4						x		4										x2								16						lim
		x		4						x		4										x2								16						lim		5						8x
																																				x		5						8x

											x3													3x			2																				7
	a)																																						7				4x
12		lim																													;				б )	lim											x			.
12		lim					x2																								;																x
		x					x2					1										3x					1											7
																																				x	0	7

																																																				4x2 9
	a)										x2							1							2																		2									4x2 9
13			lim								x2							1							2	;															2x		2			1							7
																																			б)																		7
												2																								lim																		.
		x		3							x							6							3
																																									2x				2
																																													2
																																				x

	a)					3x2											5x 2									;															7 2x							x 3
14			lim																																б)	lim																	.
14		x	lim	2 x2										7x 10																					б)	lim					8 2x												.
		x		2 x2										7x 10																						x					8 2x
						2x2						5											x2							4																2
	a)																																						5				3x
15		lim																															;		б)	lim											x			.
15		lim						4x				1											2x							3			;														x
		x																																				5
		x																																		x	0
																																				x	0

					5x2										25x										30																											x3		5
16	a)	lim			5x2										25x										30					;					б)			6						4x2									3
																																						6						4x2									3
											2																									lim																		.
								x			2					2x									8											lim										2								.
		x	2					x								2x									8											x		3						4x		2
																																				x		3						4x

									2															16																									4x					2
	a)																															;						2						4x
17		lim																																	б)	lim														3				.

						x						4									2
		x	4																	x	2					16												5						4x
		x	4																	x						16										x
																																				x

																																																				x3		1
							2x					7						3																							6x	3				4						x3		1
18	a)	lim					2x					7						3							;										б)							3
																																				lim																		.

									x			4						2
																																										3
		x	8																																	x					6x	3				6
		x	8																																	x					6x					6

																																													7
												x 2														x 2																			7

19	a)	lim					x											1															;		б)	lim		4x 3 x								8 .
19		lim																																	б)	lim										8 .
		x																																		x	0	3


								4x2										7							3x											lim x
20	a)	lim						4x2										7							3x			;							б)					1			9x.
																																			б)								9x.
											3 27x3
		x		11							3 27x3														4											x	0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.52 Mб85462.pdf
#
13.11.20221.52 Mб25463.pdf
#
13.11.20221.52 Mб85464.pdf
#
13.11.20221.52 Mб55465.pdf
#
13.11.20221.55 Mб105466.pdf
#
13.11.20221.55 Mб05467.pdf
#
13.11.20221.56 Mб05468.PDF
#
13.11.20221.56 Mб55469.pdf
#
13.11.20221.56 Mб815470.pdf
#
13.11.20221.56 Mб65471.pdf
#
13.11.20221.56 Mб55472.pdf