- •III. Производная и исследование функций
- •§ 6. Основы дифференцирования функций
- •Производные от основных элементарных функций
- •Обобщённая таблица основных производных
- •Дополнительные примеры поиска производных
- •Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
- •§ 7. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
- •§ 9. Исследование функций и построение графиков
- •Общая схема исследования функции
- •1) Элементарное исследование:
- •2) Монотонность и экстремум:
- •3) Выпуклость и перегиб:
- •Замечание о поиске 2-х производных
III. Производная и исследование функций
§ 6. Основы дифференцирования функций
Производная от функции – это предел , или, что то же самое, . Производная показывает, во сколько раз (вблизи точки x) функция меняется быстрее, чем аргумент.
Значение производной в точке – это число, обозначаемое . Производная в общем виде – это новая функция, обозначаемая как . Возможны также обозначения или , если .
Замечание 1. Значение производной зависит от единиц измерения аргумента и функции. Например, если цену измерять в рублях, скорость изменения спроса будет в 100 раз выше, чем при измерении цены в копейках. Этим производная отличается от таких понятий, как эластичность, темп прироста, относительный прирост, и некоторых других, применяемых в экономических приложениях.
Производные от основных элементарных функций
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) .
Во 2-й и 3-й формулах и . Полезно запомнить частные случаи:
;
(поскольку ).
Производные других функций получают на основе правил дифференцирования.
Основные правила дифференцирования (в сокращённой записи):
1) ; 2) для любого ;
3) ; 4) .
Производная сложной функции. Если даны функции и , то производная сложной функции , определённой как , обладает свойством и находится обычно по этой формуле.
На основе этого правила получается
Обобщённая таблица основных производных
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ,
а также частные случаи, аналогичные приведённым выше.
Как следствия из основных свойств получаются производные
;
.
Правила дифференцирования отражают объективные свойства функций и помогают найти производную наиболее простым образом. Любая попытка «исправить правило» (например, решить, что ) приведёт к противоречию.
ОД1. Даны функция , точка и приращение аргумента . Найдите и – значения функции в точках и , приращение функции и отношение .
Замечание 2. При решении примеров с чётными номерами (2, 4, 6, 8 и 10) воспользуйтесь результатами примеров 1, 3, 5, 7, 9 соответственно.
1) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
2) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
3) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
4) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
5) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
6) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
7) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
8) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
9) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
10) ;
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Замечание 3. В примерах 9 и 10 число 2 добавлено во избежание деления на 0 в примере 10. На величину в примере 9 оно не влияет.
Пример 1а. Пусть , , тогда
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) (значение точное).
Пусть теперь , но по-прежнему , тогда
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д)
(обратите внимание на применение знаков точного и приближённого равенства).
Пример 1б. Пусть , , тогда
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
Пусть теперь при тех же и :
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
ОД2. Найдите производные от суммы, разности, произведения и частного функций и , а также производные от их линейных комбинаций и :
1) , при этом
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
2) , при этом
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
3) , при этом
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Пример 2. Пусть и даны функции
а) ; б) ; в) .
Найдём – эта производная понадобится во всех трёх случаях;
а) для пары и дополнительно находим , тогда
; ;
;
;
;
.
Обратите внимание, что и (по таблице производных). Полученные выше результаты совпадают с табличными;
б) для пары и находим , тогда
; ;
;
;
;
;
в) для пары и находим , тогда
; ;
;
;
;
.
ОД3. Найдите производную функции , применив правило :
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Пример 3. Напомним, что :
а) пусть , тогда ;
б) пусть , тогда ;
в) пусть , тогда .
ОД3а. Для функций из задания ОД3 составьте функцию , представьте как и найдите производную по правилу .
Пример 3а. Пусть даны функции
а) ; б) ; в) ; г) .
Учтём, что :
а) если , то , тогда ;
б) если , то , тогда ;
в) если , то и ;
г) если , то и .
ОД4. Найдите производную функции , зная производную для функции и применив правило дифференцирования :
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Таким же образом найдите производные для функций задания ОД3 и сравните с уже известными результатами.
Пример 4. Пусть даны функции
а) ; б) ; в) ;
а) если , то , при этом и
;
б) если , то , при этом и
;
в) если , то , при этом и
.
Заметим, что , что совпадает с полученной выше производной. Также
.
Проще и надёжнее искать производные от степенной функции, а не от дроби.
ОД5. Найдите производную функции , если :
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Пример 5. Воспользуемся указанным выше правилом:
а) пусть , тогда ;
б) пусть , тогда ;
в) пусть , тогда .
Заметьте, что по свойствам логарифма и по свойствам производной также будет
и .
ОД6. Найдите производную функции по правилу :
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Пример 6. По правилу дифференцирования показательной функции:
а) пусть , тогда
;
б) пусть , тогда ;
в) пусть , тогда .
ОД7. Применяя свойство логарифма и правило , где – любое число, продифференцируйте функцию :
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Пример 7. По правилу дифференцирования логарифма некоторой функции
а) если , то , поэтому ;
б) если , то , и ;
в) если , то , поэтому
.
ОД8. Представив функции как квадраты, т.е. считая, что , где – некоторая более простая функция, найдите производные функций по правилу дифференцирования :
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Пример 8. По правилу дифференцирования квадрата некоторой функции
а) если , то ;
б) если , то
;
в) если , то .
ОД9. Представив функции как , где – более простая функция, а – некоторый показатель степени (число), найдите производные функций по правилу дифференцирования :
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) ; л) ; м) .
Пример 9. Найдём производные функций, возведённых в степень:
а) пусть , тогда
;
б) пусть , или , тогда
;
в) если , или , то
.
ОД10. Задание то же, что в ОД9, но число – дробное:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) ; м) .
Пример 10. Продифференцируем функции, стоящие под знаком корня:
а) пусть , т.е. , тогда
;
б) пусть , т.е. , тогда
;
в) если , т.е. , то
.