УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 1. Числовые ряды
.pdfПожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. IV. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 138 с.
Лекция №1
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Числовой ряд, сходимость, сумма. Основные свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов: Даламбера, Коши, интегральный признак. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Определение ряда и его свойства
Определение: Пусть задана последовательность чисел |
a1,a2 ,...,an... |
Составленная из этих |
|
|
|
|
|
чисел бесконечная сумма a1 a2 ... an ... an называется бесконечным рядом, а числа |
|||
|
n 1 |
|
|
a1,a2 ,...,an... называются элементами ряда. |
|
|
|
Определение: Элементы последовательности = |
, = + |
, = + + ,…, |
|
|
|
|
|
= + + + |
называются частичными суммами ряда an |
|
n 1
Определение: Если последовательность , ,…, имеет конечный предел, то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся. Если последовательность не имеет предела или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.
Замечание: Следующий простой пример показывает, что с бесконечными суммами нельзя обращаться как с конечными:
1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 0 0 0 ... 0 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... 1 0 0 ... 1.
Примеры: 1) Геометрическая прогрессия an a1 qn 1 , q 1 .
Число q называется знаменателем прогрессии, сумма первых n элементов прогрессии может
быть вычислена по формуле Sn |
|
a1 1 qn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если |
|
q |
|
1, то limqn |
0 , |
|
limS |
n |
|
lim |
a1 1 qn |
|
|
|
|
a1 |
|
|
и ряд сходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 q |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
|
q |
|
|
1, то не существует конечного предела limSn |
и ряд расходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
2) Рассмотрим ряд с элементами a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1 |
,a |
|
|
|
1 |
,a |
|
|
|
|
1 |
,a |
|
|
|
|
|
|
1 |
,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Поскольку |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n2 |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
1. Ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
→ |
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Рассмотрим ряд 1 n . Его частичные суммы поочередно принимают значения -1 и 0. |
||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
Такая последовательность не имеет предела. Ряд расходится. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4) Рассмотрим ряды a a a a ... и |
n 1 2 3 ... |
Сумма первого ряда при a 0 |
||||
|
|
|
n 1 |
n 1 |
|
. |
равна (знак суммы зависит от знака числа a ), сумма второго ряда равна |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Определение: если в ряде a1 a2 ... an ... an отбросить первые k |
слагаемых, то |
|||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
получится новый ряд |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak 1 ... an ... an |
, |
|
|
n k 1
называемый k -тым остатком ряда an .
n 1
Теорема (об остатках ряда)
1) Если ряд an сходится, то сходится и любой из его остатков.
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Если сходится какой-либо остаток an ряда an , то сходится и ряд an . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: 1)Пусть ряд an сходитсяи егосуммаравна A,а A1, A2 ,..., An...-частичные |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суммы ряда. Существует конечный предел частичных сумм lim A A. Рассмотрим |
k -тый |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
остаток ряда ak 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Пусть n k |
. Рассмотрим частичную сумму An' |
остатка: |
||||||||||||
... an |
|
... an |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ak 1 ak 2 ... an |
a1 a2 |
... ak 1 |
ak 2 ... an |
a2 ... ak |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
An' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An |
|
|
|
|
постоянная |
|
|
|
|
||
Вычислим предел частичных сумм остатка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim A' |
lim |
A |
|
a a |
|
... a |
|
lim A |
a |
a |
|
... a |
|
|
|
|
|
|
|||||
n n |
n |
n |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
n n |
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
A a1 a2 ...an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Значит, остаток ряда сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Пусть сходится остаток an |
и его сумма равна A' . При |
n k |
рассмотрим частичную |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумму ряда |
an : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An a1 a2 |
... an a1 |
a2 |
... ak ak 1 ak 2 |
... an |
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim A |
a |
a |
|
... a |
|
|
|
A' |
. Ряд сходится. Теорема доказана. |
|
|
|
|||||||||||
n n |
1 |
|
2 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (сходимость и линейные операции) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Если |
|
сходится |
|
ряд |
|
|
a1 a2 |
... an ... an , |
то |
сходится |
и |
ряд |
n 1
сa1 сa2 ... сan ... сan , где с - любое действительное число.
n 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Если сходятся ряды a1 a2 |
... an ... an |
|
и |
b1 b2 |
... bn ... bn , то сходится и ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
a1 |
b1 a2 b2 ... an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an bn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
bn ... |
называемый суммой рядов an |
и bn . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: 1) Пусть ряд an |
|
сходится и его сумма равна A. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначим |
An |
частичную сумму ряда an и An' |
частичную сумму ряда сan . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
lim сa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
clim A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim A' |
|
сa |
|
... сa |
|
cA |
. Ряд |
|
сa |
|
сходится. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
n |
n |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Обозначим |
|
An |
частичную сумму ряда an |
и |
Bn частичную сумму ряда bn . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть ряды an |
и bn сходятся и их суммы равны соответственно A и B. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
... a |
|
|
|
|
lim |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim a |
|
|
b |
|
|
b |
|
a |
|
... a |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim b b |
|
... b |
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряд сходится. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Теорема (необходимый признак сходимости) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ряд |
|
a |
n |
|
сходится, то lima |
n |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: Пусть сумма ряда an равна A. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim a |
|
n 1 |
|
|
|
|
A A 0. Теорема доказана. |
|
|||||||||||||||||||||
lima |
|
|
a |
|
... a |
|
|
a |
|
... a |
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
n |
n |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание: из теоремы следует, что если liman 0, то ряд расходится. Как будет показано
n
дальше, обратное утверждение не имеет места: существуют расходящиеся ряды, у которых
liman 0.
n
Признаки сходимости положительных рядов
Рассмотрим ряды, все элементы которых положительны. В этом случае обязательно существует конечный или бесконечный пределчастичных сумми расходимость ряда означает, что этот предел существует, но бесконечен.
Пример 1 (гармонический ряд)
Пусть дан ряд |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим частичные суммы ряда вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
|||||
2 |
|
3 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
|
16 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
... |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
... |
|
1 |
n |
1 |
|
|
|
1 |
||||||||||||
|
n 1 |
n 2 |
|
n n |
|
|
|
|
|
|
2n |
2n |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
то, |
полагая n 2 , |
получим |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
. Полагая |
|
n 3, |
получим |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
; при |
n 4: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
... |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
16 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
обозначим |
|
|
частичные |
|
|
|
суммы |
|
|
|
ряда |
|
|
|
An , |
тогда, |
|
|
как |
|
|
|
только |
|
|
|
что |
|
|
было |
показано, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A k |
1 |
|
|
1 ... 1 |
k |
|
. Значит, частичные суммы ряда не могут быть ограничены сверху и ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k _ раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 2 (обобщенный гармонический ряд) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рассмотрим ряд |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... Случай |
|
1 рассмотрен в предыдущем примере. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть 1, тогда |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
и |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
... |
1 |
|
1 |
|
1 |
... |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
k |
|
1 |
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
По теореме о пределе и неравенствах для последовательностей получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
. |
|
|
То, |
что последний предел равен |
было |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
доказано в предыдущем примере. Ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть 1. Обозначим 1 ; 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
... |
1 |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т. д. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, для любой частичной суммы A2k справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(здесь воспользовались формулой для суммы геометрической |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
прогрессии). Ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример: Ряды |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходятся, |
а ряды |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходятся. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
n 1 |
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (признак сравнения рядов) Пусть даны два ряда с положительными слагаемыми:
|
|
|
|
|
an |
и bn . Если an |
bn , хотя бы начиная с некоторого номера n, то из сходимости ряда |
||
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
следует сходимость ряда an и из расходимости ряда an следует расходимость ряда |
|||
n 1 |
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
bn . |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
Доказательство: Пусть неравенство an |
bn |
выполняется при всех n N . Рассмотрим N -ые |
||
|
|
|
|
|
остатки рядов an и |
bn . Пусть ряд |
bn |
сходится, тогда сходится и его остаток bn , |
|
|
n 1 |
n 1 |
n 1 |
n N 1 |
значит, частичные суммы этого остатка ограничены. Поскольку an bn , то тем более будут
ограничены частичные суммы остатка an , и этот остаток сходится. Значит, сходится и ряд
n N 1
an . Расходимость доказывается аналогично. Теорема доказана.
n 1
Следствие: Если существует предел lim an L , то из сходимости положительного ряда
n bn
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
bn следует сходимость положительного |
ряда |
an |
, а из расходимости an |
следует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
расходимость bn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
Примеры: |
1) |
ряд |
|
|
|
|
|
сходится, т.к. |
|
|
|
|
|
|
, |
а ряд |
|
|
сходится, т.к. |
является |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 n |
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|||||||||||||
обобщенным гармоническим рядом при 2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
2) Ряд |
|
|
|
расходится, т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, а ряд |
|
|
расходится. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n 1 |
n 0,5 |
|
|
|
|
|
|
n 0,5 |
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема (признак Коши) Пусть дан ряд an с положительными элементами, тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Если limn an |
1 |
, то ряд |
|
a |
n |
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Если limn an |
1 |
, то ряд |
|
a |
n |
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: Обозначим bn n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
A 1. Выберем число 0 такое, что |
A 1. По определению предела |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) Пусть limn |
an |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательности найдется номер N такой, что для всех номеров n N будет выполняться
неравенство bn A . Рассмотрим |
последовательность |
cn |
A n |
(сходящаяся |
||||
|
|
|
bn n |
|
A , то |
|
A n . |
|
геометрическая прогрессия). Поскольку |
an |
an |
По признаку |
|||||
сравнения ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
||
2) Пусть теперь limn |
|
A 1. Выберем |
0 такое, что A 1. |
|
||||
an |
Снова по определению |
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
предела найдется номер |
N такой, что для всех номеров n N будет выполняться неравенство |
||
bn n |
|
1. Значит, и |
an 1. Ряд 1 1 ... 1 ... расходится (по необходимому признаку |
an |
сходимости), значит, по теореме сравнения расходится и ряд an . Теорема доказана.
n 1
|
|
2n |
|
|
||
Пример: Ряд |
сходится. По признаку Коши: limn an |
|||||
|
n |
n |
||||
|
n |
|||||
|
n 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Теорема (признак Даламбера1) Пусть дан ряд an . |
||||||
|
|
|
|
n 1 |
||
|
|
an 1 |
|
|||
1) Если lim |
1, то ряд an сходится. |
|||||
an |
||||||
n |
n 1 |
limn |
2n |
lim |
2 |
0 1 |
nn |
|
|||
n |
n n |
|
1 Даламбер Жан Лерон (1717-1783) французский математик, механик и философ. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре, механике.
|
|
|
|
an 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
Если lim |
1, то ряд an расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Без доказательства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
3 |
n 1 |
|
|||
Пример: Ряд |
|
|
|
|
|
сходится. |
По признаку Даламбера an |
|
;an 1 |
|
|
, |
|||||||||||||
n! |
n! |
n 1! |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
an 1 |
lim |
3n 1 |
|
|
|
|
n! |
lim |
3 |
|
|
0 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n an |
n |
|
|
3n |
n n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теорема (интегральный |
признак сходимости) Пусть |
y f x |
- непрерывная, |
положительная и монотонно убывающая функция одной действительной переменной. Ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f n сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл f (x)dx. |
|||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Доказательство: Пусть F(x) |
- какая-либо первообразная функции f (x) . Поскольку f (x) 0 |
||||||||||||||||||||||||
, то F(x) - возрастающая функция, значит, |
существует конечный или бесконечный предел |
||||||||||||||||||||||||
limF(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(n 1) F(n) : |
A1 F 2 F(1), |
|||||
Рассмотрим |
частичные |
суммы |
An |
|
|
ряда |
|
|
|||||||||||||||||
|
F 2 F(1) F(3) F(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A2 |
F(3) F(1), |
|
|
|
A3 |
F 3 F(1) F(4) F(3) |
F(4) F(1),…, |
||||||||||||||||||
An |
F(n) F(1) n |
f (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(n 1) F(n) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Значит, если |
limF(x) , |
то |
ряд |
|
сходится, в |
противном |
случае – |
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится. По формуле конечных приращений на промежутке n;n 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
F(n 1) F(n) f (n ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где 0;1 . Значит, поскольку функция |
|
f (x) монотонна, то |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
f n 1 F n 1 F n f n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если сходится |
ряд |
|
F(n 1) F(n) lim |
|
|
|
f (x)dx, то по |
признаку |
сравнения |
||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n . Аналогично, |
|
сходится и ряд f n 1 . Тогда, по теоремеоб остатках, сходится и ряд |
f |
||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если ряд F(n 1) F(n) |
f (x)dx |
расходится, то |
|
расходится и ряд f n . Теорема |
|||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: Проверить сходимость ряда |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
nlnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение: Рассмотрим интеграл |
dx |
|
|
|
d |
|
|
dy |
|
ln y |
|
0 . Интеграл |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
xln x |
|
|
1 |
|
ln x |
|
|
0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
расходится. Значит, расходится и ряд |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
nlnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сходимость произвольных рядов
Рассмотрим ряд an , в котором лишь конечное количество элементов отрицательно,
n 1
остальные положительны. Тогда среди отрицательных элементов есть элемент с наибольшим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
номером N . Следовательно, остаток |
an содержит только положительные элементы. По |
||||||||
|
|
n N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме об остатках сходимость ряда |
an |
равносильна сходимости его остатка |
an |
и, |
|||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таким образом, вопрос о |
сходимости |
ряда |
an |
сводится к |
исследованию |
сходимости |
|||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительного ряда |
an . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть все элементы |
ряда |
an отрицательны и |
an bn ,bn |
0. Тогда по |
теореме |
о |
|||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимости и линейных операциях an bn . В ряде bn все элементы положительны, |
|||||||||
|
|
n 1 |
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
значит, и в этом случае вопрос о сходимости сводится к рассмотрению положительного ряда.
Рассмотрим ряд an , в котором лишь конечное количество элементов положительно,
n 1 |
|
|
|
|
|
остальные отрицательны. Тогда an |
bn , где |
bn 0 и вопрос о сходимости снова |
n 1 |
n 1 |
|
сводится к положительному ряду.
В связи с этим осталось рассмотреть ряды, в которых имеется бесконечное количество как положительных, так и отрицательных элементов.
Определение: Ряд an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд an .
n 1 |
n 1 |
Теорема (об абсолютной сходимости) Если ряд an абсолютно сходится, то он сходится.
n 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство: Пусть p1, p2 ,..., pl ,... - положительные элементы ряда an , q1,q2 ,...,qm ,... - |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||
его отрицательные |
|
элементы. Обозначим Sk k |
|
an |
|
, |
Pl l |
|
pn , |
где |
суммируются |
все |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
положительные элементы, входящие в частичную сумму |
Sk , Qm |
|
|
|
qn |
|
|
, где суммируются |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
модули всех отрицательных элементов, входящих в частичную сумму |
Sk . Поскольку Pl |
Sk |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ряд an сходится, то сходится и ряд pn . Обозначим |
pn P . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим ряд |
|
qn |
|
qn . Поскольку Qm Sk , то |
ряд |
|
qn |
|
|
qn сходится. По |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме о сходимости и арифметических операциях ряд |
qn сходится. |
Пусть qn |
Q. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
Поскольку ряд an содержит бесконечное количество как положительных, так и
n 1
отрицательных элементов, |
то |
при |
|
k , будет также |
l и |
m . Рассмотрим |
||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
P Q |
|
: lim |
|
a |
|
limP lim Q |
|
P Q . Теорема доказана. |
|
|||
|
k |
l |
m |
k |
|
n |
l |
l |
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание: Существуют сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся ряды.
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
Примеры: 1) Ряд |
|
|
абсолютно сходится, т.к. сходится ряд |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
n 1 n |
|
|
|
|||
|
sinn |
|
|
|
|
|
sinn |
|
|
|
sinn |
|
|
sinn |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) Ряд |
|
|
|
сходится, т.к. ряд |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
2 |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
2 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение: Знакочередующимся называется ряд an , элементы которого удовлетворяют |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условию an an 1 0 для любого числа n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Замечание: знакочередующийся ряд принято записывать |
в |
|
виде |
с1 с2 с3 |
с4 |
... или |
|||||||||||||||||||||||||||
с1 с2 с3 |
|
с4 ..., где все элементы сi |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (признак Лейбница) Если слагаемые знакочередующегося ряда монотонно убывают
по абсолютной величине сn 1 |
сn и стремятся к нулю |
limсn 0 , то ряд сходится. |
|
|
n |
Доказательство: Рассмотрим частичную сумму, состоящую из четного числа слагаемых
С2m c1 |
c2 c3 c4 ... c2m 1 |
c2m . |
Поскольку |
сn 1 cn , |
то |
сn cn 1 |
0 |
и |
|||
последовательность |
таких |
частичных |
сумм |
возрастает. |
Поскольку |
||||||
С2m c1 |
c2 c3 c4 c5 ... c2m и |
сn cn 1 |
0, |
|
сi 0, то |
С2m c1 . |
Значит, |
||||
последовательность частичных сумм С2m |
возрастает |
и |
ограничена сверху числом |
c1 , |
|||||||
следовательно, она имеет предел limС2m C . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа |
слагаемых |
С2m 1 |
С2m c2m . |
По |
|||||||
условию |
теоремы |
limcn 0, |
значит, |
lim С2m 1 |
limС2m lim c2m |
C 0 C . |
Значит, |
||||
|
|
n |
|
m |
m |
m |
|
|
|
|
limСn C и ряд сходится. Теорема доказана.
n
|
|
n 1 |
|
1 |
n |
|
|
n |
|||
Примеры: Из теоремы Лейбница следует, что сходятся ряды 1 |
|
, |
|
|
, |
|
1 |
|
. |
||
|
2n 1 |
|
|
|
|||||||
n 1 |
n |
|
n 1 |
n 1 |
n |
|
|
Замечание: легко проверить, что ни один из этих рядов не сходится абсолютно. Определение: Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, то такой ряд называется условно сходящимся.
|
1 |
n 1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Рассмотрим условно сходящийся ряд |
|
1 |
|
|
|
..., |
выберем произвольное |
||||
n |
|
2 |
3 |
4 |
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
число A и переставим в ряде элементы по следующему правилу: |
сначала соберем ровно |
столько идущих по порядку положительных элементов , чтобы их сумма была больше, чем A , затем добавим к полученной сумме ровно столько идущих подряд отрицательных элементов, чтобы новая сумма стала меньше, чем A, затем опять по тому же правилу добавим положительные элементы, чтобы новая сумма стала больше, чем A и т. д. Легко понять, что в пределе получится число A. Но, поскольку это число было выбрано произвольно, значит, перестановкой элементов в данном ряде можно добиться того, чтобы его «сумма» была равна любому числу. Это еще раз подчеркивает, что сбесконечными суммами нельзя обращаться как с конечными: нельзя переставлять слагаемые и даже не всегда можно произвольным образом расставлять скобки.
Теорема Римана2 (об условно сходящихся рядах) Пусть ряд an условно сходится, тогда
n 1
для любого числа A можно так переставить элементы в ряде an , что сумма ряда с
n 1
переставленными элементами будет равна A. Кроме того, можно так переставить элементы ряда, что ряд с переставленными элементами будет расходиться.
Без доказательства.
2 Риман Бернхард (1826-1856) немецкий математик. Основоположник геометрического направления в теории функций, создатель одной из неевклидовых геометрий. Труды по алгебраическим функциям, теории дифференциальных уравнений, теории чисел, тригонометрическим рядам и теории интеграла.