978-5-7996-1814-8_2016
.pdf2.3. Свойства функциональных рядов
с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения
u1(x) Ј a1, u2(x) Ј a2, ..., un (x) Ј an.
Говорят, что ряд (2.2) мажорируется рядом (2.3), или ряд (2.3) служит мажорантным для ряда (2.2).
Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [a,b], есть функция непрерывная на этом отрезке.
2.3. Свойства функциональных рядов
Ґ
Теорема 1. Если ряд еun (x), где u1(x), u2(x), u3(x)... — непре-
n=1
рывные функции, равномерно сходится в некоторой области X и имеет сумму S(x), то ряд
тb u1(x)dx + тb u2(x)dx + ...+ тb un (x)dx + ...
a a a
сходится и имеет сумму тb S(x)dx, [a,b]О X .
a
Теорема 2. Пусть функции u1(x),u2(x),...,un (x),... определены в некоторой области X и имеют в этой области непрерывные
производные |
1 |
2 |
|
n |
. Если в этой области ряд |
|
|
|
uў(x), uў(x), ..., uў(x),... |
||||
Ґ u (x) |
|
|
Ґ uў |
(x) |
сходится равномерно, то его сум- |
|
е n |
сходится и ряд е n |
|
||||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
ма равна производной от суммы первоначального ряда
Ґ
е
n=1
n |
м Ґ |
ьў |
не n |
э . |
|
uў(x) = |
u |
(x) |
|
оn=1 |
ю |
39
2. Функциональные ряды
Задачи для самостоятельного решения
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
2n |
|
|
|
1. Найти область сходимости ряда е |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
( |
) |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=2 n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
||
Ответ. |
x О |
( |
-Ґ;-3 И 1;Ґ |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
] ( ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
2. Найти область сходимости ряда е5n xn . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
Ответ. x О |
ж |
- |
1 |
; |
1 ц |
|
|
|
|
|
|
|
з |
5 |
ч. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
и |
|
|
5 ш |
|
|
|
|
|
|
Ґ xn
3. Найти область сходимости ряда е .
n=1 n
Ответ. x О[-1,1).
Ґ |
|
равномерно сходится на всей |
4. Проверить, что ряд е cosnnx |
||
n=0 |
2 |
|
числовой прямой.
40
3.Степенные ряды
3.1.Определение степенного ряда. Теорема Абеля
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
Ґ |
|
еan xn = a0 + a1x + a2 x2 + .....+ an xn + ... ; |
(3.1) |
n=0 |
|
или вида |
|
Ґ |
|
еan (x - x0 )n =a0 + a1(x - x0 )+ a2(x - x0 )2 + ... , |
(3.2) |
n=0
где x0,a0,a1,a2,... — действительные числа.
Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.
Теорема Абеля
1. Если степенной ряд (3.1) сходится при x = x0 № 0, то он аб-
солютно сходится при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству
x < x0 .
2. Если ряд (3.1) расходится при некотором значении x0ў, то он расходится при всяком x, для которого
x > x0ў .
41
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Степенные ряды |
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
0 сходится, то n®Ґ n |
0 |
|
|
|
|
. Следователь- |
||||||||||||||||||||||||||||
1. Так как ряд е n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lima x n = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
но, $M > 0 такое, что все члены ряда по абсолютной величине |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
меньше M, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an x0n |
|
Ј M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Перепишем равенство (3.1) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ж x |
|
ц |
2 |
ж |
x ц2 |
|
|
|
|
|
n |
|
ж x |
|
|
цn |
(3.3) |
||||||||||||||||||||||||
a0 + a1x0 з |
|
|
|
|
ч + a2 x0 |
з |
|
|
|
|
|
ч |
|
|
+ ...+ an x0 |
|
з |
|
|
|
ч |
+ ... |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и x0 |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
и x0 ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и x0 |
|
|
ш |
|
|
||||||||||||||
и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a0 |
|
+ |
|
a1x0 |
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
a2 x02 |
|
x |
|
|
2 |
+ ...+ |
|
an x0n |
|
|
|
x |
|
|
n |
+ ... |
(3.4) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M + M |
|
|
x |
|
+ M |
|
x |
|
|
2 |
|
+ ...+ M |
|
|
x |
|
|
n + ... |
|
(3.5) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x0 |
x0 |
|
|
|
|
x0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x < x0 ряд (3.5) представляет собой геометрическую про-
грессию со знаменателем x <1 и, следовательно, сходится. x0
Так как члены ряда (3.4) меньше соответствующих членов ряда (3.5), то ряд (3.4) сходится. Значит ряд (3.3) или (3.1) сходится (сходится абсолютно).
2. Если бы в какой-то точке x, удовлетворяющей условию x > x0ў , ряд сходился, то в силу (1) он должен был бы сходить-
ся и в точке x0ў, так как x0ў < x . Но это противоречит условию,
что в точке x0ў ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке x.
42
3.2. Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда
Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда.
Если x0 — точка сходимости, то весь интервал (- x0 ; x0 ) за-
полнен точками абсолютной сходимости.
Обозначим x0 = R — радиус сходимости, (-R;R) — интервал сходимости степенного ряда.
1.Пусть R > 0. Если x < R, то при всех x ряд сходится абсолютно. Если x > R, то при всех x ряд расходится.
2.Пусть R = 0. Ряд сходится только в точке 0 (или x0).
3.Пусть R = Ґ. Ряд сходится на всей числовой оси ОХ.
На концах интервала вопрос о сходимости (расходимости) решается индивидуально для каждого конкретного ряда.
Рассмотрим ряд (3.2). Если x0 = 0, то получим ряд (3.1).
Определим область сходимости ряда (3.2). Пусть x - x0 = X , тогда
a0 + a1X + a2 X 2 + a3 X 3 + ...
X < R — интервал сходимости ряда (3.2). Получим
x - x0 < R,
x0 - R < x < x0 + R.
Точки x = x0 ± R исследуются на сходимость отдельно.
3.2. Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда
1. Если ai № 0 (i = 0, 1, ..., n), то есть ряд содержит все целые положительные степени разности x - x0, то
R = lim an
n®Ґ an+1
43
3. Степенные ряды
при условии, что этот предел существует (конечный или бесконечный).
Пример. Исследовать на сходимость ряд
|
Ґ |
|
|
1 |
|
|
||
|
е(x - 2)n |
. |
|
|||||
|
2 |
|
||||||
|
n=1 |
|
|
n |
|
|||
Решение |
1 |
|
|
|
1 |
|
||
a = |
, |
a |
= |
. |
||||
|
(n +1)2 |
|||||||
n |
n2 |
n+1 |
|
|
Найдем радиус сходимости.
R = lim (n +21)2 =1.
n®Ґ n
Решим неравенство
x - 2 <1.
Получим интервал
1< x < 3.
Исследуем отдельно точки x =1, x = 3.
Пусть x =1. Получим знакочередующийся ряд
Ґ ( 1)n 1
е - n2 ,
n=1
который сходится по признаку Лейбница. Пусть x = 3. Получим числовой ряд
Ґ 1
еn=1 n2 ,
который сходится (по интегральному признаку Коши). Таким образом, данный по условию ряд сходится в области
1Ј x Ј 3.
44
3.2. Методы нахождения интервала сходимости степенного ряда
2. Если исходный ряд имеет вид
a0 + a1(x - x0 )p + a2(x - x0 )2 p + ...+ an (x - x0 )np + ...
(p — некоторое определенное целое положительное число 2,3…), то
R = p lim |
an |
|
. |
|
an+1 |
||||
|
|
3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю, и последовательность оставшихся в ряду показателей степеней разности x - x0 любая (то есть не образует арифметическую про-
грессию), то радиус сходимости равен
R = |
1 |
, an № 0. |
|
lim n a |
|||
|
|
||
|
n |
|
|
|
n®Ґ |
|
4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда:
|
|
un+1 |
|
|
|
|
n . |
|||
lim |
|
|
<1, |
lim n |
|
u |
|
<1 |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
n®Ґ |
|
| u |
| |
|
|
n®Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Ґ (x +1)n
еn=1 nЧ5n .
Решение
Применяем признак Даламбера:
|
u |
+1 |
|
= lim |
(x +1)n+1 Ч5n Чn |
|
= |
1 |
|
x +1 |
|
<1 |
lim |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
n®Ґ |
u |
|
|
n®Ґ |
(n +1)Ч5n+1 Ч(x +1)n |
|
|
5 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим неравенство x +1 < 5. Получим -6 < x < 4.
45
3. Степенные ряды
Исследуем отдельно точки x = -6, x = 4.
Пусть x = -6. Получим знакочередующийся ряд
Ґ |
|
е(-1)n 1, |
|
n=1 |
n |
который сходится по признаку Лейбница.
Пусть x = 4. Получим гармонический ряд
Ґ 1,
еn=1 n
который расходится.
Таким образом, данный по условию ряд сходится в области
-6 Ј x < 4.
3.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Ряд, полученный почленным дифференцированием (интегрированием) степенного ряда, имеет тот же интервал сходимости и его сумма внутри интервала сходимости равна производной (интегралу) от суммы первоначального ряда.
Ґ |
|
|
|
|
|
Если S(x) = еan (x - x0 )n , то |
|
|
|
||
n=0 |
|
|
|
|
|
Ґ |
x |
Ґ |
n+1 |
|
|
Sў(x) = еnan (x - x0 )n-1, |
тS(x) = е |
an (x - x0 ) |
, - R < x - x0 < R. |
||
n +1 |
|||||
n=1 |
a |
n=0 |
|
46
3.4.Разложение функций в степенные ряды
3.4.Разложение функций в степенные ряды
Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале x - x0 < R, то есть
x0 - R < x < x0 + R
может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
f (x) = f (x )+ |
f ў(x ) |
(x - x )+ |
|
f ўў(x ) |
(x - x |
)2 |
+ ... |
f (n)(x ) |
(x - x |
)n + ... |
|||||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
1! |
|
0 |
|
2! |
|
|
|
0 |
|
|
n! |
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если в этом интервале выполняется условие |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
f (n+1)(c) |
|
|
n+1 |
= 0, |
|
|
|
|||
|
limRn (x) = lim |
|
|
|
|
(x - x0 ) |
|
|
|
||||||
|
(n +1)! |
|
|
|
|||||||||||
|
n®Ґ |
n®Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
где Rn (x) — остаточный член формулы Тейлора (остаток ряда),
0 |
|
|
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
c = x + Q(x - x ), 0 < Q <1 |
|
|
|
|||||||
При x0 = 0 получим ряд Маклорена |
|
|
|
|
||||||
|
ў |
f |
ўў |
|
f |
n |
(0) |
|
||
f (x) = f (0)+ |
f (0) |
x + |
(0) |
x2 |
+ ...+ |
|
xn + ... |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
n! |
. |
||
|
|
|
|
|
|
Теорема 1
Для того чтобы ряд Тейлора функции f (x) сходился к f (x)
в точке x, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член Rn (x) удовлетворял условию:
limRn (x) = 0.
n®Ґ
47
3. Степенные ряды
Теорема 2 (достаточное условие разложимости функции в ряд
Тейлора)
Если в некотором интервале, содержащем точку x0, при любом n выполняется неравенство
f (n)(x) < M,
где М — положительная постоянная, то
limRn = 0
n®Ґ
и f (x) разложима в ряд Тейлора.
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
Рассмотрим разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций.
1. f (x) = sin x.
Данная функция имеет производные любого порядка, причем
|
|
|
|
|
з |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(sin x)(n) |
|
= |
sinж x + n p ц |
|
Ј1, n |
= 0, 1, 2, ... , |
x О(-Ґ;+Ґ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
2 ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f (x) = sin x, |
|
f (0) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж |
|
|
p |
ц |
|
f ў(0) =1, |
|
|
||||||
|
|
|
f ў(x) = cos x = sinз x + |
2 |
ч, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f ўў(x) = - sin x = sin |
ж |
|
+ 2Ч |
p |
ц |
f ўў(0) = |
1, |
|||||||||||||||
|
з x |
2 |
ч, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ж |
p ц |
|
|
|
ж |
|
|
+ 3 |
Ч |
p |
ц |
, f |
ўўў(0) = -1,... |
||||
f ўўў(x) = - cos x = - sinз x + |
ч = sin |
з x |
2 |
ч |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
2 ш |
|
|
|
и |
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|||
|
f |
(n) |
|
ж |
|
p |
ц |
|
f |
(n) |
(0) = sin |
pn |
. |
||||||||||
|
|
|
(x) = sinз x + nЧ |
2 |
ч, |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48