Закатов Вища геодезія 1

По-прежнему, удерживая членьї первого порядка малости, последнее

и пренебрегая различием геоцентрической широтьі Ф от геодезической ер, получаем окончательно с принятой точностью

Следовательно, козффициент ^ — разность ускорения сильї тяжести на полюсе и зкваторе, внраженная в относительной форме.

Таким образом, в результате вьівода мьі получили формульї:

ІІолученньїе формульї имеют чрезвьічайно важное научное и практическое значение.

Формула (59.30) внражает зависимость ускорения сильї тяжести на земной поверхности от географической широти. Она вьіражает в общем виде н о р ­ ма л ь н о е р а с п р е д е л е н и е с и л ь ї т я ж е с т и .

260

Формула (59.31) устанавливает зависимость мешду сжатием, величиной центробежной сили и значеннями сили тяжести на зкваторе и на полюсе. Она позволяет определить сжатие Земли из результатов определений сили тяжести.

Порядок использования зтих формул для определения сжатия Земли состоит в следующем.

Пусть на земной поверхности в точках, имеющих широтьі ф 15 ср2, ф 3, . . ., из непосредственньїх измерений полученьї значення ускорения сили тяжести.

наименьших квадратов, находим значення неизвестньїх, после чего по фор­ муле (59,33) внчисляем сжатие а. Чем больше произведено определений сили тяжести и чем больше территория, по которой размещеньї зти определения, тем достовернее и надежнее вьівод значення сжатия а. Значительное количество определений сили тяжести нужно не для уменьшения влияния случайньтх ошибок измерений сили тяжести (при существующей ньіне технике измерений они мали), а для уменьшения влияния местньтх неравномерностей в распределении масс в земной коре.

Найденньїе значення g90° и g 0 дают возможность вичислить по формуле (59.30) ускорение сили тяжести для любой точки земной поверхности. Вьічисленное таким образом значение сили тяжести для какой-либо точки нази-

Полученная вьіше формула нормального распределения сили тяжести точна до малих величин порядка первой степени сжатия. Более точная формула

где р = Ї£—-i-£-s а козффициент (+ вследствие его малости предпочтительнее ' Є

определять не из решения уравнений вида (59.36), а из иньїх соображений.

Зта формула била виведена Гельмертом в 1901—1908 гг. на оснований результатов измерения сили тяжести на 1603 пунктах. Значение сжатия Земли, Внведенное на оснований результатов зтих измерений, равно 1 : 298,2.

Значение козффициента (+ = 0,000007 получено Гельмертом на оснований имевшихся данних о внутреннем строєний Земли.

261

Кроме формули (59.37), существует еще много формул, полученньїх разньїми ученими на оснований использования различньїх материалов.

Приведем некоторне из них.

Формула Кассиниса, рекомендованная в 1930 г. Международннм геоде-

В заключение дадим весьма упрощенньїй вьівод основной формули Клеро.

Рассмотрим поверхность абсолютно твердого однородного тара, вращающегося около неизменной оси с угловой скоростью ео. Для всех точек поверхности такого шара сила притяжения F одинакова, а центробежная сила имеет макси­ мальнеє значение на зкваторе, а на полюсе равна нулю.

Следовательно, будем иметь

В некоторой точке А (рис. 113), имеющей[широту ф, центробежная сила будет

(? ф = ( ? о c o s Ф-

Проектируя центробежную силу в точке А по направленню сили тяжести, за которое примем радиус ОА , долучаєм

Q cos ф = Q0cos2 ф.

Следовательно, сила тяжести в точке А, как равнодействующая сили притяжения и центробежной сили, будет виражена

= £90° — <?0 cos2 Ф= #90° — (£*0°— go°) cos2 Ф= g90° — (#90° — go*) (1 —Sin2 ф) =

gy = go ^ + g90goo~~" sin2ф)

или

262

Г л а в а ЇХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА СИЛЬІ ТЯЖЕСТИ ЗЕМЛИ

§ 60. Нормальний и возмущающий потенциальї

Изучение фигурн Земли неразривно связано с исследованием ее гравитационного поля, характеризуємо™ потенциалом сильї тяжести. Следовательно, дальнейшей задачей должно бьіть рассмотрение вопроса об определении потенциала сильї тяжести на оснований непосредственньїх измерений, результати которьіх зависят от фигурьі Земли и ее внешнего гравитационного поля.

Однако непосредственное внчисление значення потенциала по одной из ранее приведенньїх формул встречает в настоящее время практически непреодолимьіе препятствия. Для пояснення зтого возьмем одно из виражений потенциала

Второй член зтого вираження, представляющий потенциал центробежной сили, мал по сравнению с первьім членом и может бить определен без затруднений, тдк как угловая скорость вращения Земли со хорошо известна из астрономических наблюдений, а координати х и у следует считать заданньши. Но для вичисления первого интеграла, представляющего собой V — потенциал притяжения Земли, ми не располагаем всеми необходимнми данннми. Действительно, для вичисления его нам необходимо знать плотность б в каждой точке Земли.

Зтими данннми ми не располагаем, а потому практически использовать внражение (60.1) как рабочую формулу для вичислений невозможно.

Практически целесообразно применить следующий путь для вичисления потенциала W.

Внделим из потенциала W некоторую «правильную» часть, которая но возможности била би близка K W H могла би бить вичислена достаточно просто. 9та часть. внделяемая из потенциала W, получила название н о р м а л ь н о г о

Обозначим нормальний потенциал через U. Если он может бить ви чи слен , причем достаточно просто, то задача определения реального потенциала W будет сводиться к определению разности реального и нормального потенциалов; зту разность принято називать возмущающим потенциалом и обозначать

Нормальний потенциал может бить внбран различно. Проще за нормаль­ ний потенциал принять потенциал шара, имея в виду, что фигура Земли с некоторой степенью приближения может бить принята за шар. Тогда для нор­ мального потенциала ми получили би

264

При таком вьіборе нормального потенциала для его вьічисления потребовалось бьі определение массьі Земли и ее среднего радиуса.

Однако в атом случае вьічисление возмущающего потенциала Т оказалось бн чрезвьічайно сложннм, так как разности W — U — Т оказались бн вели­ чинами первого порядка малости, т. е. порядка сжатия Земли. Как показано вшпе (§ 58), при существующей точности полевьіх измерений для вьічисления возмущающего потенциала необходимо бьшо бьт удержать членьї с Тг.

Позтому з а н о р м а л ь н и й п о т е н ц и а л ц е л е с о о б р а з н о

Возможность определения нормального потенциала вьітекает из теореми Стокса, доказанной в 1849 г. Зта теорема формулируется следующим образом: е с л и и з в е с т н и в н е ш н я я у р о в е н н а я п о в е р х н о с т ь S п о т е н ц и а л а с и л и т я ж е с т и , м а с с а т е л а М и у г л о в а я с к о р о с т ь в р а щ е н и я е г о со в о к р у г н е и з м е н н о й о с и , то п о т е н ц и а л с и л и т я ж е с т и , к а к и е г о п р о и з в о д н и е , о п р е д е л я ю т с я о д н о з н а ч н о , к а к н а с а м о й п о в е р х - н о с т и 5, т а к и в о в с е м в н е ш н е м п р о с т р а н с т в е н е з а- в и с и м о о т р а с п р е д е л е н и я п л о т н о с т е й и м а с с в н у т р и п о в е р х н о с т и S.

Теорема Стокса устанавливает принципиальную возможность опреде­ ления потенциала сили тяжести, если известна форма внешней уровенной поверхности и общая масса тела, без привлечения каких-либо гипотез о его внутреннем строєний. Определение потенциала по зтим условиям составляет так назнваемую проблему или задачу Стокса.

Поскольку потенциал центробежной сили определяется формулой

то проблема Стокса сводится к определению потенциала сили притяжения V. Достаточнне и необходимие условия для определения потенциальной функции V вьітекают из общих свойств потенциала притяжения, а именно:

1)оператор Лапласа Д2У во внешнем пространстве равен нулю;

2)функция V должна бить непрернвной и конечной и иметь непрернвние

иконечнне первне производние;

3)на большом расстоянии г от произвольной точки тела

Ґ —> ОО

и, кроме того, на поверхности S , как уровенной, должно бить

Задача Стокса неразрешима в конечном виде для произвольной поверхности S, однако для простейших поверхностей, как сфера, зллипсоид, она решена строго и в замкнутой форме.

265

Нас интересует зллипсоид вращения, поскольку вьіше бьіл сделан вьівод, что именно зллипсоид целесообразно принять за тело, для которого следует вичислять нормальний нотенциал.

Итак, если принять поверхность зллипсоида вращения

Х^-УУ1 і Z2 О2 'Г

за нормальную уровенную поверхность, то, не приводя довольно громоздкого вивода, напишем в окончательном виде точное внражение нормальной сили тяжести для точек поверхности такого зллипсоида

где ув, уе, ур — значення нормальной сили тяжести для точек с широтой В,

то после внесення их в формулу (60.6) и разложения знаменателя по биному Ньютона и простих преобразований получим с удержанием членов первого порядка сжатия

266

Прочие его параметри могут бьіть определеньї по формулам: (60.13), (60.6) и (60.7).

Возвратимся к вопросу о виборе уровенного аллипсоида нормального потенциала. Практически, для решения конкретних задач вьісшей геодезии за таковой удобно принять референц-аллипсоид; сила тяжести на акваторе должна бить установлена на основе имеющихся ее измерений; со — угловая скорость вращения Земли точно определена из астрономических измерений.

Такой вьібор уровенного аллипсоида внгоден тем, что для решения задач

деляться геодезическими координатами В, L , В ноложение точек земной поверхности и потенциал сили тяжести Земли W\ все характеристики гравитационного поля Земли, как на ее поверхностй, так и вне ее, получаемне в функции потенциала сили тяжести Земли, будут в единой системе.

Теперь проведем следующие рассуждения.

Допустим, что действительная поверхноеть Земли уровенная и совпадает с уровенньш аллипсоидом нормального потенциала сили тяжести; иначе говоря, допустим, что W 0 = U 0 и возмущающий потенциал Т — 0. В атом елучае во всех точках такой «Земли» направление вектора действительной сили тя­ жести, определяемое астрономическими координатами, совпадало би с напра-

ннями векторов действительного и нормального направлений сили тяжести, били би равньї нулю. При условии равенства нормального и реального потенциалов измереннне значення сили тяжести g во всех точках^Земли равнялись би нормальним у, т. е. внчисленннм по нормальной формуле сили тяжести. В зтом елучае висоти точек Земли Н также везде били би равньї нулю.

В действительности описанной картини по результатам измерений не наблюдаетея. Сопоставление астрономических и геодезических координат даже при самой хорошей ориентировке референц-зллипсоида внявляет уклонения отвесннх линий, по величине значительно превосходящие ошибки астрономи­ ческих и геодезических измерений. Измереннне значення сили тяжести g

важнейшую роль при изучении фигури Земли наравне с результатами геоде­ зических и астрономических измерений. Теперь нетрудно еделать внвод, что получающиеся расхождения в астрономических и геодезических координатах, расхождения в измеренннх и нормальних значеннях сили тяжести являютея результатом неравенства действительного и нормального потенциалов сили тяжести Земли, т. е. действия в о з м у щ а ю щ е г о п о т е н ц и а л а Т.

Однако возмущающий потенциал Т непосредственному измерению не поддаетея. Позтому естественно поставить задачу — по уклонениям отвесннх линий или по аномалиям сили тяжести, как опитним данньїм, определить возмущающий потенциал Земли Т и затем получить действительннй потенциал W сили тяжести Земли. Зная W , можно далее на основе теоретических зави-

267

симостей определять различнне характеристики и величини действительного гравитационного поля Земли, необходимне для теории и практики, как, например, определение геодезических висот точек поверхности Земли, внчисление поправок в астрономические координати за влияние уклонений отвесной линии в любой точке земной поверхности, определение влияния сили тяжести на Земле при расчете полетов ракет и искусственннх спутников Земли и др.

Возникает вопрос, чему отдать предпочтение: у к л о н е н и я м о т в е с ­

■определения возмущающего потенциала Т. Но практически следует отдать предпочтение аномалиям сили тяжести по следующим соображениям:

1. Уклонения отвесной линии с необходимой точностью определяются из сопоставления результатов геодезических и астрономических наблюдений, которне требуют на каждом пункте во много раз больше времени и труда, чем гравиметрические измерения. Определение на какой-либо территории уклонений отвесних линий с заданной частотой потребовало би в десятки раз больше труда, средств и времени, чем внвод аномалий сили тяжести из травиметрических наблюдений.

2. Гравиметрические наблюдения могут производиться не только на суше, но и на море. 9то преимущество имеет большое принципиальное значение, так как теоретические предпоснлки требуют, чтобьі измерения производились н а в с е й п о в е р х н о с т и З е м л и . Уклонения же отвесних линий при существующих методах и средствах измерений могут бить внведенн на

суше, т. е. только примерно на З всеи земной поверхности.

Таким образом, приходим к заключению, что для определения возму­ щающего потенциала следует использовать аномалии сили тяжести, для получения которой необходима гравиметрическая ст>емка.

Следовательно, дальнейшей целью должно бить установление зависимостей, существующих между возмущающим потенциалом Т и аномалиями сили тяжести. Так как задача внсшей геодезии — изучение действительной фигурьі Земли, то далее должнн бить установлень! зависимости между вели­ чинами, характеризующими форму Земли, и возмущающим потенциалом. Отметим, что такими величинами являются расстояния точек земной поверх­ ности и уклонения отвесной линии относительно принятого референц-зллип- соида. Имея в виду указанннй общий путь — определение возмущающего потенциала Т по аномалиям сили тяжести, а по Т — висот точек Земли и укло­ нений отвесной линии, имеется возможность непосредственного вираженая последних величин через аномалии сили тяжести.

§ 61. Аномалии сили тяжести

Так как аномалии сили тяжести служат исходннми данними для опреде­ ления возмущающего потенциала Земли, остановимся подробнее на внчислениях аномалий сили тяжести. Вьіше аномалия сили тяжести била определена

268

атом положение точки М 0 (рис. 114) на зллипсоиде определяется известньїми геодезическими координатами В, L.

Естественно потребовать приведення обоих значений силн тяжести к ка- кой-либо одной точке. Очевидно, для зтой цели нам необходимо било би в нер­ вую очередь знать геодезическую висоту Нм точки М.

Для вьісотьі Я некоторой точки М ранее бьша долучена общая формула

где разность

W n- W м = ^gdh

определяется из нивелирования, a g — некоторое значение сили тяжести, которое может, как увидим в § 72, вибираться различно.

Вичислим для точки М висоту по формуло

где под ут будем понимать среднее нормальное значение силн тяжести для отрезка М М 0, которое можно вичислить точно; иначе говоря, положим в фор­ муло (61.2) g = ут- Заметим, что висоти Я 7, вьічисляемне по формуле (61.2), назнваются нормальними.

Подробнее о системах висот будет сказано в § 72; здесь ограничимся изложением сведений, необходимих для освещения вопроса о виводе аномалий

269