задачи

Коэффициент детерминации ( R2 ) представляет собой квадрат коэффи-

Средний коэффициент эластичности (Э ) вычисляется для уравнения прямой по формуле:

личным) значением Fт с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (m-1), (n-m). Если эмпирическое значение критерия больше табличного значения ( Fэ > Fт ), то уравнение регрессии признается значимым (адекватным).

Значимость коэффициентов линейного уравнения регрессии (а0 и а1) оценивается с помощью t-критерия Стьюдента (n > 30):

151

Эмпирическое значение t-критерия сравнивается с критическим (табличным) значением t-распределения Стьюдента с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (n-2). Параметр признается значимым, если эмпирическое значение t больше табличного.

Аналогично проводится оценка коэффициента корреляции (r) с помощью t-критерия:

где (n-2) – число степеней свободы.

Если эмпирическое значение t-критерия оказывается больше табличного, то линейный коэффициент корреляции признается значимым.

На заключительном этапе анализа вычисляется средняя ошибка аппрок-

симации (ε ):

При правильном подборе фактора, влияющего на результативный показатель, а также точном проведении всех необходимых расчетов ошибка аппроксимации должна быть минимальной и не должна превышать 12-15%.

Пример. По данным табл. 9.2 определите форму связи между показателями. Найдите параметры уравнения регрессии и дайте им интерпретацию. Вычислите показатели тесноты связи.

152

Решение. Факторным признаком является возраст оборудования, а результативным – затраты на его ремонт. Предположим, что между возрастом оборудования и затратами на его ремонт существует линейная корреляционная связь.

Для определения формы корреляционной связи необходимо вычислить параметры уравнения прямой путем решения системы нормальных уравнений.

Для того, чтобы найти параметры а0 и а1, произведем промежуточные расчеты в табл. 9.3.

По системе уравнений 9.2 находим: а0*10 + а1*87,1=58,5 а0*87,1 + а1*877,87=548,17

Систему нормальных уравнений решаем по методу множителей: умножим каждое слагаемое первого уравнения на число, равное 8,71 (87,1/10). Получим:

а0*87,1 + а1*758,641=509,535 а0*87,1 + а1*877,87=548,17

Затем вычтем из второго уравнения первое: а1*119,229=38,635, откуда а1=38,635 / 119,229 =0,324.

После подстановки значения а1 в первое уравнение получим а0 = 3,028.

153

Таблица 9.3

Вспомогательные расчеты

Уравнение регрессии принимает вид: Ух= 3,028 + 0,324 * х.

Вуравнении параметр а1=0,56, показывает, что с увеличением возраста оборудования на 1 год затраты на его ремонт возрастают на 0,56 млн. руб.

Параметр а0 = 0,324 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов.

Используя уравнение регрессионной связи, можно определить теоретические значения ух для любой промежуточной точки (колонка 7 табл. 9.3).

Всвязи с тем, что суммы теоретических ( ух ) и эмпирических значений (у)

затрат на ремонт оборудования равны (58,5), параметры регрессионного уравнения определены верно.

Измерим тесноту корреляционной связи между возрастом оборудования и затратами на его ремонт линейным коэффициентом корреляции (r), теоретическим корреляционным отношением (η), индексом корреляции (R).

Согласно шкале Чэддока между возрастом оборудования и затратами на его ремонт наблюдается умеренная зависимость.

154

Для расчета эмпирического корреляционного отношения (η ) необходимо предварительно вычислить дисперсии:

Теоретическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1: чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между признаками.

Коэффициент детерминации η2, равный 0,203, означает, что вариация затрат на ремонт оборудования на 20,3% объясняется вариацией возраста оборудования и на 79,7% − прочими факторами.

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают умеренную связь между возрастом оборудования и затратами на его ремонт. В связи с тем, что r = η = R, то можно заключить, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

155

Задача 9.1

В приведенных ниже парах признаков факторными являются: а) тарифный разряд; б) стаж работы; в) использование фонда рабочего времени; г) производительность труда.

Ответы: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

Задача 9.2

В приведенных ниже парах признаков результативными являются: а) среднедушевое потребление мяса; б) среднедушевой доход; в) заработная плата; г) тарифный разряд.

Ответы: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

Задача 9.3

Из приведенных ниже зависимостей корреляционными являются: а) зависимость стоимости продукции от уровня фондоотдачи и стоимости основных фондов; б) зависимость валового сбора от урожайности и посевной площади.

Ответы: 1) −; 2) а; 3) б; 4) а, б.

Задача 9.4

Можно ли изучить взаимосвязи социально-экономических явлений по данным рядов динамики: а) да; б) нет.

Задача 9.5

При функциональной зависимости каждому значению признака соответствует: 1) единственное значение результативного признака; 2) множество значений результативного признака; 3) распределение единиц совокупности по результативному признаку; 4) среднее значение результативного признака.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.6

Построить уравнение регрессии можно при условии, что: а) количественным является только факторный признак; б) количественным является только результативный признак; в) оба признака количественные; г) оба признака качественные.

156

Задача 9.7

Корреляционное отношение, вычисленное по аналитической группировке, равно 0,3. Критическое значение корреляционного отношения при уровне значимости 0,05 равно 0,378. Это позволяет сделать вывод: 1) группировка построена неправильно; 2) наличие связи между признаками осталось недоказанным; 3) связь между признаками измерена неточно; 4) связь отсутствует.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.8

По линейному уравнению регрессии вычислены показатели: 1) линейный коэффициент корреляции − 0,7; 2) индекс корреляции − 0,75; 3) коэффициент детерминации − 0,49; 4) коэффициент регрессии − 0,26. Ошибка допущена при вычислении одного из показателей. Какого именно?

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.9

При расчете линейного уравнения регрессии между средним баллом на 1 курсе в вузе и оценками на вступительном экзамене по математике получена остаточная дисперсия 0,16 и общая − 0,20. Коэффициент детерминации равен: 1) 0,8; 2) 0,2; 3) 0,75; 4) 0,444.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.10

Вычислено уравнение регрессии между стоимостью основных фондов и выпуском продукции (млн. руб.): У=17+0,4*х. Это означает, что: 1) при увеличении стоимости основных фондов на 1 млн. руб. выпуск продукции в среднем увеличивается на 17,4 млн. руб.; 2) при росте стоимости основных фондов на 1 млн. руб. выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,4 млн. руб.; 3) при увеличении основных фондов на 1 млн. руб. выпуск продукции увеличивается на 40%; 4) при увеличении стоимости основных фондов на 1 млн. руб. выпуск продукции возрастает на 0,57 млн. руб.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

157

Задача 9.11

Вычислено следующее уравнение регрессии между процентом механизации работ и выпуском продукции на одного рабочего за год (тыс. руб.): У=13+0,4*х. Это означает, что при увеличении уровня механизации на 1% выпуск продукции: 1) возрастает на 0,4%; 2) возрастает на 13,4 т; 3) при отсутствии механизации составит 13,4 тыс. руб.; 4) при полной механизации составит 53 тыс. руб.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.12

Вычислено следующее уравнение регрессии между годовой производительностью труда (тыс. руб.) х и заработной платой (руб.) у: У=10+70*х. Это означает, что: 1) если производительность труда равна 1000 руб., то заработная плата должна быть равна 70 руб.; 2) если производительность труда увеличится на 1000 руб., то заработная плата возрастет на 80 руб.; 3) если производительность труда не изменяется, то заработная плата составляет 80 руб.; 4) если производительность повысится на 1000 руб., то заработная плата увеличится на 70 руб.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.13

Вычислено уравнение регрессии между удойностью коров (л) и потреблением концентрированных кормов (кг): У=5+0,5*х. Это означает, что при увеличении потребления кормов на 1 кг удойность повышается в среднем на: 1) 50%; 2) 5%; 3) 5,5 кг; 4) 0,5 кг.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.14

Коэффициент детерминации характеризует: 1) форму связи; 2) существенность связи; 3) тесноту связи; 4) направление связи между признаками.

Задача 9.15

Путем решения системы нормальных уравнений вычисляются параметры уравнения регрессии, при которых является минимальной: 1) сумма отклонений

158

теоретических значений результативного признака от эмпирических значений этого признака; 2) сумма квадратов этих отклонений; 3) сумма отклонений теоретических значений результативного признака от эмпирических значений факторного признака; 4) сумма квадратов этих отклонений.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.16

Вычислено такое уравнение регрессии между процентом брака и себестоимостью 1 т литья (руб.): У=56+8х. Это означает, что: 1) увеличение брака на 1% увеличивает себестоимость на 64 руб.; 2) увеличение брака на 1% увеличивает себестоимость на 8%; 3) если процент брака не изменится, то себестоимость составляет 56 руб.; 4) если процент брака увеличится на 1%, себестоимость 1 т увеличится на 8 руб.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.17

Вычислено уравнение регрессии между себестоимостью единицы продукции (руб.) и размером накладных расходов (руб.): У=10+0,05*х. Это означает, что по мере роста накладных расходов на 1 руб. себестоимость единицы продукции повышается на: 1) 5%; 2) 5 руб.; 3) 10,05 руб.; 4) 5 коп.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.18

Вычислено следующее уравнение регрессии между себестоимостью 1 т литья (руб.) и производительностью труда на одного рабочего (т): У=270−0,5*х. Это означает, что при увеличении производительности труда на 1 т себестоимость: 1) снизится на 269,5 руб.; 2) повысится на 269,5 руб.; 3) снизится на 0,5 руб.; 4) повысится на 0,5 руб.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.19

Оценка значимости уравнения регрессии осуществляется на основе: а) коэффициента детерминации; б) средней квадратической ошибки; в) F-критерия Фишера.

159

Задача 9.20

Вычислено уравнение регрессии между годовым потреблением мяса и мясных продуктов (кг) и среднедушевым доходом за год (руб.): У=15+0,3*х. Это означает, что потребление мяса и мясных продуктов при увеличении среднедушевого дохода на 10 руб. увеличивается на: 1) 15,0 кг; 2) 15,5 кг; 3) 3 кг в среднем; 4) 0,3 кг в среднем.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 9.22

Аналитическое выражение связи определяется с помощью метода анализа: а) корреляционного; б) регрессионного; в) группировок.

Задача 9.23

Оценка значимости параметров модели регрессии осуществляется на основе: а) коэффициента корреляции; б) средней ошибки аппроксимации; в) t-критерия Стьюдента.

Задача 9.24

Имеются данные о стоимости основных фондов и выпуске продукции десяти предприятий:

Выявите наличие, направление и форму связи между выпуском продукции и стоимостью основных фондов, используя графический метод и метод со-

160