материалы за 2021г / лекции презентации / Лекция 05. Случайные погрешности
.pdf
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Обработка результатов многократных измерений
Из предположения, что случайная погрешность подчиняется нормальному закону распределения
1.Исключают известные систематические погрешности из результатов
2.Вычисляют оценки мат.ожидания и среднеквадратического отклонения:
1 |
n |
|
~ |
1 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
||||||
x = |
|
1 |
xi |
= |
|
|
1 |
(xi − x ) |
|
n −1 |
|||||||
n |
||||||||
3.Исключение промахов.
4.Проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению (критерий согласия Пирсона, Критерии 1-2)
5.Вычисляют доверительные границы случайной погрешности (с использованием коэффициента Стьюдента)
Pд = |
n −1 |
P |
= tq |
Sx |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
~ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
6. Вычисляют доверительные границы погрешности оценки |
P ; P = ...% |
|||||||||
измеряемой величины |
|
|
|
|
|
|
Q = x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Исключение промахов
Правило 3-х сигм
P |
|
X − A |
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
(неравенство Чебышева) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P X − A |
|
|
|
t |
1− |
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
t |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P X − A |
|
3 |
|
1− |
|
|
|
|
0,89 |
|||||||||
|
|
|
3 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
0,9973 |
P X − A 3 2 (3) |
22
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Проверка нормальности распределения СП критерием Пирсона
1.Вычисляют среднее арифметическое и оценку СКО:
2.Группируют наблюдения по интервалам
Число результатов |
Рекомендуемое |
измерений n |
число интервалов r |
|
|
40-100 |
7-9 |
|
|
100-500 |
8-12 |
|
|
500-1000 |
10-16 |
|
|
1000-10000 |
12-22 |
|
|
1 |
n |
|
~ |
|
1 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x = |
|
1 |
xi |
= |
|
|
1 |
(xi − x ) |
|
n |
|
|
|||||||
n −1 |
|||||||||
2 = f (q, k ) k = L − 3
|
xi0 |
~ |
Для каждого интервала вычисляют середину |
i |
23
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Проверка нормальности распределения СП критерием Пирсона
3. Вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов
|
x |
− x |
|
||
zi = |
i0 |
|
|
||
~ |
|
|
|||
|
|
|
|||
p(zi ) = − |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
i = n h~ p(zi )
h = xi0+1 − xi0
|
− |
zi2 |
|
e |
2 |
||
|
24
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Проверка нормальности распределения СП критерием Пирсона
4. |
Объединение интервалов |
|
|
||
5. |
Вычисление показателя разности частот 2 |
||||
|
L |
~ |
2 |
|
|
2 = i2 |
i2 = |
( i |
− i ) |
|
|
|
i |
||||
|
i=1 |
|
|
||
6. Выбирают уровень значимости критерия q
P 2 q2 = q
н2 2 в2
25
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Запись результата многократных измерений
~ |
1 |
n |
|
|
~ |
1 |
|
n |
2 |
||||
|
|
|
|
||||||||||
A |
= x = |
|
1 |
xi |
|
= |
|
|
1 |
(xi − x ) |
|||
|
n −1 |
||||||||||||
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
Sx |
= |
|
|
|
|
(xi − x )2 |
|
|
|
|
|||
n(n −1) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
P = tq Sx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q = A P ; |
P = ...%,... |
|
|
|
|
||||||||
26
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Обработка результатов не подчиняющихся нормальному распределению
Если распределение нельзя признать нормальным, то точно функцию распределения установить не удается.
1) Из результатов наблюдений составляется вариационный ряд:
x1 x2 xn
2)В качестве числовой характеристики типа распределения экспериментальных данных принимают (каппа), вычисляемое по формуле:
n
(xi − x )4
= i=1
nS 4
27
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Обработка результатов не подчиняющихся нормальному распределению
3) В зависимости от значения каппа:
4
2,5 4
1,8 2,5
~
A
~
A
~
A2
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
+ xn |
|
, |
|||
|
|
||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
xn+1 , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= x = 1 n xi n 1
= xmin + xmax
2
если n четное, если n нечетное.
28
ИНСТИТУТ МИКРОПРИБОРОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ |
Лекция 5 |
Обработка результатов не подчиняющихся нормальному распределению
4) Вычисляем доверительную границу погрешности оценки:
|
~ |
|
|
~ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P X − A |
|
|
t |
1 |
− |
|
|
= P |
|
|
|
|
t |
2 |
|
||||||
P = tS |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Записываем результат измерения: |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
P =1− |
|
|
|
|
|
|
Q = A P |
; P = ...%,... |
||
t 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t = |
1 |
|
|
|
|
1− |
||
29