МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФГБОУ ВО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛАМ "КИНЕМАТИКА", «СТАТИКА»

«КИНЕМАТИКА ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ», «РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ»

Тула

Аннотация

Данная работа посвящена применению основных теорем и принципов кинематики к исследованию механических систем, а также определению внешних и внутренних реакций связей.

Задание

Дано: a = 15 см, b = 60 см, OA = 20 см, АВ = 60 см, СD = 60 см, АС = 15 см, O₁D = 35 см, ВС = 45

1. Аналитический метод

Составление уравнений геометрических связей

Изобразим плоский механизм в произвольном положении (рис. 2). В качестве системы отсчета примем правую декартову систему координат. Начало системы координат расположим в подшипнике O. Положительные углы поворота в этом случае направлены против часовой стрелки.

Изобразим углы поворота звеньев _k, k=1,2,3, отсчитывая их от горизонтальной оси Ox в положительном направлении.

В состав данного многозвенного механизма входят:

- два кривошипа OA и D которые совершают вращательное движение вокруг неподвижных осей перпендикулярных плоскости xOy и проходящих через точки O и соответственно;

- два шатуна AB и CD, совершающих плоскопараллельное движение в плоскости xOy;

- ползун B движется возвратно-поступательно по оси Ox;

- неподвижное звено OO₁.

Для составления уравнений геометрических связей выделим точки механизма, траектории которых известны.

К этим точкам относятся шарниры A, B, C и D. Точки A, и D движутся по окружностям радиусов OA и D соответственно, а ползун B по прямолинейной траектории параллельной оси Oy (рис.2), точка С совершает сложное движение.

Шарнир A принадлежит одновременно шатуну AB и кривошипу OA, для которого известен закон вращательного движения и, следовательно, закон движения точки A определен. Шарнир D принадлежит одновременно шатуну CD и кривошипу DO₁, а шарнир C – шатуну CD и шатуну АС. Из двух точек C и B, одновременно принадлежащих шатуну АВ, одна является зависимой, т.е. определение закона движения одной точки приводит к возможности определения закона движения для другой.

Так как закон плоскопараллельного движения твердого тела можно определить по двум любым точкам этого тела, в качестве базовых точек, при составлении уравнений геометрических связей, примем точки B и D.

Построим для этих точек векторные контуры, с помощью которых можно составить уравнения геометрических связей (рис. 3):

для точки B (рис.3, а): (1)

для точки D (рис.3, б): (2)

Для получения уравнений геометрических связей запишем соотношения (1), (2) и (3) в проекциях на оси координат Ox и Oy

(2.a)

Перенося слагаемые с неизвестными функциями в одну сторону, получим уравнения геометрических связей в координатной форме

В уравненияx (3) задаваемой функцией является закон вращения ведущего звена , а определяемыми функциям и времени являются

Система (3) представляет замкнутую систему уравнений для определения законов движения всех звеньев многозвенного механизма.

Определение законов движения звеньев механизма.

Аналитические методы при решении нелинейных систем уравнений типа (3) применяются в тех случаях, когда необходимо получить (если это возможно) выражения для искомых функций в параметрическом виде. Для нахождения угловой координаты 𝜑1второе уравнение системы (3) перепишем в следующем виде

Или

Для нахождения законов движения звеньев механизма в аналитической форме запишем последние два уравнения системы (3) в следующем виде (рис. 2, рис. 3а, рис. 4)

(5)

где проекции вектора на оси координат; его модуль (рис. 4) Определим вектор из векторного выражения:

или

где

угол, определяемый выражениями:

Для нахождения угловой координаты приведем уравнения (5) к виду

и, воспользовавшись тригонометрической формулой получим

Используя формулы приведения, найдем

Так как является четной функцией углового аргумента, то угол может иметь два значения или что соответствует двум положением четырехзвенника относительно при одной и той же угловой координате ведущего звена (рис. 4).

Учитывая начальное положение механизма (рис. 2)

(6)

Для нахождения остальных неизвестных величин используем оставшиеся два уравнения системы (3). Из уравнения (5.а) найдем угловую координату звена :

а из первого –горизонтальную координату ползуна В

Уравнения (5) – (8) позволяют определить угловые координаты звеньев совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также закон движения звена движущегося поступательно.

Для заданного положения механизма получим:

Определение угловых и линейных скоростей звеньев.

Для определения скоростей звеньев механизма продифференцируем по времени систему уравнений (2.а). при этом следует учесть, что производные по времени от функции (t), , , равны

,

Перенося слагаемые с неизвестными в одну сторону, получим

(9)

Система уравнений (15) является линейной относительно неизвестных угловых и линейных скоростей звеньев, поэтому ее можно представить в матричной форме

, (10)

где A–матрица коэффициентов левых частей уравнений:

–вектор неизвестных угловых и линейных скоростей звеньев, B–вектор правых частей уравнений:

B =

Решение уравнений (16) будет иметь вид

(11)

Заметим, что система уравнений (11) легко распадается на две части: систему трех уравнений относительно угловых скоростей ведомых звеньев и уравнение, позволяющее определить скорость ползуна . В этом случае, задача определения неизвестных угловых скоростей упрощается. Неизвестные угловые скорости, в этом случае, можно определить из решения

(11'),

где ,

, = - вектор, составленный из неизвестных угловых скоростей;

а скорость ползуна B из соотношения

(11'')

В итоге получим:

=

Определение угловых и линейных ускорений звеньев

Для определения угловых и линейных ускорений звеньев механизма дважды продифференцируем по времени уравнения геометрических связей (3) или один раз уравнения (9). Представляя, как и ранее, линейную относительно угловых и линейных ускорений звеньев, систему уравнений в матричной форме, получим

(12)

где C – вектор правых частей уравнений:

вектор неизвестных угловых и линейных ускорений звеньев.

Решение уравнений (18) будет иметь вид

(13)