Контрольная работа
По дисциплине
« Теория вероятностей »
Вариант 1
1. Задание:
Числа натурального ряда 1, 2, 3, …., n расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 расположены рядом и притом в порядке возрастания.
Решение:
Вероятность расположения чисел 1-2 такая же как и в одной оставшейся перестановке (2-1) и эти два равновероятных случая исчерпывают все возможные расклады, значит вероятность составляет 1/2.
----------------
2. Задание:
Три станка работают независимо. Вероятность того что первый станок в течение смены выйдет из строя равна 0.1, для второго и тетьего станков эти вероятности соответственно 0.2 и 0.3. Найти вероятность того, что в течение смены:
1) Только один станок не выйдет из строя.
2) Не выйдут из строя только два станка.
3) Три станка выйдут из строя.
4) Хотя бы один станок не выйдет из строя.
Решение:
1 станок выход из строя - p1 = 0.1
2 станок выход из строя - p2 = 0.2
3 станок выход из строя - p3 = 0.3
1 станок продолжит работу - q1 = 0.9
2 станок продолжит работу - q2 = 0.8
3 станок продолжит работу - q3 = 0.7
1) Только один станок не выйдет из строя.
P(x) = p1 * p2 * q3 + p1 * q2 * p3 + q1 * p2 * p3
0.1*0.2*0.7 + 0.1*0.8*0.9 + 0.9*0.2*0.3 = 0.014 + 0.072 + 0.054 = 0.14
2) Не выйдут из строя только два станка.
P(x) = p1 * q2 * q3 + q1 * p2 * q3 + q1 * q2 * p3
0.1*0.8*0.9 + 0.9*0.2*0.7 + 0.9*0.8*0.3 = 0.072+0.126+0.216 = 0.414
3) Три станка выйдут из строя.
P(x) = p1 * p2 * p3
0.1*0.2*0.3 = 0.006
4) Хотя бы один станок не выйдет из строя.
P(x) = 1 - p1 * p2 * p3
1 - 0.1*0.2*0.3 = 0.994
----------------
3. Задание:
Сборщик получает в среднем 50% деталей первого завода, 30% - второго завода, 20% третьего завода. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества равна 0.7, для второго и третьего заводов эти вероятности соответственно равны 0.8 и 0.75.
Найти вероятность того, что:
1) На удачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества.
2) Выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом.
Решение:
1 завод отличное качество - р1 = 0.7
2 завод отличное качество - р2 = 0.8
3 завод отличное качество - р3 = 0.75
1) На удачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества.
Вероятность удачной детали равна сумме вероятностей деталей хорошего качества для каждого завода.
P(x) = (50/100)*0.7 + (30/100)*0.8 + (20/100)*0.75 = 0.35+0.24+0.15 = 0.74
2) Выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом.
По формуле Байеса
Р(1) = 0.2*0.75/0.74 = 0.2
----------------
4. Задание:
Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна p. Имеется k независимо работающих автоматов.
Найти:
1) Вероятность того, что:
А) будут работать в данный момент равно m автоматов.
Б) будут работать не болеее m автоматов.
2) наивероятнейшее число работающих автоматов среди k автоматов.
p = 0.55; k = 7; m = 4;
Решение:
p = 0.55; k = 7; m = 4; q = (1 - p) = 1 - 0.55 = 0.45
1. Вероятность того, что будут работать в данный момент m автоматов.
=
*pm
*qk-m
- вероятность того,
что из k включены
m автоматов
=
* (0.55)4
* (0.45)3 =
(0.55)4
* (0.45)3
= 35*0.091*0.091 = 0.290304
2. Вероятность того, что будут работать не болеее m автоматов.
По теореме сложения несовместных событий
= (7! / 0! * 7!) * (0.55)0
* (0.45)7
= 0.0037366
= (7! / 1! * 6!) * (0.55)1
* (0.45)6
= 7 * 0.55 * 0.00830 = 0.031969
= (7! / 2! * 5!) * (0.55)2
* (0.45)5
= 21 * 0.3025 * 0.018452 = 0.11722
= (7! / 3! * 4!) * (0.55)3
* (0.45)4
= 35 * 0.1663 * 0.041 = 0.23867
= (7! / 4! * 3!) * (0.55)4 * (0.45)3 = 35 * 0.0915 * 0.091125 = 0.29182
P(m == 4) = 1 – ( + + + + ) = 1 – (0.0037366 + 0.031969 + 0.11722 + 0.23867 + 0.29182) = 1 – 0.68118 = 0.31
----------------