571_Sibirjakov_E.B._Kratkij_Kurs_Linejnoj_Algebry

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (СибГУТИ)

Е.Б. Сибиряков

Краткий курс линейной алгебры

Учебное пособие

Новосибирск

2015

1

УДК 512.64(075.8)

Рекомендовано кафедрой высшей математики Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики для студентов

по направлению подготовки дипломированного специалиста 080100 – Экономика (протокол № 04 от 02.12.2014)

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензенты канд. техн. наук Ю.А. Орлов д-р физ.-мат. наук Д.В. Воронин

Сибиряков Е.Б. Краткий курс линейной алгебры : Учеб. пособие / Сибирский гос. университет телекоммуникаций и информатики; каф. высшей математики. – Новосибирск, 2015. – 39 с.

Пособие содержит учебный материал для изучения теории по курсу «Линейная алгебра». Предназначено для использования в учебном процессе преподавателями и студентами при изучении математики в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов подготовки бакалавров по направлению 080100 – Экономика.

©Сибиряков Е.Б., 2015

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2015

2

ОТ АВТОРА

За последние 30 лет вычислительные технологии изменили парадигму научного мышления и даже скорректировали понятие того, что такое наука. В настоящее время подавляющее большинство практических задач, с которыми приходится сталкиваться специалистам совершенно разных областей, сводятся

кчисленному моделированию. Последнее, в свою очередь, неизбежно приводит

кзадачам линейной алгебры. Еще в 90-е гг. прошлого века основной математической дисциплиной считался математический анализ. Матанализ – это интегралы, дифференциальные уравнения, точные решения − важнейший инструмент аналитического моделирования, позволяющий решать задачи не только физики, но и теории вероятностей, обработки данных, фильтрации и пр. Линейная алгебра при этом считалась хоть и важным, но все-таки дополнением к основному курсу математического анализа. Хотя в математической экономике и экономической кибернетике линейная алгебра уже и тогда была основным инструментом моделирования. С развитием вычислительных технологий ситуация изменилась кардинально. Сейчас большинство задач решается численно, т. е. в значительной степени методами линейной алгебры. Матанализ же дает возможность оценивать точность и достоверность моделирования, а также границы его применимости. В частности, как сказал академик С.К. Годунов, если размер матрицы больше чем три на три, за ней скрывается матанализ.

Несмотря на наличие стандартных программ, позволяющих решать основные задачи линейной алгебры на ЭВМ за доли секунды, овладеть стандартным аппаратом, понятиями, алгоритмами упомянутой выше дисциплины сегодня также необходимо, как и тридцать лет назад. Учебные задачи, которые предстоит научиться решать, помогут получить представление об алгоритмах, использующихся в стандартных программах, а также об ограничениях, которые могут возникнуть при их применении.

Данный курс является очень коротким. Он содержит лишь основные понятия и методы вычислений. Однако, освоив основной аппарат линейной алгебры, вы сможете легко разобраться и с аналитической геометрией, которая является лишь одним из приложений линейной алгебры, и со всем тем, что не вошло в рамки данного курса, но может потребоваться в вашей дальнейшей работе и учебе.

Удачи!

3

ЛЕКЦИЯ 1

Матрицы

Понятие числовой матрицы. Вектор есть упорядоченный набор чисел. Что значит упорядоченный? Это значит, что у каждого числа зафиксирован номер. То есть векторы (2,1) и (1,2) не равны (2,1) ≠ (1,2). Числа те же, а порядок их расположения – различный. В современных книгах вектор обозначается жирным шрифтом. Например, а = (1,2,3,4) – вектор-строка. Это значит, что его первый элемент есть 1, второй – 2 и т. д. Можно обозначить вектор и использо-

ванием нижнего индекса, например, аi, где i – номер элемента (в рукописях вектор обозначается стрелкой или палочкой сверху, (а). Можно представить тот же вектор в виде столбца:

1

а= 23 .

4

Точно таким же образом можно описывать объекты, в которых элементы зависят от двух номеров (индексов) аik. При этом первый индекс назовем номером строки, второй – номером столбца.

Определение. Числовой матрицей называется упорядоченный набор чисел, состоящий из m строк и n столбцов.

Матрицы используются для обработки данных, а также для сокращения записи.

Подматрицы

Если из матрицы удалить какие-либо строки или столбцы, то получится подматрица данной матрицы. Например, если из матрицы А удалить первый

2 3

столбец, то получится ее подматрица A1 .

4 6

4

Равенство матриц

Две матрицы (aik) и (bik) называются равными, если равны все соответ-

ствующие элементы этих матриц, т. е. aik = bik i и k ( – квантор всеобщности, т. е. означает для всех).

Квадратная матрица

Матрица называется квадратной, если число строк в ней совпадает с числом столбцов, т. е. m = n. Число m в этом случае называется порядком матрицы.

Элементы квадратной матрицы, в которых i = k называются диагональными и образуют диагональ.

Соответственно, диагональной матрицей называется квадратная матрица, в которой все элементы, кроме диагональных, равны нулю. Например, диаго-

Другие виды матриц

Матрица-строка (вектор-строка) – матрица размерности 1×n. Матрицастолбец (вектор-столбец) – матрица размерности m×1.

Нулевая матрица – матрица, в которой все элементы равны нулю. Единичная матрица – диагональная матрица, все ненулевые элементы

такая, в которой аik = aki i, k, т. е. элементы этой матрицы симметричны относительно диагонали (строки совпадают со столбцами).

Треугольная матрица – матрица, в которой все элементы выше (или ни-

же) главной диагонали равны нулю. То есть аik= 0, if i>k (или i < k). Например, две матрицы третьего порядка:

рица.

Линейные операции над матрицами

Линейные операции – сложение матриц и умножение на число. Обычно выполнение этих операций не вызывает трудностей. Единственное, что нужно помнить, – это то, что размерности матриц при сложении должны быть одинаковыми, иначе складывать их нельзя (как говорят люди, размерность не согла-

5

сована, машины же выражаются примерно так: matrix dimensions must be agree). Если же размерность согласована то при сложении матриц нужно сложить со-

ответствующие элементы, aik + bik, например:

Произведение матриц

Warning. Неумение перемножать матрицы автоматически влечет на экзамене оценку «неудовлетворительно».

Замечание. Перемножать матрицы можно только в том случае, если их размерность согласована, т. е. число строк в одной матрице совпадает с чис-

лом столбцов во второй (matrix dimensions must be agree).

Произведение строки на столбец есть число, которое находится точно так же, как и скалярное произведение. Например, для размерности 2 скалярное произведение строки на столбец имеет вид:

[ , ]· = + .

Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элементы которой с есть произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, т. е.

где l − число столбцов матрицы А и число строк матрицы В.

Зачастую знак суммы при суммировании по повторяющемуся индексу опускают (соглашение Эйнштейна), поэтому формулу для нахождения произведения матриц можно записать и так: = .

На практике советую производить перемножение «двумя руками», т. е. левая рука идет по строке матрицы А, правая – по столбцу матрицы В, вычисление суммы происходит устно. Пример:

из применений – для сокращения записи. Например, у вас есть система из двух

Далее, чтобы не переписывать переменные, систему можно записать в

Удобство такого представления мы поймем, когда будем изучать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Замечу, что в стандартных программных продуктах, например MathLab, используется именно такая запись систем уравнений. То есть эта форма удобнее не только для людей, но и для ЭВМ.

Замечание. Вообще говоря, произведение матриц некоммутативно, т. е. АВ ≠ ВА. В случае, если АВ = ВА, то матрицы А и В называют перестановочными.

Транспонирование матриц

Транспонирование есть замена строк столбцами. То есть, если элементы матрицы А есть а , то элементы транспонированной матрицы есть а .

Обозначения. Устаревшее обозначение Ат, современное − А (используется на ЭВМ).

Свойства. 1. Транспонирование, произведенное два раза подряд, приводит к исходной матрице:

( ) = .

.( )′ = ′ ′.

. − симметричная матрица.

7

ЛЕКЦИЯ 2

Определитель

Определитель квадратной матрицы с элементами аik есть сумма чле-

нов (указанных выше) всех возможных упорядоченных множеств k1, k2, …, kn, полученных r попарными перестановками (транспозициями) элементов из множества 1, 2, …, n. Число n есть порядок определителя.

Примеры. n = 2. Наборов только 2: (1,2) r = 0, (2,1) r = 1.

n = 3. Наборов 6: (1,2,3)(r = 0) (1,3,2)(r = 1),(2,1,3)(r = 1), (2,3,1)(r = 0), (3,1,2)(r = 0), (3,2,1)(r = 1).

Справка. Факториал. 0! = 1, 1! = 1, 2! = 1·2, 3! = 1·2·3, 4! = 1·2·3·4, и т. д.

Достаточно сложное определение. Сложность в том, что можно легко запутаться в переборе перестановок, соответственно, это определение на практике не используется. Попробуем подойти к этому вопросу с другого конца.

Определитель второго порядка Определителем второго порядка называется число, равное

=− .

Миноры и алгебраические дополнения

Минором Мij элемента аij называется определитель матрицы, полученной удалением строки с номером i и столбца с номером j.

Пример для матрицы третьего порядка:

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется число, рав-

ное (–1)i+jMij, т. е. Аij = (–1)i+jMij.

Примеры. А11 = М11, А12 = – М12.

8

Теорема (без доказательства) о вычислении определителя путем разложения по строке или столбцу

Первая сумма – разложение по столбцу с номером j, вторая – по строке с номером j. Интересно, что результат не зависит от j. То есть вычислять определитель можно разложением как по строке (по любой), так и по столбцу (опятьтаки по любому).

Вывод. Вычисление определителя порядка n может быть сведено к вычислению определителей порядка −1. Соответственно, рано или поздно процесс сведется к вычислению определителей второго порядка.

Пример. Вычисление определителя третьего порядка путем разложения по верхней строке.

Знаки + или – указывают на совпадение или различие знака минора и алгебраического дополнения.

Недостатки метода. Катастрофическое (с точки зрения практических вычислений и вычислительных алгоритмов) возрастание количества операций с ростом порядка определителя (~n!). По этой причине стандартные программы этот метод не используют.

Свойства определителей

1.Определитель не изменяется при транспонировании матрицы. То есть при вычислении определителя все утверждения для строк справедливы и для столбцов.

2.При перестановке двух соседних строк определитель меняет знак на противоположный.

3.Определитель с двумя равными строками равен нулю.

4.Общий множитель любой строки можно вынести за знак определителя.

5.Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы любой другой строки, умноженные на любое число.

6.Определитель диагональной, а также треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

7.Определитель произведения матриц равен произведению определите-

лей.

9

Вывод. Определитель матрицы равен нулю, если:

1.Хотя бы в одной из строк все элементы равны нулю (нулевая строка).

2.Хотя бы две строки совпадают.

3.Хотя бы одна из строк есть линейная комбинация остальных. Пояснение на примере определителя третьего порядка.

( − квантор существования).

С точки зрения теории информации это означает, что, по крайней мере, одна из строк не несет никакой информации о системе и является тавтологией.

Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований

Определение. Элементарным преобразованием называется прибавление к какой-либо строке любой другой строки, умноженной на любое число.

Вспомним свойства определителей. С одной стороны, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. С другой – определитель не изменяется при проведении элементарных преобразований.

Возникает вопрос. Можно ли с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду? То есть найти матрицу, определитель которой будет таким же, но вычислять его будет элементарно просто. Ответ. А почему нет? Давайте попробуем.

После реализации первого шага мы добились нулей в первом столбце. Далее – первая и вторая строка без изменений. Процесс продолжается до получения треугольной матрицы. Обратите внимание, что с каждым шагом количество операций сокращается.

Примерно в таком виде алгоритм используется в стандартных программах. Отличие лишь в том, что для уменьшения погрешности вычислений сначала в матрице находится максимальный по модулю элемент. Он называется

10